2023届陕西省西安地区八校高三下学期第二次联考数学（文）试题含解析

这是一份2023届陕西省西安地区八校高三下学期第二次联考数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省西安地区八校高三下学期第二次联考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合交集的定义即可求解．【详解】由于，则故选：B2．已知为虚数单位，，则复数（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】由得，故选：D3．设等差数列的前项和为，且，，则（    ）A．285 B．302 C．316 D．363【答案】B【分析】由题意列方程可得，解方程即可求出，由等差数列的通项公式即可求出答案.【详解】由，可得：，解得：.则.故选：B.4．已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数为减函数可得，从而得出答案.【详解】由函数是实数集上的减函数，又所以，解得故选：C5．若焦点在轴上的双曲线的离心率为3，则与的关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，化简不等式即可得出答案.【详解】焦点在轴上的双曲线的方程化简为，则离心率为，解得：，则.故选：C.6．在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】如图，为的重心，延长交于点，由题意可知，，所以，所以，故选：A.7．执行图示程序框图，则输出的值为（    ）A． B． C．0 D．3【答案】B【分析】根据程序框图模拟运行即得.【详解】执行框图，可得：第一次循环：，则，此时；第二次循环：，则，此时；即，故跳出循环，输出.故选：B.8．、满足不等式组则的最大值为（    ）A． B． C．2 D．22【答案】B【分析】作出不等式组满足的可行域，根据线性规划的几何意义求解即可.【详解】由不等式组，作出、满足的可行域，如图.由解得将目标函数化为：当直线在轴上的截距最小时，值最大.由图可知，当直线过点时，在轴上的截距最小所以故选：B9．根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（    ）2456830405070 A．60 B．55 C．50 D．45【答案】A【分析】先求得样本点中心，再根据回归直线过样本点中心即可求解.【详解】由表中数据，计算，，因为回归直线方程过样本中心，，解得，故选：A10．已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】正四面体的外接球球心在正四面体的高上，由可构建外接球半径与棱长的关系，求出半径．【详解】如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为，∵正四面体棱长为，∴，，，，由得，解得，∴．故选：D．11．已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（    ）A．67.5π B．π C．π D．π【答案】A【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为.故选：A12．将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数的图象，则下列描述不正确的是（    ）A．函数的最小正周期为B．点是函数的图象与轴最近的一个对称中心C．的值域与缩小的倍数无关D．直线是函数的图象与轴最近的一条对称轴【答案】D【分析】由图形变换得出的解析式，根据直线函数的图像性质对选项进行逐一判断即可.【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到.则函数的最小正周期为，故选项A正确.函数的对称中心满足：，即当时，，当时，所以函数的图象与轴最近的一个对称中心为，故选项B正确.函数的值域为，函数的值域为，故选项C正确.函数的对称轴：，即当时，，当时，函数的图象与轴最近的一条对称轴为：，故选项D不正确.故选：D 二、填空题13．函数为奇函数，则___________.【答案】【分析】由条件可知，内层函数是奇函数，根据奇函数的定义，即可求解.【详解】设，若函数是奇函数，则是奇函数，函数的定义域为，，即，则，则.故答案为：14．过三点、、的圆的圆心坐标为___________.【答案】【分析】根据圆上点坐标列方程，从而圆的方程可求，即可求出圆的圆心坐标.【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有：，所以，所以圆的方程为：.故答案为：.15．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，且，则抛物线的标准方程为___________.【答案】或【分析】由题意可得出，，解方程即可得出答案.【详解】点在抛物线：上，所以，解得：，点为抛物线的焦点，且，由抛物线的定义可得：，解得：或.抛物线的标准方程为或故答案为：或16．已知数列和数列，，.设，则数列的前项和_________.【答案】【分析】首先根据所给的以及求出,再结合错位相减法即可求得.【详解】,,则，①，②，两式相减得，即，变形化简可得.故答案为： 三、解答题17．设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，.(1)求C的值；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合角的范围求出，，然后利用三角之和为可得，即可求解；（2）利用正弦定理可得，结合（1）可求得，继而用正弦定理求出，，即可求得面积【详解】（1）∵A、B、C是的内角，得，又，，∴，，∴，∴.（2）由正弦定理可得，∵，，，，∴，得，∴由正弦定理可得，得，.∴的面积为.18．红旗中学高三年级共有学生1800名，在一次数学考试后，抽取了200名同学的成绩（满分150分），绘制成频率分布直方图（如图），成绩的分组区间为.(1)求频率分布直方图中的值；(2)由样本估计总体﹑估计这次考试，年级成绩优秀（分数大于或等于120分即为优秀）人数和平均分数（用各组的中点值代替该组的平均值）.【答案】(1)(2)优秀人数有450人，平均分数为108.35分 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解；（2）求出样本中分数大于或等于120分的频率，从而求出人数；根据平均数公式即可求解．【详解】（1）由题意，得，解之，得；（2）由频率分布直方图，得样本中，分数大于或等于120分的频率为，∴由样本估计总体，得高三年级这次数学考试成绩的优秀率为25%，∴这次考试年级优秀人数为1800×25%=450，设样本的平均分数为，，由样本估计总体，估计这次考试平均分数为108.35分，∴这次数学考试，估计优秀人数有450人，平均分数为108.35分．19．如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，、分别是、的中点. (1)求证：；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）在平面内作直线于、连接，根据三角形全等得到，即可得到平面，即可得到，再根据，即可得证；（2）由（1）及题意可得底面，再由、、及锥体的体积公式计算可得.【详解】（1）在平面内作直线于、连接，∵，，∴，在与中，，、，∴与全等，∴，即，即，∵，，，平面，∴平面，又在平面内，∴，∵、分别是、的中点，得，∴.（2）由（1）和题意知，侧面底面，侧面底面，，平面，所以底面，且，∵为的中点，得，又与互补，∴的面积与的面积相等，∴①，又∵是的中点，得点到平面的距离与点到平面的距离相等，∴②，由①②得，∴四棱锥的体积为.20．已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为.(1)求，的值；(2)求证：函数在区间内有唯一零点.【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【分析】（1）求解导函数，从而得的值，根据切线方程得切线的斜率，从而列方程组求解，的值；（2）将函数变形为，由成立，将在区间内零点的个数转化为在区间内零点的个数，根据零点存在定理可得在内有零点，求解导函数，从而判断函数在上单调递增，即可得函数在内有唯一零点，即函数在区间内有唯一零点.【详解】（1）的定义域为， 因为.所以，又.∵在点处的切线方程为，所以切线的斜率为.所以，解得∴，.（2）证明：由（1）知，，.∴（为自然对数的底数）∵总成立.∴在区间内零点的个数等价于在区间内零点的个数.∵，.∴在内有零点.又∵，当时，，得在上单调递增.∴在内有唯一零点，即函数在区间内有唯一零点.21．已知椭圆：的焦点为、，离心率为，直线：，、在直线上的射影分别为M、N，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，，求的面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据射影可求出，结合离心率即可求得椭圆方程；（2）设点坐标，联立直线与椭圆方程，使判别式大于零解得m的取值范围，求出弦长及点到直线的距离，写出面积的式子，构造新函数，求导求单调性求最值即可.【详解】（1）解：因为直线：的斜率为-1，所以倾斜角为，所以，即椭圆的焦距，，由椭圆的离心率为，得，得，，所以椭圆C的标准方程为；（2）由消去，得，令，解得，设，，则，，所以，而点到直线的距离为，所以，设，，所以，，由得，，，当时，点在直线上.故将舍去.当变化时，和的变化情况如下表-223+0-0+0-极大值0极大值 因为，，所以，即，故的面积的最大值为.【点睛】方法点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中难题，关于最值问题的方法有：（1）设直线方程，考虑斜率存在（或为0）的情况，设出点的坐标；（2）联立直线与圆锥曲线方程，使判别式大于零，写出韦达定理；（3）列出题中所需式子，化简后将韦达定理代入；（4）根据基本不等式求出最值，或构造新函数求导求单调性求最值即可.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为.(1)若，在极坐标系中，直线经过点，求的值；(2)若，直线与曲线S交于A、B两点，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据点的极坐标求出点的直角坐标，再将和点的直角坐标代入直线的参数方程即可得解；（2）先将曲线的极坐标方程化为普通方程，再分和两种情况讨论求出直线所过的定点，再根据当Р为AB的中点时最小，结合圆的弦长公式即可得解.【详解】（1）设点的直角坐标为，因为点的极坐标为.∴，，∴当时，得解之，得∴；（2）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，∴曲线S是以为圆心，半径的圆，当时，若，化直线的参数方程为普通方程：，直线过定点，若，直线的普通方程为：，直线也过点，∴直线恒过定点，∵，∴点Р在圆C内，∴当Р为AB的中点时最小，这时，，∴.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)当时，求证：.【答案】(1)或(2)证明见解析 【分析】（1）分，三种情况解不等式即可求出答案；（2）（方法一）当时，要证即证，由均值不等式即可证明；（方法二）当时，要证即证，由二次函数的性质即可证明.【详解】（1）解：∵∴等价于下列不等式组①；或②；或③.①的解为；②无解；③的解为.∴不等式的解集为或.（2）证明：（方法一）当时，.∴要证即证，即证.∵.∴.当且仅当即时取等号.∴当时，.（方法二）当时，.∴要证即证，即证.∵恒成立.且时取等号.∴当时，.