2023年全国新高考普通高中全真模拟卷（五）数学试题含解析

这是一份2023年全国新高考普通高中全真模拟卷（五）数学试题含解析，共27页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
仿真卷05
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，设集合，集合，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．已知、为复数，若命题：，命题：，则是成立的（ ）。
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
3．年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”。在此次活动中，某学校有女、男名教师报名成为志愿者，现在有个不同的社区需要进行普查工作，从这名志愿者中选派名，每人去个小区，每个小区去名教师，其中至少要有名女教师，则不同的选派方案有（ ）。
A、种
B、种
C、种
D、种
4．函数在轴正半轴的图像大致为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．已知直线：与圆：相交于、两点，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．多项式展开式中的系数为（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．设，，，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．若为锐角三角形，、分别为、的中点，且，则的取值范围是（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．某次音乐节某乐评人评委给支乐队的评分如图所示，则下列说法正确的是（ ）。
A、支乐队评分的极差为
B、支乐队中评分不低于分的有支
C、支乐队评分的平均数约为
D、第支到第支乐队的评分逐渐降低

10．已知抛物线，过焦点的弦的倾斜角为（），当坐标原点，则下列说法正确的有（ ）。
A、若、，则
B、当时，
C、以为直径的圆与准线相切
D、不论为何值，的面积为定值
11．已知数列的首项为且满足，其中，则下列说法中正确的是（ ）。
A、当时，有恒成立
B、当时，有恒成立
C、当时，有恒成立
D、当（）时，有恒成立
12．已知直四棱柱的侧棱长为，底面是边长为的菱形，且，点在边上，且满足，若动点在该四棱柱的表面上运动，并且总保持，当与平面所成角最大时，有（ ）。
A、
B、
C、异面直线与所成角的余弦值为
D、三棱锥的外接球半径为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是个“函数”，试写出一个“函数”： 。（答案不唯一）
14．地铁换乘站设有编号为、、、、的五个安全出口。若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
、
、
、
、
、
疏散乘客时间（）





则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 。
15．已知椭圆：（）的左右焦点为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 。
16．已知函数（）的两个极值点为、，且，则的取值范围为 。


四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在条件①，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答。
已知的角、、的对边分别为、、，且， 。
（1）求；
（2）求面积的最大值。
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。











18．（本小题满分12分）一批新能源汽车的锂电池在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批锂电池中随机抽取个，对其一个一个地进行检测，若这个都为优质品，则这批锂电池通过这次质量检测，若检测出非优质品，则停止检测，并认为这批锂电池不能通过这次质量检测。假设抽取的每个锂电池是优质品的概率都为。
（1）设一次质量检测共检测了个锂电池，求的分布列；
（2）设，已知每个锂电池的检测费用都是元，对这批锂电池进行一次质量检测所需的费用记为（单位：元），求的数学期望的最小值。











19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，，
，是正三角形。
（1）求证：平面底面；
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值。


































20．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足，。
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和。

































21．（本小题满分12分）已知椭圆：，直线：与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于、两点。
（1）若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证。
（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由。































22．（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数，。
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。


































绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
仿真卷05
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，设集合，集合，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由得，∴，∵，∴，
∴，∴，故选C。
2．已知、为复数，若命题：，命题：，则是成立的（ ）。
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵、是两个复数，若成立，则是正实数，
此时两复数也可能是虚部相等的复数，故不能得到，
若成立，则、都是实数，则可得出，
即是的必要不充分条件，故选B。
3．年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”。在此次活动中，某学校有女、男名教师报名成为志愿者，现在有个不同的社区需要进行普查工作，从这名志愿者中选派名，每人去个小区，每个小区去名教师，其中至少要有名女教师，则不同的选派方案有（ ）。
A、种
B、种
C、种
D、种
【答案】C
【解析】根据题意，分步进行分析：
①在名志愿者中选派名，要求至少要有名女教师，有种分组方法，
②将选出的人安排到三个社区，有种安排方法，
则有种不同的选派方法，故选C。
4．函数在轴正半轴的图像大致为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】当时，，则当时单调递减且恒大于，故选D。
5．已知直线：与圆：相交于、两点，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】圆：，圆心，半径，
联立得，解得 或，
不妨设，，则，，
∴，故选B。
6．多项式展开式中的系数为（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵原式，
∴展开式中含的项包含：
①中项为，
②中的项为，
这两项的系数和为，故选C。
7．设，，，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】设，定义域为，，令，解得，
当时，，则在内单调递增，
当时，，则在内单调递减，
∴，即，∴，即，
设，定义域为，则，
∴在上单调递增，∴，∴当时，
∵

，∴，
∵

，∴，
∴，故选A。
8．若为锐角三角形，、分别为、的中点，且，则的取值范围是（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】设的内角、、所对的边分别为、、，
设、交于点，连接，延长交于，则为的中点，
由可得、、，
在中，，
在中，，
∵，∴上面两式相加得，
∵为锐角三角形，可得、、，
可得、，则，即，
又，
当且仅当时取等号，
设（），则在递减，在递增，
∵，则，故选D。
二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．某次音乐节某乐评人评委给支乐队的评分如图所示，则下列说法正确的是（ ）。
A、支乐队评分的极差为
B、支乐队中评分不低于分的有支
C、支乐队评分的平均数约为
D、第支到第支乐队的评分逐渐降低
【答案】ABC
【解析】A选项，由折线图可知支乐队评分的极差为，对，
B选项，由折线图可知支乐队中，不低于分（大于等于分）的有支，对，
C选项，支乐队评分的平均数为，对，
D选项，由折线图可知第支乐队的评分高于第支乐队的评分，
从而第支到第支乐队的评分不是逐渐降低的，错，
故选ABC。
10．已知抛物线，过焦点的弦的倾斜角为（），当坐标原点，则下列说法正确的有（ ）。
A、若、，则
B、当时，
C、以为直径的圆与准线相切
D、不论为何值，的面积为定值
【答案】ABC
【解析】设直线斜率为，又过焦点，∴方程：，
由，将代入得，即，
设、，∴，A对，
∵，
∵，∴直线方程，
代入，，，，B对，
设中点为，到准线距离为，
则以为直径的圆半径为，
在梯形中，，∴以为直径的圆与准线相切，C对，

，的面积与有关，D错，
故选ABC。
11．已知数列的首项为且满足，其中，则下列说法中正确的是（ ）。
A、当时，有恒成立
B、当时，有恒成立
C、当时，有恒成立
D、当（）时，有恒成立
【答案】AC
【解析】∵，∴，
A选项，当时，，
，∴，
，∴，
，∴，
……，∴是周期的数列，即，对，
B选项，当时，，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
……，根据A选项可知从第项开始是周期的数列，
即（且），
而当时，、，，即不恒成立，错，
当时，恒成立，
C选项，当时，，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
根据A选项可知从第项开始是周期的数列，
即（且），
∴恒成立，对，
D选项，当（）时，，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
∴猜想，，，
∴不成立，错，
故选AC。
答题技巧： C选项一定不做！多选题，BD错，A对，则C一定对，但要注意一定要保证其他三个选项一定是一对二错。
12．已知直四棱柱的侧棱长为，底面是边长为的菱形，且，点在边上，且满足，若动点在该四棱柱的表面上运动，并且总保持，当与平面所成角最大时，有（ ）。
A、
B、
C、异面直线与所成角的余弦值为
D、三棱锥的外接球半径为
【答案】AC
【解析】在直四棱柱中，
∵底面是边长为的菱形，且，
∴连接、交于点，连接、交于点，
以为原点如图建系，
则、、、，
、、、、、，，
则，A选项对，
设点在边上，且满足，连，则，则，
在上设一点，则，
则，解得，∴，∴的边为点的运动轨迹，
当点与重合时，与平面所成角最大，
∴，∴，B选项错，
、，，
∴异面直线与所成角的余弦值为，C选项错，
设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，，
∴，
则，D选项错，
故选AC。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是个“函数”，试写出一个“函数”： 。（答案不唯一）
【答案】
【解析】函数即对，存在常数，使得即是周期为的非零函数，
∴考虑三角函数为周期函数，设，，，∴，可作为函数。
14．地铁换乘站设有编号为、、、、的五个安全出口。若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
、
、
、
、
、
疏散乘客时间（）





则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 。
【答案】
【解析】同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，
同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，
同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，
同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，
同时开放、需，同时开放、需，则的速度大于的速度，
综上所述：且，则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是。
15．已知椭圆：（）的左右焦点为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 。
【答案】
【解析】①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，
②当点不与短轴的顶点重合时，以为一腰的等腰三角形时，
以作为等腰三角形的底边为例构成等腰，
∵，∴点在以为圆心，半径为焦距的圆上，
∴当以为圆心，半径为的圆与椭圆有交点时，
存在个满足条件的等腰，
同理在轴对应侧也存在个满足条件的等腰三角形，
在中，，即，由此得知，
∴离心率，当时，是等边三角形，与①中的三角形重复，故，
∴椭圆的离心率的取值范围是。
16．已知函数（）的两个极值点为、，且，则的取值范围为 。
【答案】
【解析】∵的定义域为，，且、是两个极值点，
∴、是的两个根，
又恒成立，∴、，
∴
，
又∵，∴，
∴，，∴，
令，设，，∴，
∴在上单调递减，∴，
∴，∴的取值范围是。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在条件①，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答。
已知的角、、的对边分别为、、，且， 。
（1）求；
（2）求面积的最大值。
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。
【解析】若选条件①，
（1）在中，，
由题意及正弦定理得， 2分
由余弦定理可得，∵，∴； 4分
（2）∵、，∴在中，由余弦定理可得， 6分
∴，解得，当且仅当时取等号， 8分
∴面积的最大值。 10分
若选条件②，
（1）在中，，
由题意及正弦定理得， 2分
∵，∴，即，
∵，，∴，∴； 4分
（2）∵、，∴由余弦定理可得， 6分
∴，解得，当且仅当时取等号， 8分
∴面积的最大值。 10分
若选条件③，
（1）在中，，
由题意及正弦定理得：， 2分
∴，由余弦定理得，
∵，∴； 4分
（2）∵、，∴在中，由余弦定理可得， 6分
∴，解得，当且仅当时取等号， 8分
∴面积的最大值。 10分
18．（本小题满分12分）一批新能源汽车的锂电池在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批锂电池中随机抽取个，对其一个一个地进行检测，若这个都为优质品，则这批锂电池通过这次质量检测，若检测出非优质品，则停止检测，并认为这批锂电池不能通过这次质量检测。假设抽取的每个锂电池是优质品的概率都为。
（1）设一次质量检测共检测了个锂电池，求的分布列；
（2）设，已知每个锂电池的检测费用都是元，对这批锂电池进行一次质量检测所需的费用记为（单位：元），求的数学期望的最小值。
【解析】（1）由题意知可取、、、， 1分
，，，， 3分
∴的分布列为： 6分










（2）由（1）知， 8分
∵，∴， 10分
设，则在单调递增，
∴当时，取得最小值，∴的数学期望的最小值元。12分
19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，，
，是正三角形。
（1）求证：平面底面；
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值。






【解析】（1）连结，由题设得，，， 1分
∵，，∴， 2分
∵，∴平面，
∵底面，∴平面底面， 4分
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、， 5分
设（），可得，∴，
又底面即平面的法向量为，
则，∴，
解得（可取）或（舍去），∴， 8分
设平面的法向量为，∵，
∴，∴，
设，则、，∴， 10分
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
∴。 12分
20．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足，。
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和。
【解析】（1）当时，，解得， 1分
∵，∴，
∴两式相减得：，∴， 3分
∴数列是首项为、公比为的等比数列，∴； 5分
（2），其中（）， 6分
∴当为偶数时，，此时数列中的部分项是为的常数项， 7分
当为奇数时，、、、，
此时数列中的部分项是首项为，公比为的等比数列，9分
∴
。 12分
21．（本小题满分12分）已知椭圆：，直线：与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于、两点。
（1）若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证。
（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由。

【解析】（1）证明：由椭圆方程为知右焦点坐标为，
直线的方程为，点坐标为， 1分
由直线知，直线的斜率不为，故设直线的方程为，
从而直线的方程为， 2分
令，得点的坐标为，∴直线的方程为， 3分
联立，得，恒成立， 5分
设、，即，， 6分
∴线段的中点坐标为，，
综上可知； 7分
（2）当直线的斜率为时，点即为点，从而， 8分
当直线的斜率不为时，由（1）知，，， 9分
∴，则，
直线的方程为， 10分
又，令，得， 11分
∴点的坐标为，即。 12分
22．（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数，。
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
①当时，，，，单调递减，
，，单调递增， 2分
②当时，，
，，，单调递增，
，，，单调递减，
，，，单调递增， 3分
③当时，，，单调递增， 4分
④当时，，
，，，单调递增，
，，，单调递减，
，，，单调递增， 5分
综上所述，当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递增，
在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递增，
当时，在单调递增，在单调递减，
在单调递增； 6分
（2）当时，
，
令，则， 8分
令，，是单调递增函数，
∴，∴在单调递增，∴， 9分
①当即时，，
∴在上单调递增，，符合题意， 10分
②当即时，，时，，
∴存在，使得，
∵，，单调递减，∴，不恒成立， 11分
综上所述，实数的取值范围是。 12分