初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数第3课时教案

第二十八章 锐角三角函数

28.1 锐角三角函数

第3课时  特殊角的三角函数值

学习目标：

1. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值. 

2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.

重点：运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.

难点：熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.

一、知识链接

互余的两角之间的三角函数关系：

 若∠A+∠B=90°，则sin A      cos B，cos A      sin B，tan A · tan B =      .

一、要点探究

探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值

合作探究   两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

【归纳总结】    30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

【典例精析】

例1   求下列各式的值：

（1）cos260°+（sin60°）2；         （2）

提示：cos260°表示(cos60°)2，即(cos60°)×(cos60°).

练一练 计算：

(1) sin30°+ cos45°；          (2) （sin30°）2+ (cos30°)2－tan45°.

探究点2：通过三角函数值求角度

例2    (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB =，BC =，求 ∠A 的度数；

(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =OB，求 α 的度数.

练一练 求满足下列条件的锐角 α .

(1) 2sin α－= 0；         (2) tan α－1 = 0.

例3  已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋|sin B－|＝0，试判断 △ABC 的形状．

练一练 1. 已知，△ABC中的∠A和∠B满足| tan B－| ＋ (2 sin A－)2 ＝0，求∠A，∠B的度数.

2. 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2α + cos2α －      tan (α+15°)的值．

二、课堂小结

1. tan (α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是                                   (    )

  A.40°      B.30°        C.20°        D. 10°

2. 已知∠A为锐角， sin A =，则下列正确的是                           (     )

  A.cos A =      B.cos A =        C. tan A =1        D.tan A =

3. 在 △ABC 中，若，则∠C =          .

4. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC，则 sin∠AOC 的值为_______.

5.求下列各式的值：

    (1) 1－2 sin30°cos30°；

    (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；

    (3) ；

(4)

6.如图，在△ABC中，∠A=30°， ，求 AB的长度.

参考答案

自主学习

一、知识链接

=   =    1

课堂探究

一、要点探究

探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值

合作探究

解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长 =

∴

∴

设含45°角的三角尺的两条直角边长为 a，则斜边长=

∴

【典例精析】

例1  解：（1）cos260°+（sin60°）2

（2）

练一练   解：（1）原式 = 

（2）原式 =

探究点2：通过三角函数值求角度

例2  解：（1）在图中，∴∴∠A=45°.

（2）在图中，∵ tan α =∴ α = 60°.

练一练 解：（1）sin α =，∴ α = 60°.（2）tan α =1，∴ α = 45°.

例3  解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－|＝0，∴ tan A＝1，sin B＝． ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴ △ABC 是锐角三角形．

练一练 1.解：∵| tan B－| ＋ (2 sin A－)2 ＝0， ∴ tan B＝，sin A＝，

∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.

2. 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3.

∵ α为锐角，tan α ＞0，∴ tan α =1.∴ α = 45°.

∴ 2 sin2α + cos2α－tan(α+15°)=2sin245°+cos245°tan60°

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1. D   2.B    3.120°  4.  5.解：(1)    (2)   (3)2  (4)

6.   解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.∵∠A=30°， ，

∴∴

∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5.