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2023年河南省焦作市中考数学一模试卷
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这是一份2023年河南省焦作市中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省焦作市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，直线a，b，c被直线d所截，a∥b，b∥c，若∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．125°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．a2+a3＝a5
C．a2•a3＝a5 D．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣1
5．（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭
6．（3分）若方程x2+2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）思政课上，某小组的2023全国“两会”知识测试成绩统计如表（满分10分）：
成绩
7
8
9
10
频数
1
3
4
2
则该组测试成绩的平均数为（ ）（单位：分）
A．8.2 B．8.3 C．8.7 D．8.9
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是AD，OC的中点，若∠BAD＝120°，EF＝，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．8 B．16 C．8 D．16
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3），D为OC的中点，E是AB上一动点，将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段DG的延长线恰好经过BC的中点H时，点F的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
10．（3分）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个过点（0，0）和（1，1）的函数解析式 ．
12．（3分）不等式组的解集为 ．
13．（3分）某超市购物消费一定数额后，可获得两次“玩转盘抽奖活动”，转盘（如图所示）被分成面积相等的五个扇形，分别标有红、绿、茶、可、乐五个汉字．每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，重新转动）的汉字，则小航抽到“可乐”的概率是 ．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD长为半径作弧交OB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB＝，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣）0﹣+3﹣1；
（2）化简：÷（1﹣）．
17．（9分）学校为了解学生对课后延时服务的满意度，从七、八年级各随机抽取20名学生对满意度进行打分（满分5分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：
a．七年级所打分数的频数分布表：
成绩x（分）
0≤x＜1
1≤x＜2
2≤x＜3
3≤x＜4
4≤x≤5
频数
1
3
5
7
4
b．七年级所打分数在3≤x＜4这一组的是（单位：分）：3.3 3.5 3.5 3.6 3.8 3.8 3.8
c．七、八两年级所打分数平均分、中位数、众数如下：
年级
平均分
中位数
众数
七年级
3.7
m
3.8
八年级
3.6
3.7
3.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）七年级所打分数的中位数m为 ，达到4分的人数占调查人数的百分比为 ；
（2）在这次打分中，某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于 年级的学生（填“七”或“八”），请说明理由．
（3）请对七、八年级开展课后服务的情况进行合理的评价．
18．（9分）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过A（8，6），B（m，16）两点．
（1）求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
（2）求m的值，并说明m的实际意义；
（3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
19．（9分）焦作桶张河村的老君庙戏楼建筑优雅，具有典型的地方特色，在古代建筑艺术方面具有较高的研究价值．某数学小组测量老君庙戏楼的高度，如图所示，戏楼上层为戏台DE，下层为台基CE，在A处测得台基顶部E的仰角为13°，沿AC方向前进2m到达B处，测得戏台顶部D的仰角为45°．已知台基CE高2.25m，求戏台DE的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23）
20．（9分）为落实《健康中国行动（2019﹣2030）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．
（1）求每个足球和排球的价格；
（2）学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
（3）在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案．
21．（9分）“沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动．沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为1m，当水平距离为2m时，沙包行进至最高点2m；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水平距离，y（m）是行进高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若地靶的中心到起掷线的距离为5m，设沙包落点与地靶中心的距离为R（cm），区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由．
区域
0≤R≤20
20＜R≤40
40＜R≤60
60＜R≤80
80＜R≤100
得分
50
40
30
20
10
22．（10分）如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AB，若（1）中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD＝∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA＝，求OD的长．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形ABCD的形状是 ；
②图2中AA'与CC'的数量关系是 ；四边形ABC'D'的形状是 ．
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长．
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中：
①当△BCC'为等腰三角形时，请直接写出CC'的长；
②直接写出BC'+BD'的最小值．
2023年河南省焦作市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：﹣的绝对值是|﹣|＝；
故选：C．
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看，可得如下图形：
．
故选：D．
3．（3分）如图，直线a，b，c被直线d所截，a∥b，b∥c，若∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．125°
【解答】解：∵a∥b，∠1＝115°，
∴∠3＝∠1＝115°，
∴∠4＝∠3＝115°，
∵b∥c，
∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣115°＝65°．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．a2+a3＝a5
C．a2•a3＝a5 D．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣1
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能加减，故选项A运算错误；
B．a2+a3不是同类项，不能加减，故选项B运算错误；
C．a2•a3＝a2+3＝a5，故选项C运算正确；
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1≠a2﹣2a﹣1，故选项D运算错误．
故选：C．
5．（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭
【解答】解：由题意得，1合＝10勺＝102撮＝103抄＝104圭，
∴十合＝10×104圭＝105圭，
故选：D．
6．（3分）若方程x2+2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵方程x2+2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣3）＞0，
解得：m＜4，
∴m的最大整数是3．
故选：B．
7．（3分）思政课上，某小组的2023全国“两会”知识测试成绩统计如表（满分10分）：
成绩
7
8
9
10
频数
1
3
4
2
则该组测试成绩的平均数为（ ）（单位：分）
A．8.2 B．8.3 C．8.7 D．8.9
【解答】解：由表格可得，
该组测试成绩的平均数为：＝8.7，
故选：C．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是AD，OC的中点，若∠BAD＝120°，EF＝，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．8 B．16 C．8 D．16
【解答】解：取CD的中点G，连接EG，FG，
∵点E为AD的中点，点F为OC的中点，
∴EG＝AC，EG∥AC，FG＝OD，FG∥OD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AC⊥BD，∠ADC＝60°，∠ODC＝∠ADC＝30°，
∴EG⊥GF，AD＝DC＝AC，
设CD＝x，则EG＝x，FG＝x，
∵EF＝，
∴（x）2+（x）2＝（）2，
解得x＝4，
∴CD＝4，
∴菱形ABCD的周长为：4CD＝4×4＝16，
故选：B．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3），D为OC的中点，E是AB上一动点，将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段DG的延长线恰好经过BC的中点H时，点F的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【解答】解：连接OB，
∵矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3），
∴AB＝OC＝4，OA＝BC＝3，
∴OB＝＝5，
延长DH交AB的延长线于M，
∵D为OC的中点，H为BC的中点，
∴DH∥OB，DH＝OB＝，
∵BM∥OD，
∴四边形ODMB是平行四边形，
∴DM＝OB＝5，BM＝OD＝2，
∵AB∥OC，
∴∠BED＝∠ODE，∠AED＝∠EDC，
∵将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处，
∴∠ODE＝∠MDE，∠AED＝∠FED，
∴∠BED＝∠MDE，∠EDC＝∠DEF，
∴EM＝DM＝5，
∴AE＝EF＝AM﹣BM＝AB+BM﹣EM＝1，
∵∠DEF＝∠EDC，∠BED＝∠HDE，
∴∠FEB＝∠CDH，
过F作FN⊥AB于N，
∴∠FNE＝∠DCH＝90°，
∴△EFN∽△DHC，
∴，
∴，
∴EN＝，FN＝，
∴F（，）．
故选：A．
10．（3分）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【解答】解：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝BC＝2a，即矩形的长是2a，
∴×2a•AB＝6a，
即AB＝6．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5×2＝10，
在Rt△ABD中，
AD2+AB2＝BD2，
∴（2a）2+62＝102，
解得a＝4．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个过点（0，0）和（1，1）的函数解析式 y＝x或y＝x2（答案不唯一） ．
【解答】解：将点（0，0）和（1，1）代入一次函数或二次函数或反比例函数得：y＝x或y＝x2等，
故答案为：y＝x或y＝x2等．
12．（3分）不等式组的解集为 ﹣1≤x＜2 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
故答案为：﹣1≤x＜2．
13．（3分）某超市购物消费一定数额后，可获得两次“玩转盘抽奖活动”，转盘（如图所示）被分成面积相等的五个扇形，分别标有红、绿、茶、可、乐五个汉字．每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，重新转动）的汉字，则小航抽到“可乐”的概率是 ．
【解答】解：画树状图如图：
∵共有25种等可能的结果，其中小航经过两次“玩转盘抽奖活动”，抽到“可乐”的结果有2种，
∴小航抽到“可乐”的概率是．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD长为半径作弧交OB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 +1 ．
【解答】解：连接OD、BD，
∵过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，
∴OD＝BD，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴∠BOD＝60°，
∴CD＝OD＝，
∴S阴影＝S扇形CDE+S△COD﹣S扇形BOD＝+﹣＝+1．
故答案为：+1．
15．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB＝，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 或 ．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∴可分两种情况，当点Q在BD上时或当点Q在BD的反向延长线上时，
①当点Q在BD上时，如图，
∵在等边三角形ABC中，AB＝，点D为AC的中点，
∴∠ADB＝90°，AD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
∵BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ＝1，
∴QD＝BD﹣BQ＝2，
在Rt△AQD中，由勾股定理得；
②当点Q在BD的反向延长线上时，如图，
∵在等边三角形ABC中，AB＝，点D为AC的中点，
∴∠ADB＝90°，AD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
∵BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ＝1，
∴QD＝BD+BQ＝4，
在Rt△AQD中，由勾股定理得；
综上，AQ的长为或．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣）0﹣+3﹣1；
（2）化简：÷（1﹣）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（﹣2）+
＝；
（2）原式＝÷
＝•
＝﹣．
17．（9分）学校为了解学生对课后延时服务的满意度，从七、八年级各随机抽取20名学生对满意度进行打分（满分5分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：
a．七年级所打分数的频数分布表：
成绩x（分）
0≤x＜1
1≤x＜2
2≤x＜3
3≤x＜4
4≤x≤5
频数
1
3
5
7
4
b．七年级所打分数在3≤x＜4这一组的是（单位：分）：3.3 3.5 3.5 3.6 3.8 3.8 3.8
c．七、八两年级所打分数平均分、中位数、众数如下：
年级
平均分
中位数
众数
七年级
3.7
m
3.8
八年级
3.6
3.7
3.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）七年级所打分数的中位数m为 3 ，达到4分的人数占调查人数的百分比为 20% ；
（2）在这次打分中，某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于 八 年级的学生（填“七”或“八”），请说明理由．
（3）请对七、八年级开展课后服务的情况进行合理的评价．
【解答】解：（1）把七年级20名学生所打分数从小到大排列，排在第10和第11个数分别是3、3，故中位数m＝＝3；
达到4分的人数占调查人数的百分比为＝20%；
故答案为：3；20%；
（2）∵七年级的中位数是3.7，八年级的中位数是3.6，
∴某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于八年级的学生．
故答案为：八；
（3）七年级的平均数较高，所以七年级对课后延时服务的满意度比八年级的高．（答案不唯一）．
18．（9分）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过A（8，6），B（m，16）两点．
（1）求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
（2）求m的值，并说明m的实际意义；
（3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
【解答】解：（1）由于电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，
设I＝，
∵图象过点A（8，6），
∴U＝IR＝8×6＝48，
∴I与R的函数表达式为I＝；
（2）当R＝mΩ时，＝16（A），
∴m＝3，
当电阻R为3Ω，电流大小为16A；
（3）∵I＝，
∴当I＝10时，R＝4.8，
∴当I≤10时，R≥4.8．
∴该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在不低于4.8Ω．
19．（9分）焦作桶张河村的老君庙戏楼建筑优雅，具有典型的地方特色，在古代建筑艺术方面具有较高的研究价值．某数学小组测量老君庙戏楼的高度，如图所示，戏楼上层为戏台DE，下层为台基CE，在A处测得台基顶部E的仰角为13°，沿AC方向前进2m到达B处，测得戏台顶部D的仰角为45°．已知台基CE高2.25m，求戏台DE的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23）
【解答】解：设BC＝x米，
在Rt△ACE中，tan∠EAC＝，
∴AC＝≈10（米），
∴BC＝AC﹣AB＝10﹣2＝8（米），
∵∠DBC＝45°，
∴CD＝CB＝8（米），
∴ED＝DC﹣CE＝8﹣2.25≈6（米），
答：戏台DE的高度是6米．
20．（9分）为落实《健康中国行动（2019﹣2030）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．
（1）求每个足球和排球的价格；
（2）学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
（3）在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案．
【解答】解：（1）设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣20）元，
由题意得：＝，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣20＝100﹣20＝80，
答：每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元；
（2）设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球（50﹣a）个，
则，
解得：25≤a＜50，
由题意得：y＝100a+80（50﹣a）＝20a+4000，
∵20＞0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a＝25时，y有最小值＝20×25+4000＝4500，
答：本次购买最少花费4500元钱；
（3）在（2）方案下，学校购买足球和排球各25个，花费4500元，
∵体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠，
∴学校节约资金：100×（1﹣0.8）×25+80×（1﹣0.75）×25＝1000（元），
设学校再次购买足球m个，排球n个，
由题意得：100m+80n＝1000，
整理得：5m+4n＝50，
∵m、n都是非负整数，
∴或或，
∴学校再次购买足球和排球的方案有3个：
①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球．
21．（9分）“沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动．沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为1m，当水平距离为2m时，沙包行进至最高点2m；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水平距离，y（m）是行进高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若地靶的中心到起掷线的距离为5m，设沙包落点与地靶中心的距离为R（cm），区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由．
区域
0≤R≤20
20＜R≤40
40＜R≤60
60＜R≤80
80＜R≤100
得分
50
40
30
20
10
【解答】解：（1）由图象知，抛物线的顶点为（2，2），
∴抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把（0，1）代入解析式得，1＝a（﹣2）2+2，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+2；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝2+2，x2﹣2+2（舍去），
∵2+2≈4.828，
∴沙包落地点距O点的距离为4.828m≈483cm，
∴沙包落点与地靶中心的距离为500﹣483＝17（cm），
∵0＜17＜20，
∴小航成绩应为50分．
22．（10分）如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AB，若（1）中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD＝∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA＝，求OD的长．
【解答】（1）解：如图，OD为所作；
（2）①证明：
∵直线l与⊙O相切于点B，
∴OB⊥l，
∴∠OBD＝90°，
即∠OBA+∠DBC＝90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A+∠ACO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠DBC＝∠ACO，
而∠ACO＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB；
②在Rt△AOC中，
∵cosA＝＝，OA＝4，
∴AC＝5，
∴OC＝＝＝3，
∵∠CBD＝∠DCB；
∴DB＝DC，
设BD＝x，则DC＝x，OD＝x+3，
在Rt△OBD中，42+x2＝（x+3）2，
解得x＝，
∴OD＝OC+CD＝3+＝．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形ABCD的形状是 正方形 ；
②图2中AA'与CC'的数量关系是 AA'＝CC' ；四边形ABC'D'的形状是 平行四边形 ．
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长．
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中：
①当△BCC'为等腰三角形时，请直接写出CC'的长；
②直接写出BC'+BD'的最小值．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：正方形；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴AA'＝CC'，CD＝C'D'，CD∥C'D'，
∴C'D'＝AB，C'D'∥AB，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
故答案为：AA'＝CC'，平行四边形；
（2）四边形ABC'D'的形状可以是菱形，
如图3，连接AD'，BC'，
∵AB＝6cm，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴AC＝12cm，∠BAC＝60°，BC＝6cm，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴CD＝C'D'＝AB，CD∥C'D'∥AB，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
∴当BC'＝AB＝6cm时，四边形ABC'D'是菱形，
∵BC'＝AB＝6cm，∠BAC＝60°，
∴△ABC'是等边三角形，
∴AB＝AC'＝BC'＝6cm，
∴CC'＝6cm；
（3）①当BC'＝CC'时，△BCC'为等腰三角形，如图，
∵BC'＝CC'，
∴∠BCC'＝∠CBC'＝30°，
∴∠AC'B＝60°，
∴△ABC'是等边三角形，
∴AB＝AC'＝6cm，
∴CC'＝6cm；
当BC＝CC'＝6cm时，△BCC'为等腰三角形；
当BC＝BC'时，△BCC'为等腰三角形，
如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵∠ACB＝30°，BH⊥AC，
∴BH＝3cm，CH＝BH＝9cm，
∵BC＝BC'，BH⊥AC，
∴CC'＝2CH＝18cm，
综上所述：CC'的长为6cm或6cm或18cm；
②如图5，连接DD'，AD'，
∵四边形ABC'D'是平行四边形，
∴AD'＝BC'，
∴BC'+BD'＝AD'+BD'，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴DD'∥AC，
∴∠DAC＝∠D'DA＝30，
作点A关于直线DD'的对称点N，连接BN，连接AN交直线DD'于P，即BC'+BD'的最小值为BN的长，
过点N作NE⊥直线AB于E，
∵点A，点N关于DD'对称，
∴AP＝PN，AN⊥DP，
∵∠D'DA＝30，
∴AD＝2AP，∠PAD＝30°，
∴AP＝PN＝3，∠EAN＝30°，
∴EN＝AN＝3，AE＝EN＝9，
∴BE＝15，
∴BN＝＝＝6，
∴BC'+BD'的最小值为6．
2023年河南省焦作市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，直线a，b，c被直线d所截，a∥b，b∥c，若∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．125°
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．a2+a3＝a5
C．a2•a3＝a5 D．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣1
5．（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭
6．（3分）若方程x2+2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）思政课上，某小组的2023全国“两会”知识测试成绩统计如表（满分10分）：
成绩
7
8
9
10
频数
1
3
4
2
则该组测试成绩的平均数为（ ）（单位：分）
A．8.2 B．8.3 C．8.7 D．8.9
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是AD，OC的中点，若∠BAD＝120°，EF＝，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．8 B．16 C．8 D．16
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3），D为OC的中点，E是AB上一动点，将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段DG的延长线恰好经过BC的中点H时，点F的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
10．（3分）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个过点（0，0）和（1，1）的函数解析式 ．
12．（3分）不等式组的解集为 ．
13．（3分）某超市购物消费一定数额后，可获得两次“玩转盘抽奖活动”，转盘（如图所示）被分成面积相等的五个扇形，分别标有红、绿、茶、可、乐五个汉字．每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，重新转动）的汉字，则小航抽到“可乐”的概率是 ．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD长为半径作弧交OB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB＝，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣）0﹣+3﹣1；
（2）化简：÷（1﹣）．
17．（9分）学校为了解学生对课后延时服务的满意度，从七、八年级各随机抽取20名学生对满意度进行打分（满分5分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：
a．七年级所打分数的频数分布表：
成绩x（分）
0≤x＜1
1≤x＜2
2≤x＜3
3≤x＜4
4≤x≤5
频数
1
3
5
7
4
b．七年级所打分数在3≤x＜4这一组的是（单位：分）：3.3 3.5 3.5 3.6 3.8 3.8 3.8
c．七、八两年级所打分数平均分、中位数、众数如下：
年级
平均分
中位数
众数
七年级
3.7
m
3.8
八年级
3.6
3.7
3.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）七年级所打分数的中位数m为 ，达到4分的人数占调查人数的百分比为 ；
（2）在这次打分中，某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于 年级的学生（填“七”或“八”），请说明理由．
（3）请对七、八年级开展课后服务的情况进行合理的评价．
18．（9分）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过A（8，6），B（m，16）两点．
（1）求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
（2）求m的值，并说明m的实际意义；
（3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
19．（9分）焦作桶张河村的老君庙戏楼建筑优雅，具有典型的地方特色，在古代建筑艺术方面具有较高的研究价值．某数学小组测量老君庙戏楼的高度，如图所示，戏楼上层为戏台DE，下层为台基CE，在A处测得台基顶部E的仰角为13°，沿AC方向前进2m到达B处，测得戏台顶部D的仰角为45°．已知台基CE高2.25m，求戏台DE的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23）
20．（9分）为落实《健康中国行动（2019﹣2030）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．
（1）求每个足球和排球的价格；
（2）学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
（3）在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案．
21．（9分）“沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动．沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为1m，当水平距离为2m时，沙包行进至最高点2m；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水平距离，y（m）是行进高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若地靶的中心到起掷线的距离为5m，设沙包落点与地靶中心的距离为R（cm），区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由．
区域
0≤R≤20
20＜R≤40
40＜R≤60
60＜R≤80
80＜R≤100
得分
50
40
30
20
10
22．（10分）如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AB，若（1）中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD＝∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA＝，求OD的长．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形ABCD的形状是 ；
②图2中AA'与CC'的数量关系是 ；四边形ABC'D'的形状是 ．
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长．
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中：
①当△BCC'为等腰三角形时，请直接写出CC'的长；
②直接写出BC'+BD'的最小值．
2023年河南省焦作市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：﹣的绝对值是|﹣|＝；
故选：C．
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看，可得如下图形：
．
故选：D．
3．（3分）如图，直线a，b，c被直线d所截，a∥b，b∥c，若∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．125°
【解答】解：∵a∥b，∠1＝115°，
∴∠3＝∠1＝115°，
∴∠4＝∠3＝115°，
∵b∥c，
∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣115°＝65°．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．a2+a3＝a5
C．a2•a3＝a5 D．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣1
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能加减，故选项A运算错误；
B．a2+a3不是同类项，不能加减，故选项B运算错误；
C．a2•a3＝a2+3＝a5，故选项C运算正确；
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1≠a2﹣2a﹣1，故选项D运算错误．
故选：C．
5．（3分）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭
【解答】解：由题意得，1合＝10勺＝102撮＝103抄＝104圭，
∴十合＝10×104圭＝105圭，
故选：D．
6．（3分）若方程x2+2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵方程x2+2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣3）＞0，
解得：m＜4，
∴m的最大整数是3．
故选：B．
7．（3分）思政课上，某小组的2023全国“两会”知识测试成绩统计如表（满分10分）：
成绩
7
8
9
10
频数
1
3
4
2
则该组测试成绩的平均数为（ ）（单位：分）
A．8.2 B．8.3 C．8.7 D．8.9
【解答】解：由表格可得，
该组测试成绩的平均数为：＝8.7，
故选：C．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是AD，OC的中点，若∠BAD＝120°，EF＝，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．8 B．16 C．8 D．16
【解答】解：取CD的中点G，连接EG，FG，
∵点E为AD的中点，点F为OC的中点，
∴EG＝AC，EG∥AC，FG＝OD，FG∥OD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AC⊥BD，∠ADC＝60°，∠ODC＝∠ADC＝30°，
∴EG⊥GF，AD＝DC＝AC，
设CD＝x，则EG＝x，FG＝x，
∵EF＝，
∴（x）2+（x）2＝（）2，
解得x＝4，
∴CD＝4，
∴菱形ABCD的周长为：4CD＝4×4＝16，
故选：B．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3），D为OC的中点，E是AB上一动点，将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段DG的延长线恰好经过BC的中点H时，点F的坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【解答】解：连接OB，
∵矩形ABCO的顶点B的坐标为（4，3），
∴AB＝OC＝4，OA＝BC＝3，
∴OB＝＝5，
延长DH交AB的延长线于M，
∵D为OC的中点，H为BC的中点，
∴DH∥OB，DH＝OB＝，
∵BM∥OD，
∴四边形ODMB是平行四边形，
∴DM＝OB＝5，BM＝OD＝2，
∵AB∥OC，
∴∠BED＝∠ODE，∠AED＝∠EDC，
∵将四边形OAED沿ED折叠，使点A落在F处，点O落在G处，
∴∠ODE＝∠MDE，∠AED＝∠FED，
∴∠BED＝∠MDE，∠EDC＝∠DEF，
∴EM＝DM＝5，
∴AE＝EF＝AM﹣BM＝AB+BM﹣EM＝1，
∵∠DEF＝∠EDC，∠BED＝∠HDE，
∴∠FEB＝∠CDH，
过F作FN⊥AB于N，
∴∠FNE＝∠DCH＝90°，
∴△EFN∽△DHC，
∴，
∴，
∴EN＝，FN＝，
∴F（，）．
故选：A．
10．（3分）如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【解答】解：∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝BC＝2a，即矩形的长是2a，
∴×2a•AB＝6a，
即AB＝6．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5×2＝10，
在Rt△ABD中，
AD2+AB2＝BD2，
∴（2a）2+62＝102，
解得a＝4．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个过点（0，0）和（1，1）的函数解析式 y＝x或y＝x2（答案不唯一） ．
【解答】解：将点（0，0）和（1，1）代入一次函数或二次函数或反比例函数得：y＝x或y＝x2等，
故答案为：y＝x或y＝x2等．
12．（3分）不等式组的解集为 ﹣1≤x＜2 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
故答案为：﹣1≤x＜2．
13．（3分）某超市购物消费一定数额后，可获得两次“玩转盘抽奖活动”，转盘（如图所示）被分成面积相等的五个扇形，分别标有红、绿、茶、可、乐五个汉字．每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，重新转动）的汉字，则小航抽到“可乐”的概率是 ．
【解答】解：画树状图如图：
∵共有25种等可能的结果，其中小航经过两次“玩转盘抽奖活动”，抽到“可乐”的结果有2种，
∴小航抽到“可乐”的概率是．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝2，过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，以C为圆心，CD长为半径作弧交OB的延长线于E，则图中阴影部分的面积为 +1 ．
【解答】解：连接OD、BD，
∵过OB的中点C作CD⊥OB交于点D，
∴OD＝BD，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD＝2，
∴∠BOD＝60°，
∴CD＝OD＝，
∴S阴影＝S扇形CDE+S△COD﹣S扇形BOD＝+﹣＝+1．
故答案为：+1．
15．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AB＝，点D为AC的中点，点P在AB上，且BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 或 ．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∴可分两种情况，当点Q在BD上时或当点Q在BD的反向延长线上时，
①当点Q在BD上时，如图，
∵在等边三角形ABC中，AB＝，点D为AC的中点，
∴∠ADB＝90°，AD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
∵BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ＝1，
∴QD＝BD﹣BQ＝2，
在Rt△AQD中，由勾股定理得；
②当点Q在BD的反向延长线上时，如图，
∵在等边三角形ABC中，AB＝，点D为AC的中点，
∴∠ADB＝90°，AD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
∵BP＝1，将BP绕点B在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴BQ＝1，
∴QD＝BD+BQ＝4，
在Rt△AQD中，由勾股定理得；
综上，AQ的长为或．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：（﹣）0﹣+3﹣1；
（2）化简：÷（1﹣）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（﹣2）+
＝；
（2）原式＝÷
＝•
＝﹣．
17．（9分）学校为了解学生对课后延时服务的满意度，从七、八年级各随机抽取20名学生对满意度进行打分（满分5分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：
a．七年级所打分数的频数分布表：
成绩x（分）
0≤x＜1
1≤x＜2
2≤x＜3
3≤x＜4
4≤x≤5
频数
1
3
5
7
4
b．七年级所打分数在3≤x＜4这一组的是（单位：分）：3.3 3.5 3.5 3.6 3.8 3.8 3.8
c．七、八两年级所打分数平均分、中位数、众数如下：
年级
平均分
中位数
众数
七年级
3.7
m
3.8
八年级
3.6
3.7
3.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）七年级所打分数的中位数m为 3 ，达到4分的人数占调查人数的百分比为 20% ；
（2）在这次打分中，某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于 八 年级的学生（填“七”或“八”），请说明理由．
（3）请对七、八年级开展课后服务的情况进行合理的评价．
【解答】解：（1）把七年级20名学生所打分数从小到大排列，排在第10和第11个数分别是3、3，故中位数m＝＝3；
达到4分的人数占调查人数的百分比为＝20%；
故答案为：3；20%；
（2）∵七年级的中位数是3.7，八年级的中位数是3.6，
∴某同学的打分为3.6分，在他所属的年级排前10名，根据表中数据判断该同学属于八年级的学生．
故答案为：八；
（3）七年级的平均数较高，所以七年级对课后延时服务的满意度比八年级的高．（答案不唯一）．
18．（9分）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象经过A（8，6），B（m，16）两点．
（1）求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
（2）求m的值，并说明m的实际意义；
（3）如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
【解答】解：（1）由于电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，
设I＝，
∵图象过点A（8，6），
∴U＝IR＝8×6＝48，
∴I与R的函数表达式为I＝；
（2）当R＝mΩ时，＝16（A），
∴m＝3，
当电阻R为3Ω，电流大小为16A；
（3）∵I＝，
∴当I＝10时，R＝4.8，
∴当I≤10时，R≥4.8．
∴该电路的限制电流不能超过10A，那么该电路的可变电阻控制在不低于4.8Ω．
19．（9分）焦作桶张河村的老君庙戏楼建筑优雅，具有典型的地方特色，在古代建筑艺术方面具有较高的研究价值．某数学小组测量老君庙戏楼的高度，如图所示，戏楼上层为戏台DE，下层为台基CE，在A处测得台基顶部E的仰角为13°，沿AC方向前进2m到达B处，测得戏台顶部D的仰角为45°．已知台基CE高2.25m，求戏台DE的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23）
【解答】解：设BC＝x米，
在Rt△ACE中，tan∠EAC＝，
∴AC＝≈10（米），
∴BC＝AC﹣AB＝10﹣2＝8（米），
∵∠DBC＝45°，
∴CD＝CB＝8（米），
∴ED＝DC﹣CE＝8﹣2.25≈6（米），
答：戏台DE的高度是6米．
20．（9分）为落实《健康中国行动（2019﹣2030）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．
（1）求每个足球和排球的价格；
（2）学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
（3）在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案．
【解答】解：（1）设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为（x﹣20）元，
由题意得：＝，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣20＝100﹣20＝80，
答：每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元；
（2）设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球（50﹣a）个，
则，
解得：25≤a＜50，
由题意得：y＝100a+80（50﹣a）＝20a+4000，
∵20＞0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a＝25时，y有最小值＝20×25+4000＝4500，
答：本次购买最少花费4500元钱；
（3）在（2）方案下，学校购买足球和排球各25个，花费4500元，
∵体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠，
∴学校节约资金：100×（1﹣0.8）×25+80×（1﹣0.75）×25＝1000（元），
设学校再次购买足球m个，排球n个，
由题意得：100m+80n＝1000，
整理得：5m+4n＝50，
∵m、n都是非负整数，
∴或或，
∴学校再次购买足球和排球的方案有3个：
①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球．
21．（9分）“沙包掷准”是同学们非常喜爱的一项趣味运动．沙包行进的路线呈抛物线形状，经研究，小航在掷沙包时，掷出起点处高度为1m，当水平距离为2m时，沙包行进至最高点2m；建立如图所示直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水平距离，y（m）是行进高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若地靶的中心到起掷线的距离为5m，设沙包落点与地靶中心的距离为R（cm），区域与得分对应如表，请问小航成绩怎样？并说明理由．
区域
0≤R≤20
20＜R≤40
40＜R≤60
60＜R≤80
80＜R≤100
得分
50
40
30
20
10
【解答】解：（1）由图象知，抛物线的顶点为（2，2），
∴抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把（0，1）代入解析式得，1＝a（﹣2）2+2，
解得a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+2；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝2+2，x2﹣2+2（舍去），
∵2+2≈4.828，
∴沙包落地点距O点的距离为4.828m≈483cm，
∴沙包落点与地靶中心的距离为500﹣483＝17（cm），
∵0＜17＜20，
∴小航成绩应为50分．
22．（10分）如图，OA，OB为⊙O的两条半径，直线l与⊙O相切于点B．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段OA的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AB，若（1）中所作垂线分别与AB，直线l交于点C和点D．
①求证：∠CBD＝∠DCB；
②若⊙O的半径为4，cosA＝，求OD的长．
【解答】（1）解：如图，OD为所作；
（2）①证明：
∵直线l与⊙O相切于点B，
∴OB⊥l，
∴∠OBD＝90°，
即∠OBA+∠DBC＝90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A+∠ACO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠DBC＝∠ACO，
而∠ACO＝∠DCB，
∴∠CBD＝∠DCB；
②在Rt△AOC中，
∵cosA＝＝，OA＝4，
∴AC＝5，
∴OC＝＝＝3，
∵∠CBD＝∠DCB；
∴DB＝DC，
设BD＝x，则DC＝x，OD＝x+3，
在Rt△OBD中，42+x2＝（x+3）2，
解得x＝，
∴OD＝OC+CD＝3+＝．
23．（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形ABCD的形状是 正方形 ；
②图2中AA'与CC'的数量关系是 AA'＝CC' ；四边形ABC'D'的形状是 平行四边形 ．
（2）迁移探究
小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为6cm，过程如下：
将三角板ACD按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长．
（3）拓展应用
在（2）的探究过程中：
①当△BCC'为等腰三角形时，请直接写出CC'的长；
②直接写出BC'+BD'的最小值．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：正方形；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴AA'＝CC'，CD＝C'D'，CD∥C'D'，
∴C'D'＝AB，C'D'∥AB，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
故答案为：AA'＝CC'，平行四边形；
（2）四边形ABC'D'的形状可以是菱形，
如图3，连接AD'，BC'，
∵AB＝6cm，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴AC＝12cm，∠BAC＝60°，BC＝6cm，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴CD＝C'D'＝AB，CD∥C'D'∥AB，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
∴当BC'＝AB＝6cm时，四边形ABC'D'是菱形，
∵BC'＝AB＝6cm，∠BAC＝60°，
∴△ABC'是等边三角形，
∴AB＝AC'＝BC'＝6cm，
∴CC'＝6cm；
（3）①当BC'＝CC'时，△BCC'为等腰三角形，如图，
∵BC'＝CC'，
∴∠BCC'＝∠CBC'＝30°，
∴∠AC'B＝60°，
∴△ABC'是等边三角形，
∴AB＝AC'＝6cm，
∴CC'＝6cm；
当BC＝CC'＝6cm时，△BCC'为等腰三角形；
当BC＝BC'时，△BCC'为等腰三角形，
如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵∠ACB＝30°，BH⊥AC，
∴BH＝3cm，CH＝BH＝9cm，
∵BC＝BC'，BH⊥AC，
∴CC'＝2CH＝18cm，
综上所述：CC'的长为6cm或6cm或18cm；
②如图5，连接DD'，AD'，
∵四边形ABC'D'是平行四边形，
∴AD'＝BC'，
∴BC'+BD'＝AD'+BD'，
∵将三角板ACD沿CA方向平移，
∴DD'∥AC，
∴∠DAC＝∠D'DA＝30，
作点A关于直线DD'的对称点N，连接BN，连接AN交直线DD'于P，即BC'+BD'的最小值为BN的长，
过点N作NE⊥直线AB于E，
∵点A，点N关于DD'对称，
∴AP＝PN，AN⊥DP，
∵∠D'DA＝30，
∴AD＝2AP，∠PAD＝30°，
∴AP＝PN＝3，∠EAN＝30°，
∴EN＝AN＝3，AE＝EN＝9，
∴BE＝15，
∴BN＝＝＝6，
∴BC'+BD'的最小值为6．
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