2023届山东省菏泽市高三下学期一模联考数学试题含解析

2023届山东省菏泽市高三下学期一模联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据不等式的解法，求得，结合补集的运算，即可求解.

【详解】由不等式，解得，即，

根据补集的概念及运算，可得或.

故选：D.

2．设i是虚数单位，复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简复数，再根据共轭复数概念得结果.

【详解】

故选：B

【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（    ）（，）

A．40 B．41 C．42 D．43

【答案】C

【解析】设对折次时，纸的厚度为，则是以为首项，公比为的等比数列，

求出的通项，解不等式即可求解

【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，

由题意知是以为首项，公比为的等比数列，

所以，

令，

即，所以，即，

解得：，

所以至少对折的次数是，

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.

4．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】

以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正八面体的边长为,则

所以，,

设面的法向量为，则，解得，取，即

又，所以，面，即面，①正确；

因为，所以，

又，面，面，则面，

由，平面，所以平面平面，②正确；

因为，则，所以，③正确；

易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

因为，所以平面平面，④正确；

故选：D

5．过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（    ）

A． B． C．1 D．16

【答案】A

【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的定义，利用韦达定理来求解.

【详解】化为标准形式由此知；

设直线l的方程为：， ，，根据抛物线定义知；

将，代入，可得，

由此代入.

故选：A

6．为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（    ）

A．9种 B．11种 C．15种 D．30种

【答案】C

【分析】利用分类加法计数原理进行分析，考虑丙是否是美工，由此展开分析并计算出不同的分工方法种数.

【详解】解：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，

然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有种分工方法；

若丙不是美工，则丙一定是总负责人，

此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有种分工方法；

综上，共有种分工方法，

故选：C．

7．设实数满足，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分为与，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.

【详解】当时，，

当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值；

当时，.

当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值.

所以，的最小值为.

故选：A.

8．定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得，则，.然后证明在上恒成立.令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出.令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得.

【详解】由已知可得，，则，

且，所以.

又，.

令，，则恒成立，

所以，在上单调递增，所以，所以.

所以，，即.

令，，

因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，

根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，

所以在上单调递减.

又，，所以.

因为在上单调递减，，所以.

又，所以，即.

令，，则恒成立，

所以，在上单调递减.

又，，

所以.

综上可得，.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：证明在上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系.

二、多选题

9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（    ）

A．频率分布直方图中的值为0.04

B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20

C．这100名学生体重的众数约为52.5

D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25

【答案】ACD

【分析】利用频率之和为1可判断选项A，利用频率与频数的关系即可判断选项B，利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C，由百分位数的计算方法求解，即可判断选项D．

【详解】解：由，解得，故选项A正确；

体重不低于60千克的频率为，

所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为人，故选项B错误；

100名学生体重的众数约为，故选项C正确；

因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在，的频率为，

所以计该校学生体重的分位数约为，故选项D正确．

故选：ACD．

10．已知圆，下列说法正确有（    ）

A．对于，直线与圆都有两个公共点

B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是

C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4

D．圆上存在三点到直线距离均为1

【答案】BC

【分析】对于选项A，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C，由，转化为求最小值即可；对于选项D，设圆心到直线的距离为d，比较与1的关系即可.

【详解】对于选项A，因为，即：，

所以，所以直线恒过定点，

又因为，所以定点在圆O外，

所以直线与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误；

对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，

又因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径，

所以，即：，解得：.故选项B正确；

对于选项C，，

又因为O到P的距离的最小值为O到直线的距离，即：，

所以四边形PAOB的面积的最小值为.故选项C正确；

对于选项D，因为圆O的圆心，半径，则圆心O到直线的距离为，

所以，所以圆O上存在两点到直线的距离为1.故选项D错误.

故选：BC.

11．已知函数，下列命题正确的有（    ）

A．在区间上有3个零点

B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度

C．的周期为，最大值为1

D．的值域为

【答案】BC

【分析】，根据的范围得出的零点，即可判断A项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断B项；由已知化简可得，即可判断C项；由已知可得，，换元根据导函数求解在上的值域，即可判断D项.

【详解】对于A项，由已知可得，.

因为，所以，

当或时，即或时，有，

所以在区间上有2个零点，故A项错误；

对于B项，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数，故B项正确；

对于C项，由已知可得，，

所以，的周期，最大值为，故C项正确；

对于D项，.

令，，，

则.

解，可得.

解，可得，所以在上单调递增；

解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.

且，，

，.

所以，当时，有最小值；当时，有最大值.

所以，的值域为，故D项错误.

故选：BC.

【点睛】思路点睛：求出.令，，.然后借助导函数求出在上的最值，即可得出函数的值域.

12．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（    ）

A．当点为线段的中点时，直线的斜率为

B．若，则

C．

D．若直线的斜率为，且，则

【答案】BCD

【分析】对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论．

【详解】选项A：

设，代入双曲线得，

，两式相减得，

，

∵点为线段的中点，

∴，，

即，，

∴，

，故A错误；

选项B：

设，

，，

，

，

又 ，

，故B正确；

选项C：

设，其中，

则，即，

，

，

，

，

，

，故C正确；

选项D：

，，

，，

，

∵直线的斜率为即，且过点，

∴直线的方程为：，

又∵，，

，

即，

又∵点到直线的距离：，

点到直线的距离：，

即，

∴点与点关于直线对称，

，

，故D正确；

故选：BCD．

【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：

（1）若点是双曲线上一条弦的中点，则直线的斜率；

（2）若双曲线上有两点、，且位于不同两支，则．

三、填空题

13．已知夹角为的非零向量满足，，则__________.

【答案】2

【分析】由得，化简代入结合数量积的定义即可得出答案.

【详解】因为的夹角为，且，

而，则，

所以，

则，解得：.

故答案为：2.

14．定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________.

【答案】1

【分析】根据为偶函数、为奇函数的性质，利用赋值法可得答案.

【详解】若为偶函数，为奇函数，

则，，

令，则，即，

令，则，即，

又因为，所以.

故答案为：1.

15．设均为非零实数，且满足，则__________.

【答案】1

【分析】先将原式化简得到，再令，

即可得到，从而求得结果.

【详解】由题意可得，，

令，则，

即，

所以，即

故

故答案为:

16．正三棱锥的高为为中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为，则__________.

【答案】

【分析】根据题意，做出截面，然后利用向量的线性表示及共线定理推论可得，进而可得，从而可得的值.

【详解】连接并延长交于，连接，则为的中点，

延长交于，过作分别交于，连接，

因为，平面，平面，

所以平面，又平面，故平面即为过作与棱平行的平面，

由题可知，，即，

设，则，又为中点，

所以，

所以，所以，即，

，，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．如图,在平面四边形中,,.

(1)试用表示的长;

(2)求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据已知条件将用表示,再在中利用余弦定理求解即可;

(2)在中先用余弦定理将用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.

【详解】（1）（）,,,

，则

在中,

,

,则.

（2）在中,

,

则当时,取到最大值.

故的最大值是

18．为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A､B､C三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植后会有的可能性种植的可能性种植；在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为，在每次种植的前提下再种植的概率为，种植的概率为.

(1)在第一次种植的前提下，求第三次种植的概率；

(2)在第一次种植的前提下，求种植作物次数的分布列及期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3，由全概率公式可得，代入即可得出答案.

（2）求出的可能取值及每个变量对应的概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出的期望.

【详解】（1）设，，表示第次种植作物，，的事件，其中，2，3.

在第一次种植的情况下，第三次种植的概率为：

；

（2）由已知条件，在第1次种植的前提下：，，，

，，，

因为第一次必种植，则随机变量的可能取值为1，2，-

，

，

所以的分布列为：

.

19．如图，直四棱柱中，，与交于为棱上一点，且，点到平面的距离为.

(1)判断是否在平面内，并说明理由；

(2)求平面与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)直线不在平面内，理由见解析

(2)

【分析】（1）以为坐标原点，过作与垂直的直线为轴，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由到平面的距离公式求出直四棱锥的高，求出平面的一个法向量，由可证明直线不在平面内.

（2）求出平面的一个法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】（1）以为坐标原点，过作与垂直的直线为轴，所在的直线分别为轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱锥的高为，则，

，，，，

设平面的一个法向量为，

则即取.-

所以点到平面的距离为，令解得.

设平面的一个法向量为，由，，

则即，取，

而，所以，

又与，共面，故直线不在平面内.

（2）依（1）知平面的一个法向量为，

易知平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则，

故二面角的余弦值.

20．已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列.

(1)求；

(2)设为数列的前项和，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程，即可得到结果；

（2）根据题意，得到数列的通项公式，再由裂项相消法即可得到其前项和.

【详解】（1）由题意得，，得①

由，得②

由①②，可得且，则，

由，当在范围内取值时的所有取值为：

所以.

（2）

所以

由于是递减的，所以

21．已知函数.

(1)若函数在R上单调递增，求的取值范围；

(2)若，且有两个零点，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由函数单调递增，得到导函数大于等于0恒成立，参变分离得到，求出的单调性和极值，最值情况，得到答案；

（2）转化为为方程的两根，由得到，记（），得到其单调性，求出在和过处的切线方程分别为和，作差法得到，，记与和的交点横坐标分别为，求出，，利用放缩法求出答案.

【详解】（1）函数在R上单调递增，因此，即，

记，则，

令得：，令得：，

故在上单调递增，在单调递减，

所以在处取得极大值，也是最大值，，

因此；

（2）不妨设，由，，

即为方程的两根，

由，故，解得：，所以，

记（），则，令得，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

在处的切线方程为，记（），则单调递减，

则，

其中在上单调递增，且，

即，

设在的切线方程过点，

则在的切线斜率为，

所以，解得：，

取，则在的切线方程过点，且斜率为，

切线方程为，即，记（），

则单调递增；

又，

其中令，，故，

令得：，令得：，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

故，故，

记与和的交点横坐标分别为，则

，故，由，单调递减，所以，

，故，由，单调递增，所以，

由于，

所以.

【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：

第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，

第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.

第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.

22．如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件，得到关于的方程，即可得到结果；

（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由列出方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1），，，故椭圆的方程为；

（2）依题意设直线的方程为，，

联立方程组，消元得：，

，，

由得：，两边同除，，

即；将代入上式得：

整理得：所以或（舍），

当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为.