初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数课后作业题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数课后作业题，共17页。
28.1.2 余弦、正切函数基础训练知识点1 余弦函数1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,那么cos A的值等于(　　)A.    B.    C.     D.2.如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cos α的值,错误的是(　　)A.    B.   C.  D.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=,则cos B的值是(　　)A.     B.   C.    D.4.如图,正方形ABCD边长为1,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连接DQ.给出如下结论:①DQ=1;②=;③S△PDQ=;④cos ∠ADQ=.其中正确结论是　　　　.(填写序号) 5.已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为__________. 知识点2 正切函数6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若BD∶CD=3∶2,则tan B=(　　)A.     B.   C.    D.7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D 为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan ∠DBC的值为(　　)A.     B.-1  C.2-   D. 8.如图,经过原点O的☉P与两坐标轴分别交于点A(2,0)和点B(0,2),C是优弧上的任意一点(不与点O,B重合),则tan ∠BCO的值为(　　)A. B. C. D.9.如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB中点,则tan ∠BFE的值是(　　)A.         B.2    C.    D.10.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为________. 11.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长,△ABC最小的角为∠A,那么tan A的值为________. 12.在△ABC中,∠C=90°,若把AB,BC都扩大为原来的m倍,则cos B的值是(　　)A.mcosB  B.cos B  C.  D.不变13.已知x=cos α(α为锐角)满足方程2x2-5x+2=0,求cos α的值.  提升训练考查角度1 利用三角函数定义求锐角三角函数值(定义法)14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3,求sin A,cos A,tan A的值. 考查角度2 利用三角函数定义证明锐角三角函数之间的关系15.已知∠A为锐角,证明:(1)sin A=cos (90°-∠A);(2)sin2 A+cos2 A=1;(3)tan A=. 考查角度3 利用三角函数定义巧求三角函数值16.如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan ∠AOB的值是(　　)　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.      B.    C.    D.17.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan B的值为(　　)A. B. C. D.18.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,如果2AB=3BC,求∠B的三个三角函数值.19.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,连接CD.若☉O的半径r=,AC=2,则cos B的值是(　　)A.     B.    C.   D.考查角度4 利用三角函数解折叠问题(折叠法)20.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.(1)求证:△ABF∽△DFE;(2)若sin ∠DFE=,求tan ∠EBC的值. 21.如图,已知锐角三角形ABC.(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若BC=5,AD=4,tan ∠BAD=,求DC的长. 22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.已知AC=15,cos A=.(1)求线段CD的长;(2)求sin ∠DBE的值. 探究培优拔尖角度1 利用三角函数解与圆有关的综合问题23.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连接BC,AC,作OD∥BC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若=,求cos ∠ABC的值. 拔尖角度2 利用构造相似三角形求三角函数值(构造法)24.已知线段OA⊥OB,C为OB的中点,D为AO上一点,连接AC,BD交于点P.(1)如图①,当OA=OB,且D为AO的中点时,求的值;(2)如图②,当OA=OB,=时,求tan ∠BPC的值.   参考答案1.【答案】D　2.【答案】C　3.【答案】B　4.【答案】①②④5.【答案】　解：先求出方程x2-4x+3=0的两根,即可得到两直角边长,再根据勾股定理求得斜边长,最后根据余弦的定义即可求得结果.解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3,则直角三角形的两直角边长分别为1,3,斜边长为=.故其最小角的余弦值为=.6.【答案】D　解：在Rt△ABC中,∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠CDA=90°,∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠BAD+∠DAC=90°,∴∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD,∴=.∵BD∶CD=3∶2,∴设BD=3x(x>0),则CD=2x,∴AD==x,则tan B===.故选D.7.【答案】A　 8.【答案】A　9.【答案】D　10.【答案】2411.【答案】或12.【答案】D　解：∵cos B==,∴cos B的值不变.常见错解:误认为∠B的邻边与斜边都扩大为原来的m倍,则cos B也扩大为原来的m倍,而错选A,实际上cos B的值只与∠B的大小有关,与∠B的两边长短无关.13.解:∵方程2x2-5x+2=0的解是x1=2,x2=,又∵0<cos α<1,∴cos α=.常见错解:∵方程2x2-5x+2=0的解是x1=2,x2=,此时忽略了cos α(α为锐角)的取值范围是0<cos α<1,而错得cos α=2或cos α=.14.解:∵△ABC是直角三角形,∴根据勾股定理,得BC===.∴sin A==,cos A==,tan A==.方法解：在直角三角形中,只要已知直角三角形的任意两边,根据勾股定理,可求出第三边,然后根据锐角三角函数的定义,可求出该直角三角形中任意一个锐角的正弦、余弦及正切值.15.证明:作Rt△ABC,使∠C=90°,如图,则sin A=,cos A=,tan A=.(1)∵cos B=,sin A=,∴sin A=cos B.又∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A,∴sin A=cos (90°-∠A).(2)∵sin A=,cos A=,且a2+b2=c2,∴sin2A+cos2A=+===1.(3)∵sin A=,cos A=,∴==.又∵tan A=,∴tan A=.16.【答案】B　解：在OB上距点O 2格的位置上取一点,并过该点作OB的垂线,得到一个直角三角形.在该直角三角形中,∠AOB的对边长为3,邻边长为2,所以tan ∠AOB=.故选B.方法总结:用定义法求锐角三角函数值时,要注意以下两点:(1)要判断这个角所在的三角形的形状,只有在直角三角形中才能利用定义;(2)在直角三角形中求边时,注意勾股定理的应用.此题在图中找“格点”构建直角三角形是关键.17.【答案】D　解：如图,sin A==, 可设BC=5k,AB=13k,用勾股定理可求AC==12k.∴tan B===.方法总结:已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值,求这个锐角和它的余角的其他三角函数值,可先画出直角三角形,结合图形和已知条件,可利用“设k法”,将直角三角形的各边长用含k的代数式表示,然后根据锐角三角函数的定义,求得锐角的三角函数值.18.解:过点A作AD⊥BC于点D,如图所示.∵AB=AC,∴BD=CD.又∵2AB=3BC,∴=.设AB=AC=3k,则BC=2k.∴BD=CD=k,∴AD====2k.∴sin B===,cos B===,tan B===2.方法总结:求某一锐角的三角函数值时,正确地构造直角三角形是解题的关键.若已知其中两边的比值或倍数关系,可将这两边设出,再利用勾股定理表示出第三条边,则这个锐角的任一个三角函数值都可求出.19.【答案】B　解：欲求cos B的值,必须将∠B放在直角三角形中去求,由题图可知,∠B与∠D是同弧所对的圆周角,∴∠B=∠D.∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,通过等角转化即求cos D的值.在Rt△ACD中,AC=2,AD=2r=3,由勾股定理可求得CD=,∴cos B=cos D==.20.(1)证明:由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,∴∠ABF=90°-∠AFB,∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF,∴△ABF∽△DFE.(2)解:由折叠可得FB=BC,EF=EC,∵sin ∠DFE=,∴=,即EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF==DE×=2DE.∵△ABF∽△DFE,∴=,即FB===3DE.又∵FB=BC,EF=EC,∴tan ∠EBC====.21.解:(1)如图,MN为所作.(2)在Rt△ABD中,tan ∠BAD==,∴=,∴BD=3.∴DC=BC-BD=5-3=2.22.解:(1)∵AC=15,cos A=,∴cos A===,∴AB=25.∵△ACB为直角三角形,点D是斜边AB的中点,∴CD=AB=.(2)∵BC2=AB2-AC2=252-152=400,AD=BD=CD=,∴设DE=x,EB=y,则解得x=.∴sin ∠DBE===.解：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出AB的长,即可求出CD的长.(2)由于点D为AB边的中点,则AD=BD=CD=.设DE=x,EB=y,利用勾股定理即可求出x的值,据此解答即可.23.(1)证明:连接OC.∵AD是过点A的切线,AB是☉O的直径,∴AD⊥AB,∴∠DAB=90°.∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB,∠AOD=∠ABC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC,∴∠DOC=∠AOD.在△COD和△AOD中,∴△COD≌△AOD.∴∠OCD=∠DAB=90°.∵OC⊥DE于点C,OC是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.(2)解:由=,可设CE=2k,则DE=3k,又∵AD,CD都是☉O的切线,∴AD=DC=k.在Rt△DAE中,AE==2k.∵OD∥BC,=,∴BE=2OB.∴OA=AE=k.∴在Rt△AOD中,OD==k=k,∴cos ∠ABC=cos ∠AOD==.24.解:(1)过点C作CE∥OA 交BD于点E,∴△BCE∽△BOD.∵C为OB中点,D为AO中点,∴CE=OD=AD.∵CE∥AD,∴△ECP∽△DAP,∴==2.(2)过点C作CE∥OA交BD于点E.设AD=x,∵OA=OB,=,则AO=OB=4x,OD=3x.∵CE∥OD,∴△BCE∽△BOD,∴CE=OD=x.∵CE∥AD,∴△ECP∽△DAP,∴==.由勾股定理可知BD=5x,则DE=BD=x.∴===,解得PD=x,∴PD=AD.∴∠BPC=∠DPA=∠A.∵OA=OB,C是OB中点,∴CO=OB=AO,∴tan ∠BPC=tan A==.分析：看到线段成比例时,一定要想到相似三角形的对应边成比例,如果图形中没有相似三角形,常常用到的辅助线是作平行线构造相似三角形.求一个锐角的正切值时一定要在直角三角形中进行,如果该角不在直角三角形中,可以利用相等的角进行转换.