2023届上海市金山区高三二模数学试题含解析

2023届上海市金山区高三二模数学试题

一、填空题

1．已知集合，集合，若，则_________.

【答案】

【分析】根据题意得到，代入集合B，结合元素的互异性，即可求解.

【详解】由题意，集合，又因为，所以，

则，

故答案为：.

2．若实数满足不等式，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】不等式，即，解得，则的取值范围是.

故答案为：.

3．双曲线的渐近线方程是___________.

【答案】

【分析】直接由双曲线的方程求解即可

【详解】因为双曲线方程为，

所以双曲线的渐近线方程为，即，

故答案为：

4．已知向量，向量，则与的夹角的大小为__________.

【答案】

【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解.

【详解】因为，，

所以，

因为，所以.

故答案为：.

5．在的二项展开式中，项的系数为_________（结果用数值表示）.

【答案】

【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.

【详解】由二项式展开式的通项可知，

令，可得，所以项的系数为，

故答案为：.

6．设复数，其中为虚数单位，则_________.

【答案】5

【解析】计算得到，再计算得到答案.

【详解】，所以.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.

7．已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________.

【答案】

【分析】根据奇函数性质求解即可.

【详解】因为函数是定义域为的奇函数，

所以，

故答案为：.

8．掷一颗骰子，令事件，，则_________（结果用数值表示）.

【答案】##

【分析】根据题意先求出和，然后带入条件概率的计算公式即可求解.

【详解】由题意可知：，，

由条件概率的计算公式可得，

故答案为：.

9．已知正实数满足,则的最小值为__________.

【答案】

【分析】因为，展开利用基本不等式求解即可.

【详解】因为正实数满足,

所以,

当且仅当即时等号成立,

所以的最小值为.

故答案为:.

10．若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据题意先求出的取值范围，然后根据题意列出不等式，解之即可求解.

【详解】因为，，所以，

又因为函数（常数）在区间没有最值，

所以，解得，所以的取值范围是

故答案为：.

11．已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】将问题转化为，由二次函数性质可求得在上的最大值为，分别在、和的情况下，结合导数讨论的单调性，从而得到，由可构造不等式求得的范围.

【详解】对任意，若存在，使得，；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，；

当时，，

①当时，，，

则在上恒成立，在上单调递增，

，，解得：，

；

②当时，，，

令，解得：，

（i）当，即时，在上恒成立，

在上单调递减，，

，解得：，；

（ii）当，即时，在上恒成立，

在上单调递增，，

，解得：（舍）；

（iii）当，即时，

若，则；若，则；

在上单调递增，在上单调递减，

，，解得：（舍）；

③当时，，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，

，，

当，即时，，

，解得：，；

当，即时，，

，解得：，；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

12．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为__________.

【答案】##

【分析】根据题意作出图形，利用数形结合即可求解.

【详解】如图，设，，，，，

则点在以为圆心，以为半径的圆上，点在以为圆心，以为半径的圆上，

，所以点在射线上，

所以，

作点关于射线对称的点，则，且，

所以（当且仅当点三点共线时取等号）

所以的最小值为，

故答案为：.

二、单选题

13．若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取，即可判断.

【详解】由题意，，所以，故D正确；

当，时，，但，，，故A，B，C错误.

故选：D.

14．某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（    ）

A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分

B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散

C．讲座后答卷得分的第80百分位数为95

D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差

【答案】C

【分析】根据茎叶图即可判断AB；再根据百分位数的计算公式即可判断C；根据极差的定义即可判断D.

【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确；

讲座前的答卷得分主要分布在之间，而讲座后主要分布在之间，

则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确；

讲座后答卷得分依次为，

因为，所以第80百分位数是第8个数与第个数的平均数，为，故C错误；

讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为，

所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确.

故选：C.

15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（    ）

A．直线直线CD B．直线直线ED

C．直线直线PQ D．直线平面

【答案】B

【分析】由，，可得四边形和都为矩形，进而得到，，进而得证即可判断A；根据异面直线的定义即可判断B；设中点为H，连接，，由P、Q分别为线段AF、CE的中点，可得，，进而得到，，可得平面，进而即可判断C；连接，，可得，进而证明平面，即可判断D.

【详解】在矩形ABCD中，，，

可得四边形和都为矩形，

所以，，翻折后仍然成立，

所以直线直线，故A正确；

翻折前，，翻折后直线和直线ED为异面直线，故B错误；

设中点为H，连接，，

因为P、Q分别为线段AF、CE的中点，

所以，，而，，，

所以，，

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，所以，故C正确；

连接，，

因为P、Q分别为线段AF、CE的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面，故D正确.

故选：B.

16．设是项数为的有穷数列，其中．当时，，且对任意正整数，都有.给出下列两个命题：①若对任意正整数，都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s和t，总存在不超过的正整数m和k，使得．下列说法正确的是（    ）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题

【答案】C

【分析】根据等比数列的前项和公式计算和，然后分析判断．

【详解】，，

由已知且时，，因此中（为偶数）或（为奇数）时取得最大值，

因此对命题①，有，，命题①为真命题；

由已知数列是或，其中，

整理化简后等于或中连续项的和或等于0,

若，取即可满足题意；

若等于中连续项的和，例如（且），

则有，取，即可满足题意；

同理若等于中连续项的和，例如（且），

则有，取，即可满足题意；

综上，命题②是真命题．

故选：C．

三、解答题

17．在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，.

(1)若，求；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.

(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.

【详解】（1）由,应用正弦定理得,

,即得.

（2）因为

则,

又由正弦定理得

.

18．如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.

(1)求直线与所成的角的大小；

(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据可知所求角为，由长度关系可得结果；

（2）作，由面面垂直性质可知所求距离为，利用面积桥可求得结果.

【详解】（1）由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形；

直线与所成角即为，

平面，，

在中，，，

即直线与所成角的大小为.

（2）作，垂足为，

平面平面，平面平面，平面，，

平面，点到平面的距离即为的长，

由（1）知：，，

，即，

点到平面的距离为.

19．某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元.假设当天进货能全部售完，决定每晚七点前（含七点）售价为每盒20元，每晚七点后售价为每盒10元.根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关.为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：

以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率.

(1)求4月份草莓一天的购买量（单位：盒）的分布；

(2)设4月份销售草莓一天的利润为（单位：元），一天的进货量为（单位：盒），为正整数且，当为多少时，的期望达到最大值，并求此最大值.

【答案】(1)分布列见解析

(2)当时的期望达到最大值，.

【分析】（1）依题意的可能取值为、，求出所对应的概率，即可得到概率分布列；

（2）依题意可得的可能取值为或，求出所对应的概率，即可得到

【详解】（1）依题意的可能取值为、，

则，，

所以的分布列为

（2）当一天的进货量为（单位：盒），为正整数且时利润的可能取值为或，

且，，

所以，

显然随着的增大而减少，所以当时的期望达到最大值，.

20．已知椭圆.

(1)已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；

(2)已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；

(3)设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据离心率求出，然后求出，即可得解；

（2）设右焦点，左焦点，根据正方形的结构特征及椭圆的对称性可得，再根据椭圆的定义求出，即可得出所求圆的半径，即可得解；

（3）设直线的倾斜角为，斜率为，求出直线的斜率，设，则，联立方程求出，根据可得关于的一元二次方程，再根据即可得解.

【详解】（1）由题意得，，所以，

所以，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设右焦点，左焦点，

因为四边形是正方形，

不妨设点在第一象限，则，

所以，

由，得，

正方形的内切圆的圆心为，半径为，

所以所求圆的方程为；

（3）设直线的倾斜角为，斜率为，

则直线的斜率为，

设，则，

联立，得，

同理可得，

由得，

即，

整理得，

注意到且，

则要使上述关于的一元二次方程有正数解，

只需要，解得，

所以b的最大值为.

【点睛】关键点点睛：由得出关于的一元二次方程，再结合题意得出是解决第三问的关键步骤.

21．若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.

(1)若函数存在“相关点”，求的值；

(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：

(3)设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）函数在 上单调递减，在上单调递增，可得为函数的极值点，进而结合题意即可求解；

（2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解；

（3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可.

【详解】（1）函数的对称轴为，

且函数在 上单调递减，在上单调递增，

所以为函数的极值点，

因为函数存在“相关点”，

由题意可得，，解得.

（2）由，则 ，

由题意可得，，即，即，

设，则，

所以函数在上单调递增，且，

所以方程存在唯一实数根1，即，即，

此时，则，

令，即；令，即，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”，

所以.

（3）由，得，即，

设，为函数的“2相关点”，则，

另一方面，，所以，

所以且，解得，，，

故，则，

因为过点存在3条直线与曲线相切，

设其中一个切点为，则，

整理得，

设，且函数有三个不同的零点，

则，

令，则；令，则或.

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

所以，即，即实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.