2023年广东省珠海八中中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省珠海八中中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了下列二次根式是最简二次根式的是，在平面直角坐标系中，点A等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省珠海八中中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣5
4．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a﹣b＜0 B．2a﹣1＜2b﹣1 C．ac2＞bc2 D．
5．在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
6．已知关于x的方程＝1的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°
8．某圆锥的三视图如图所示，由图中数据可知，该圆锥的侧面积为（　　）


A．12πcm2 B．15πcm2 C．20πcm2 D．24πcm2
9．如图，已知点D、E、F、G、H、I分别在△ABC的三边上，如果六边形DEFGHI是正六边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠A＝60°
B．
C．＝
D．＝
10．如图，反比例函数的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上，若△OAC的面积为5，AD：OD＝1：2，则k的值为（　　）

A．4 B．8 C．5 D．10
二．填空题（共5小题）
11．（3分）因式分解3xy﹣6y＝　 　．
12．（3分）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于　 　度．

13．（3分）如图，电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为 　 　．

14．（3分）如图，在扇形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，若以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是 　 　．

15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝　 　．

三．解答题（共8小题）
16．计算：．
17．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°．
（1）作图：在AC上方作射线AE，使∠CAE＝∠ACB．在射线AE上截取AD使AD＝BC，连接CD（用尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明四边形ABCD是矩形．

18．我区某中学体育组因高中教学需要本学期购进篮球和排球共80个，共花费5800元，已知篮球的单价是80元/个，排球的单价是50元/个．
（1）篮球和排球各购进了多少个（列方程组解答）？
（2）因该中学秋季开学准备为初中也购买篮球和排球，教学资源实现共享，体育组提出还需购进同样的篮球和排球共40个，但学校要求花费不能超过2810元，那么篮球最多能购进多少个（列不等式解答）？
19．（70分）新冠疫情期间，某学校为加强学生的疫情防控意识，组织八年级1800名学生参加疫情防控知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，请根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分数段
频数
频率
55＜x≤70
30
m
70＜x≤85
n
0.25
85＜x≤100
45
0.45
（1）这次抽取了 　 　名学生的竞赛成绩进行统计，其中，m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生疫情防控意识不强，有待进一步加强防控意识教育，则该校疫情防控意识不强的学生约有多少人？

20．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房BC的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？

21．如图，矩形ABCD中，BC＝9．P是边BC上一动点（不与点B重合），延长CB到Q，使BQ＝BP，AP，DQ交于点E，连接BE并延长交AD于点F．
（1）若BP＝6，求证：△ADE≌△PQE；
（2）探究：当点P运动时，点F的位置是否发生变化？请说明理由．

22．如图，已知D是⊙O上一点，AB是直径，∠BAD的平分线交⊙O于点E，⊙O的切线BC交OE的延长线于点C，连接OD，CD．
（1）求证：CD⊥OD．
（2）若AB＝2，填空：
①当CE＝　 　时，四边形BCDO是正方形．
②作△AEO关于直线OE对称的△FEO，连接BF，BE．当四边形BEOF是菱形时，求四边形BCOF的面积．

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线BC的函数表达式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线BP下方是否存在点Q使得∠PBQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标．


2023年广东省珠海八中中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一．选择题（共10小题）
1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝2，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、＝3，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣5
【解答】解：∵点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，
∴m+1＝3，
解得m＝2．
故选：C．
4．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a﹣b＜0 B．2a﹣1＜2b﹣1 C．ac2＞bc2 D．
【解答】解：A、∵a＞b∴a﹣b＞0，故A不合题意；
B、∵a＞b∴2a＞2b∴2a﹣1＞2b﹣1，故B不合题意；
C、当c2＝0时，ac2＝bc2，故C不合题意；
D、a＞b，则，故D符合题意；
故选：D．
5．在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
6．已知关于x的方程＝1的解是负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1 或a≠0
【解答】解：去分母得，a＝x+1，
∴x＝a﹣1，
∵方程的解是负数，
∴a﹣1＜0，
即a＜1，
又a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0．
故选：B．
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD＝25°，则∠AOD的度数为（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°
【解答】解：∵∠BCD＝25°，＝，
∴∠BOD＝2∠BCD＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
8．某圆锥的三视图如图所示，由图中数据可知，该圆锥的侧面积为（　　）


A．12πcm2 B．15πcm2 C．20πcm2 D．24πcm2
【解答】解：这个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为6÷2＝3（cm），
所以圆锥的母线长＝＝5（cm），
所以圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．
故选：B．
9．如图，已知点D、E、F、G、H、I分别在△ABC的三边上，如果六边形DEFGHI是正六边形，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠A＝60°
B．
C．＝
D．＝
【解答】解：∵六边形DEFGHI是正六边形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
即△ADE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
故A选项结论正确，不符合题意；
同理得出∠B＝∠C＝60°，
即△ABC是等边三角形，
∴AD＝DI＝BI，
即，
∵DE∥BC，
∴＝，
故B选项结论正确，不符合题意；
＝＝，
故C选项结论不正确，符合题意；
＝＝，
故D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
10．如图，反比例函数的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上，若△OAC的面积为5，AD：OD＝1：2，则k的值为（　　）

A．4 B．8 C．5 D．10
【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，如图：

∴△ODE的面积和△OBC的面积相等，都等于，
∵△OAC的面积为5，
∴△OBA的面积＝5+，
∵AD：OD＝1：2，
∴OD：OA＝2：3，
∵DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴＝（）2＝，
即＝，
解得：k＝8，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．（3分）因式分解3xy﹣6y＝　3y（x﹣2）　．
【解答】解：3xy﹣6y＝3y（x﹣2）．
故答案为：3y（x﹣2）．
12．（3分）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于　72　度．

【解答】解：正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，
所以∠α＝360°﹣108°﹣90°﹣90°＝72°．
13．（3分）如图，电路上有编号①②③④共4个开关和1个小灯泡，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为 　　．

【解答】解：列表如下：

①
②
③
④
①

（①，②）
（①，③）
（①，④）
②
（②，①）

（②，③）
（②，④）
③
（③，①）
（③，②）

（③，④）
④
（④，①）
（④，②）
（④，③）

∴一共有12种情况，能使小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的的概率为：＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在扇形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，若以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是 　　．

【解答】解：连接AD，

∵以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，AB＝2，
∴AD＝AC＝CD＝2，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠DCA＝∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BAD＝＝π，
故答案为：π．
15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝　　．

【解答】解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，
设CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
∵在Rt△ABC中，点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝CE＝x，
∵BD⊥AB，
∴∠EBD＝90°，
∴BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AE＝BE＝CE＝3，DE＝8﹣3＝5，
∵CF⊥AB，
∴∠CFE＝∠CFA＝90°，
∴∠CFE＝∠EBD，
又∵∠CEF＝∠DEB，
∴△CFE∽△DBE，
∴，即，
解得：EF＝，CF＝，
∴AF＝AE﹣EF＝，
∵∠CFA＝90°，
∴AC＝＝；
故答案为：．

三．解答题（共8小题）
16．计算：．
【解答】解：
＝﹣1﹣2×+﹣1+1
＝﹣1﹣+﹣1+1
＝﹣1．
17．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°．
（1）作图：在AC上方作射线AE，使∠CAE＝∠ACB．在射线AE上截取AD使AD＝BC，连接CD（用尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明四边形ABCD是矩形．

【解答】解：（1）如图所示：即为所求作的图形；

（2）在（1）的条件下：
∵∠CAE＝∠ACB．
∴BC∥AD，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形．
18．我区某中学体育组因高中教学需要本学期购进篮球和排球共80个，共花费5800元，已知篮球的单价是80元/个，排球的单价是50元/个．
（1）篮球和排球各购进了多少个（列方程组解答）？
（2）因该中学秋季开学准备为初中也购买篮球和排球，教学资源实现共享，体育组提出还需购进同样的篮球和排球共40个，但学校要求花费不能超过2810元，那么篮球最多能购进多少个（列不等式解答）？
【解答】解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，
根据题意得：，
解得：．
答：购进篮球60个，购进排球20个．
（2）设购进篮球m个，则购进排球（40﹣m）个，
根据题意得：80m+50（40﹣m）≤2810，
解得：m≤27．
答：篮球最多能购进27个．
19．（70分）新冠疫情期间，某学校为加强学生的疫情防控意识，组织八年级1800名学生参加疫情防控知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，请根据尚未完成的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分数段
频数
频率
55＜x≤70
30
m
70＜x≤85
n
0.25
85＜x≤100
45
0.45
（1）这次抽取了 　100　名学生的竞赛成绩进行统计，其中，m＝　0.3　，n＝　25　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生疫情防控意识不强，有待进一步加强防控意识教育，则该校疫情防控意识不强的学生约有多少人？

【解答】解：（1）45÷0.45＝100（人），
m＝1﹣0.25﹣0.45＝0.3，
n＝100×0.25＝25，
故答案为：100，0.3，25；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）180×0.3＝540（人），
答：该校疫情防控意识不强的学生约有540人．
20．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房BC的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？

【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：

则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°，
∵∠DCF＝∠FDC＝45°，
∴CF＝DF，
∵四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF＝DF，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝＝＝2+，
∴BE＝30，
经检验，BE＝30是原方程的解，
∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米），
答：此时小区楼房BC的高度为15米．
（2）∵DE＝15（2+）米，
∴AE＝＝＝15（米），
过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米，
∴tan∠BAC＝＝＝，
在Rt△AGH中，GH＝DE＝15（2+）米，
AH＝＝＝（30+45）米，
∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米，
（30+30）÷5＝（6+6）（秒），
答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
21．如图，矩形ABCD中，BC＝9．P是边BC上一动点（不与点B重合），延长CB到Q，使BQ＝BP，AP，DQ交于点E，连接BE并延长交AD于点F．
（1）若BP＝6，求证：△ADE≌△PQE；
（2）探究：当点P运动时，点F的位置是否发生变化？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，BC＝9，
∴AD＝BC＝9，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠QPE，∠ADE＝∠PQE，
∵BP＝6，
∴BQ＝BP＝3，
∴PQ＝BQ+BP＝3+6＝9，
∴AD＝PQ，
在△ADE和△PQE中，
，
∴△ADE≌△PQE（ASA）；

（2）解：点F的位置不会发生变化，
理由：∵BQ＝，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠QPE，∠ADE＝∠PQE，
又∵∠AED＝∠PEQ，∠DEF＝∠QEB，
∴△ADE∽△PQE，△DEF∽△QEB，
∴，，
∴，即，
∵AD＝BC＝9，
∴DF＝AD＝3，
∴点F的位置不会发生变化．
22．如图，已知D是⊙O上一点，AB是直径，∠BAD的平分线交⊙O于点E，⊙O的切线BC交OE的延长线于点C，连接OD，CD．
（1）求证：CD⊥OD．
（2）若AB＝2，填空：
①当CE＝　﹣1　时，四边形BCDO是正方形．
②作△AEO关于直线OE对称的△FEO，连接BF，BE．当四边形BEOF是菱形时，求四边形BCOF的面积．

【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴AD∥OC，
∴∠BOC＝∠BAD，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝2∠BAD，
∴∠BOC＝∠BAD＝∠DOC，
在△ODC和△OBC中，
，
∴△ODC≌△OBC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴CD⊥OD；
（2）解：①当CE＝﹣1时，四边形BCDO是正方形；理由如下：
∵AB＝2，
∴OB＝OE＝OD＝1，
∴OC＝OE+CE＝，
由（1）得：∠OBC＝90°，△ODC≌△OBC，
∴DC＝BC＝＝＝1，
∴OB＝BC＝DC＝OD，
∴四边形BCDO是菱形，
∵∠OBC＝90°，
∴四边形BCDO是正方形；
故答案为：﹣1；
②如图所示：
∵△AEO与△FEO关于直线OE对称，
∴OF＝OA，
∴F在⊙O上，
∵四边形BEOF是菱形，
∴BE＝OE＝1，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠EOB＝∠EBO，
∵∠EOB+∠BCE＝90°，∠EBO+∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝∠CBE，
∴CE＝BE＝OE＝1．
∴四边形BCOF的面积＝3××12＝．

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c和直线BC的函数表达式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线BP下方是否存在点Q使得∠PBQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标．

【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
设直线BC的函数表达式为y＝mx+2，把B（4，0）代入得：
4m+2＝0，
解得m＝﹣，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+2；
（2）过P作PH∥y轴交BC于H，如图：

设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），
∴PH＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝PH•OB＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△PBC取最大值4，
此时P的坐标为（2，3）；
（3）直线BP下方存在点Q，使得∠PBQ＝45°，理由如下：
过P作PM⊥PB交BQ的延长线于M，过P作TK∥x轴，过B作BK⊥TK于K，过M作MT⊥TK于T，如图：

由（2）知P（2，3），
∵B（4，0），
∴PK＝2，BK＝3，
∵∠PBQ＝45°，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴∠MPB＝90°，PB＝PM，
∴∠KPB＝90°﹣∠TPM＝∠TMP，
∵∠K＝∠T＝90°，
∴△BPK≌△PMT（AAS），
∴PK＝MT＝2，BK＝PT＝3，
∴M（﹣1，1），
由M（﹣1，1），B（4，0）得直线BM函数表达式为y＝﹣x+，
联立，解得或，
∴Q的坐标为（﹣，）．