2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)教师

这是一份2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)教师，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年普通高等学
校招生全国统一考试
数学(天津卷)
(本试卷共4页,20小题,满分150分,考试用时120分钟)
第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(∁UB)=(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　
A.{-3,3} B.{0,2}
C.{-1,1} D.{-3,-2,-1,1,3}
答案C
解析∵U={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴∁UB={-2,-1,1},A∩(∁UB)={-1,1}.故选C.
2.设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案A
解析若a>1,则a2>a成立.
若a2>a,则a>1或a1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A.
3.函数y=4xx2+1的图象大致为(　　)

答案A
解析∵函数y=4xx2+1为奇函数,∴排除C,D.
再把x=1代入得y=42=2>0,排除B.故选A.
4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为(　　)

A.10 B.18 C.20 D.36
答案B
解析在[5.43,5.47]的频率为(6.25+5.00)×0.02=0.225,∴0.225×80=18.故选B.
5.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)
A.12π B.24π C.36π D.144π
答案C
解析∵2R=(23×2)2+(23)2=6,
∴球的表面积为4πR2=36π.故选C.
6.设a=30.7,b=13-0.8,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为　　　　　. 
答案4
解析∵ab=1,∴b=1a.
∴12a+12b+8a+b=12a+a2+8a+1a=121a+a+8a+1a.
令1a+a=t>0,则原式=t2+8t≥2t2·8t=24=4.
当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.
15.

如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD=λBC,AD·AB=-32,则实数λ的值为　　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DM·DN的最小值为　　　　　. 
答案16　132
解析∵AD=λBC,
∴AD·AB=λBC·AB=λ|BC||AB|·cos 120°=λ×6×3×-12=-32,∴λ=16.
令BM=μBC0x2,有f'(x1)+f'(x2)2>f(x1)-f(x2)x1-x2.
(1)解①当k=6时,f(x)=x3+6ln x,故f'(x)=3x2+6x.
可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.
②依题意,g(x)=x3-3x2+6ln x+3x,x∈(0,+∞).从而可得g'(x)=3x2-6x+6x−3x2,整理可得g'(x)=3(x-1)3(x+1)x2.令g'(x)=0,解得x=1.
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
-
0
+
g(x)
↘
极小值
↗


所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.
(2)证明由f(x)=x3+kln x,得f'(x)=3x2+kx.
对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,令x1x2=t(t>1),
则(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]
=(x1-x2)3x12+kx1+3x22+kx2-2x13−x23+klnx1x2
=x13−x23-3x12x2+3x1x22+kx1x2−x2x1-2klnx1x2
=x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2ln t.①
令h(x)=x-1x-2ln x,x∈[1,+∞).
当x>1时,h'(x)=1+1x2−2x=1-1x2>0,
由此可得h(x)在[1,+∞)单调递增,
所以当t>1时,h(t)>h(1),即t-1t-2ln t>0.
因为x2≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3,
所以,x23(t3-3t2+3t-1)+kt-1t-2ln t≥(t3-3t2+3t-1)-3t-1t-2ln t=t3-3t2+6ln t+3t-1.②
由(1)②可知,当t>1时,g(t)>g(1),即t3-3t2+6ln t+3t>1,故t3-3t2+6ln t+3t-1>0.③
由①②③可得
(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]>0.
所以,当k≥-3时,对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有f'(x1)+f'(x2)2>f(x1)-f(x2)x1-x2.