人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数第2课时教学设计

第二十八章 锐角三角函数

28．1 锐角三角函数

第2课时   余弦函数和正切函数

学习目标：

1．认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念． 

2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．

重点：1．认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念．

2．能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．

难点：能灵活运用锐角三角函数进行相关运算．

一、知识链接

1.   在Rt△ABC中，b=，∠C=90°，∠A=30°，求c．

2.   在Rt△ABC中，b=1，∠C=90°，∠A=45°，求c．

一、要点探究

探究点1：余弦

合作探究   如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则成立吗？为什么？

【归纳总结】   在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．

如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cos α = sin (90°－α)，

从而有sin α = cos (90°－α)．

练一练 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cos A＝        ．

2．已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5，  α为其最小的锐角，求α的正弦值和余弦值．

探究点2：正切

合作探究   如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则成立吗？为什么？

【归纳总结】   由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．

如下图，在直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，     

记作 tan A， 即

锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数．

想一想 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？

练一练 1． 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，求则OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值=______．

2．如图，△ABC中一边 BC 与以AC为直径的⊙O相切与C，若BC=4，AB=5，则tanA=       ．

【典例精析】

例1   如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sin A，cos A，tan A的值．

练一练 1．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13．

sin A=______，cos A=______，tan A=____，

sin B=______，cos B=______，tan B=____．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3．

sin A=_______，cos A=_______，tan A=_____，

  sin B=_______，cos B=_______，tan B=_____．

【方法总结】 在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值．

例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sin A =，求 cos A、tan B 的值．

【方法总结】   在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其他的所有锐角三角函数值．

练一练  1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tan A=， 求sin A，cos A 的值．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin A=，则下列结论正确的是          （     ）

A．cos A=        B．tan A=       C．cos A=         D．tan A=

二、课堂小结

1． 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A=35°，则直角边 BC 的长是    (    )

D．

2．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是                            (     )

A． tan70°＜cos70°＜sin70°            B． cos70°＜tan70°＜sin70°

C． sin70°＜cos70°＜tan70°            D． cos70°＜sin70°＜tan70°

3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cos A =，求 sin A、tan A 的值．

4.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D．若 AD = 6，CD = 8．   

求 tan B 的值．

5． 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6．  求cos B 及tan B 的值．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．解：c=2．     2．解：c=．

课堂探究

一、要点探究

探究点1：余弦

合作探究

解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E，从而 sin B = sin E，因此

练一练  1． 

3.   解： 由题意设斜边为7x，则该直角边为5x，另一直角边为＜5x，

∴ sin α=   cos α=

探究点2：正切

合作探究

解：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴ Rt△ABC∽ Rt△DEF．∴∴

想一想 解：如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数．

练一练 1．    2．

典例精析

例1   解：由勾股定理得

∴

练一练  1．   2．

例2 解：在Rt△ABC中，∵∴

又∵∴

练一练    1．解：∵∴

∴∴

2．D

当堂检测

1．A     2．D

3．解：在Rt△ABC中，由设 AC = 15k，则 AB = 17k．

∴

∴

4．解：∵CD⊥AB，∴ ∠ACB＝ ∠ADC =90°，∴∠B+ ∠A=90°，  ∠ACD+ ∠A =90°，∴∠B = ∠ACD，∴ tan∠B = tan∠ACD =

5．解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D．∵ AB = AC， BC=6，∴ BD = CD = 3，

∴

在 Rt△ABD 中，∴ tan B =