2023届上海市浦东新区高三二模数学试题含解析

2023届上海市浦东新区高三二模数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则_____________．

【答案】

【分析】解一元二次不等式得到，从而求出交集.

【详解】解不等式得，故.

故答案为：

2．若复数z满足（是虚数单位），则复数_____________．

【答案】．

【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可得出答案.

【详解】由可得.

故答案为：.

3．若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为_____________．（结果保留）

【答案】

【分析】求出圆柱的底面半径，从而得到侧面积.

【详解】设圆柱的底面半径为，则，解得，

故这个圆柱的侧面积为.

故答案为：

4．的二项展开式中项的系数为_____________．

【答案】270

【分析】利用的展开式的通项公式，求出项的系数.

【详解】的展开式的通项公式为，

令得，

故，故的二项展开式中项的系数为270.

故答案为：270

5．设随机变量服从正态分布，且，则_____________．

【答案】##

【分析】由正态分布曲线的对称性进行求解.

【详解】服从正态分布，其正态分布曲线关于轴对称，

由对称性可知.

故答案为：0.1

6．双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为_____________．

【答案】2

【分析】求出右焦点和渐近线方程，由点到直线距离公式求出答案.

【详解】的右焦点为，渐近线方程为，

不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为.

故答案为：2

7．投掷一颗骰子，记事件，，则_____________．

【答案】##0.5

【分析】先计算出，利用求条件概率的公式求出答案.

【详解】投掷一颗骰子，出现的点数共有6种情况，

因为，故，其中，

故.

故答案为：

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________．

【答案】

【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.

【详解】，由正弦定理得，

因为，所以，故，

由于，故，

则.

故答案为：

9．函数在区间上的最小值为_____________．

【答案】．

【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.

【详解】，

因为，所以，故，

故，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：

二、解答题

10．已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为______________．

【答案】．

【分析】先用辅助角公式得到，结合得到，求出，得到答案.

【详解】，

因为，，所以，

因为函数在上有唯一的最小值-2，

所以，解得，

故的取值范围是.

故答案为：

三、填空题

11．已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________．

【答案】##0.25

【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出，表达出，结合求出最值.

【详解】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离，

故内切圆半径，

由对称性可知，关于轴对称，设，，

则，，

其中，故

，

当时，取得最大值，最大值为.

故答案为：

12．已知，设，，其中k是整数． 若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 __________ ．

【答案】．

【分析】对二次求导，得到的凹凸性，有的几何意义是点和点连线的斜率，因此当时，满足要求，当时，需使点都在处的切线上或切线上方即可，求出曲线在处的切线方程，得到，整理变形，换元后画出及的图象，数形结合得到的取值范围.

【详解】，

令，

则，

因为，所以，

令得或，令得，，

故在和上单调递增，在上单调递减，

因为，，其中，

令，解得，令，解得，

故在上单调递减，在上单调递增，

且在和内下凹，在内上凸，

的几何意义是点和点连线的斜率，

当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增，

因此当时，严格递增，

而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在，

曲线须在直线下方，曲线须在直线上方，

故需使点都在处的切线上或切线上方即可，

从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可，

，，

故曲线在处的切线方程为，

令，化简得，

，因此，即，

令，则，即，

其中，画出及的图象，如下：

由图可知，，即

故答案为：

【点睛】方法点睛：若函数在区间上有定义，若，则称为在区间上的凸函数，反之则称为在区间上的凹函数，

其性质为：若为在区间上的凸函数，则，则，反之，.

四、单选题

13．已知，则“”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；

C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．

【答案】B

【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案.

【详解】解，当时，即，则，此时解集为，

当时，即，则，此时解集为，

当时，即，则，此时解集为，

故“”成立时，等价于；

当“”成立时，等价于，

故成立时，不一定推出成立，反之成立，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

14．某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（    ）．

A．1.6 B．8.4 C．11.6 D．7.4

【答案】A

【分析】代入，得到，从而得到随机误差的效应即离差.

【详解】当时，，故随机误差的效应即离差为.

故选：A

15．在空间中，下列命题为真命题的是（    ）．

A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；

C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；

D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．

【答案】D

【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明.

【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交，

如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误；

B选项，如图2，，，则，

故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误；

C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为，

则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误；

选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下：

因为，，，所以，

因为⊥，，所以⊥，故，证毕.

若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确

故选：D

16．已知函数，其导函数为，有以下两个命题：

①若为偶函数，则为奇函数；

②若为周期函数，则也为周期函数．

那么（    ）．

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题

【答案】D

【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解.

【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题；

对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题.

故选：D

五、解答题

17．已知数列是首项为9，公比为的等比数列．

(1)求的值；

(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．

【答案】(1)

(2)当2或3时，取得最大值3

【分析】（1）求出等比数列的通项公式，由等比数列的前项和求解即可；

（2）记，由（1）知，由等差数列的前项和求出，由二次函数的性质即可求出答案.

【详解】（1）由题，则，

（2）记，由（1）知，

所以，

，

当2或3时，取得最大值3．

18．如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，利用平行四边的判定及性质，结合线面平行的判定定理即可求解；

（2）根据已知条件、面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角的平面角的定义及向量夹角的关系即可求解.

【详解】（1）连接，

因为、分别为、的中点，

所以且，

又因为，且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）因为三角形与梯形所在的平面互相垂直，，

又平面平面,平面，

所以平面，

又平面，

所以，

所以以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，如图所示

则，，,．

所以，，

由题意知，平面的法向量，

设平面的法向量，则

，即，

令，则，所以，

设平面与平面所成锐二面角为，则

，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

19．为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题．

(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；

(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是．请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．

【答案】(1)

(2)该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题；理由见解析

【分析】（1）先求出“某代表队没有抢到地理环境题”的概率，再由对立事件即可求出答案；

（2）分别求出某代表队先答人文历史题，再答地理环境题和先答地理环境题，再答人文历史题的数学期望，比较它们大小即可得出答案.

【详解】（1）从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，

将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为，事件的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”．则

，

（2）情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，

设该代表队必答环节的得分为，，

，，，

，，

则的分布为：

此时得分期望

情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，

设该代表队必答环节的得分为，,

，，，

，，

则的分布为：

此时得分期望

由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题．

20．椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若为直角三角形，求的面积；

(3)若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)或

(3)存在；

【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，再根据椭圆的离心率公式即可得解；

（2）分和两种情况讨论，结合椭圆的定义即可得解；

（3）设，则直线，再根据已知可得，，化简，再根据韦达定理结合求得的关系，即可得出结论.

【详解】（1）由椭圆的方程为，得标准方程为，

则，故，

所以离心率；

（2）设，，

当时，，

此时，

由对称性，不妨设，且在第一象限，

令，得，则，

此时，

综上，的面积为或；

（3）设，则直线，

由已知，

同理：，

因而，是方程的两根，

所以，得，

又点为椭圆上的动点，

所以，则，

由在第一象限得，所以，

所以存在，.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；

④消去变量，得到定量关系.

21．设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像． 若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．

(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；

(2)已知，． 证明：点是的0度点；

(3)求函数的全体2度点构成的集合．

【答案】(1)原点是函数的一个1度点，点不是函数的一个1度点

(2)证明见解析

(3)或

【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求；

（2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；

（3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解.

【详解】（1）设，则曲线在点处的切线方程为．

则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点，

该切线过点，故，

令，则，令得，令得，

故在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极小值，也时最小值，且，

故无解，点不是函数的一个1度点

（2）设，，

则曲线在点处的切线方程为．

则该切线过点当且仅当（*）．

设，则当时，，故在区间上严格增．

因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．

（3），

对任意，曲线在点处的切线方程为．

故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．

设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．

若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．

若，因为，解得有两个驻点．

由或时得严格增；而当时，得严格减．

故在时取得极大值，在时取得极小值．

又因为，，

所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；

当时，仅上有一个零点，不合要求；

当时，仅上有一个零点，也不合要求．

故两个不同的零点当且仅当或．

若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．

综上，的全体2度点构成的集合为或．

【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.