2023届四川省成都市第二十中学校高三上学期一诊模拟考试（二）数学试题含解析

这是一份2023届四川省成都市第二十中学校高三上学期一诊模拟考试（二）数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省成都市第二十中学校高三上学期一诊模拟考试（二）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简集合，再根据集合交集的定义求解即可.【详解】由解得，所以，所以，故选：C2．已知复数满足，则的虚部为（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】先利用复数相等求得复数，进而求得的虚部.【详解】设，则，所以，则，解之得，则，即的虚部为1.故选：B3．现有5张卡片，其中有2张印有“立”字，其余3张分别印有“德”、“树”、“人”．将这5张卡片随机排成一行，则恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将这5张卡片随机排成一行，共有种方法，恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的情况有2种方法，再由古典概型可得答案.【详解】将这5张卡片随机排成一行，分两步进行：首先选两个位置为“立”，共有种方法；其次另外三个位置，将“德”、“树”、“人”全排列，共有种方法，所以将这5张卡片随机排成一行，共有种方法，恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的情况有：“立”、“立”、“德”、“树”、“人”； “立”、“德”、“树”、“人”、“立”，共两种，所以恰有连续4张卡片从左往右依次为“立”、“德”、“树”、“人”的概率为，故选：B.4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，为任一动点．条件：直线与直线相交于点；条件：动点在抛物线上．则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先分别将条件条件转化为与实数对相关的解析式，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】条件：直线与直线相交于点，则，则，整理得条件：动点在抛物线上，则，则是的充分不必要条件.故选：A5．已知为等差数列的前项和，，，则（    ）A．5 B．0 C． D．【答案】D【分析】由等差数列性质得，从而求得，再得后可得公差，然后求出，再由等差数列的前项和公式、等差数列的性质求得结论．【详解】设的公差为，是等差数列，则，，，又，所以，从而，，．故选：D．6．在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【答案】A【分析】由平行四边形法则易得，可知，可判断点的轨迹为以线段为直径的圆.【详解】设为线段的中点，.因为，所以，所以，所以，当点在点或时也满足，所以点的轨迹为以线段为直径的圆.故选: A.7．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，解出，然后代入代入求解.【详解】，又故选：B8．中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”介绍了几何体“方锥”：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺．”意思是有一个正四棱锥，底面边长为27尺，高为29尺．如图为两个这样的方锥组成的组合体的三视图，若图中的三角形均为等腰三角形，俯视图中的四边形为正方形，则该组合体的表面积约为（    ）（参考数据：，，）A．3132平方尺 B．3456平方尺 C．3861平方尺 D．4185平方尺【答案】B【分析】由三视图得到几何体的直观图，取的中点，连接、，利用勾股定理求出，即可求出，从而求出组合体的表面积.【详解】解：由三视图可得几何体的直观图如下所示：其中，，取的中点，连接、，则，所以，所以（平方尺），则该组合体的表面积约为（平方尺）.故选：B9．已知函数，则下列结论不正确的是（    ）A．为函数的一个周期B．是函数图象的一个对称中心C．函数在区间上单调递增，则实数的最大值为D．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象【答案】C【分析】根据周期函数的定义判断A，根据正弦函数的性质判断B，C，根据函数图象变换结论及偶函数定义判断D.【详解】对于选项：由已知可得，所以，所以为函数的一个周期，故A正确；对于选项B：令，解得，当时，，所以点是曲线的一个对称中心，故B正确；对于选项C：由，得，令，得，因为在区间上单调递增，所以实数的最大值为，故C错误；对于选项D：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，因为，所以函数为偶函数，故D正确.故选：C.10．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较的大小，分别比较与的大小即可得的大小，从而得答案.【详解】解：因为在R上为单调递减函数，所以，又因为在上为单调递增函数，所以，即，所以，即，又因为，又因为，，即有所以，即，所以，即，综上所述：.故选：A.11．已知函数，函数，则函数的零点个数为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】令可得，利用单调性画出的图像，利用图像求出满足的的个数即为的零点个数.【详解】令解得，的定义域为，的图像如图所示，由图像可知在和上单调递减，在和上单调递增，所以由复合函数单调性可知在和上单调递减，在和上单调递增，的图像如图所示，由图像可知有两个根，有四个根，所以函数有6个零点，故选：C12．已知各项不等于0的数列满足，，．设函数，为函数的导函数．令，则（    ）A．-51 B．51 C．-153 D．153【答案】D【分析】先求得数列的通项公式，并求得的表达式，利用分组求和的方法即可求得的值.【详解】由可得，由，，可得则，则则故选：D 二、填空题13．的展开式中项的系数为___________．【答案】10【分析】利用二项展开式的通项公式直接求解.【详解】展开式的通项公式为：.要求展开式中项，只需，解得：，所以.所以项的系数为10.故答案为：10.14．已知曲线与直线相切，则实数___________．【答案】【分析】利用导数的几何意义列方程即可求得.【详解】函数的导数为.设切点为，则，解得：.故答案为：.15．已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别是，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，若点满足，则的最小值为__________.【答案】##0.5【分析】由条件，结合双曲线的定义可求出双曲线方程，再通过求双曲线的斜率为1的且切点在双曲线的右支的切线与直线的距离即可.【详解】设半焦距为，延长交于点，由于是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且是的中点.根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，所以是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，故，所以，又，所以，所以双曲线的方程为，根据题意，知所求的是双曲线右支上一点到直线的距离的最小值的平方.设与直线平行双曲线的切线方程为，联立，消去，可得，所以，所以或1，当时，切点坐标为与已知矛盾，当时，切点坐标为，所以，所以切点到直线的距离为，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】问题的解决的关键在于结合双曲线的定义及角平分线的性质求出双曲线的方程和将问题求两点之间的距离的最小值的平方转化为求平行直线的距离的平方的问题. 三、双空题16．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________，设的中点为，的中点为，以为球心，1为半径作球，则该球与三棱锥的公共部分的体积为____________．【答案】     ；     .【分析】（1）先把三棱锥可以扩充为直三棱柱,取上下底面的外心，连接，取的中点，判断出为外接球的球心.连接，利用勾股定理求出，即可取出外接球的表面积；（2）将三棱锥补成三棱柱，利用顶角出发的三棱锥相同截得相同球面从而得到答案.【详解】如图示：因为平面，所以三棱锥可以扩充为直三棱柱,且三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球.取上下底面的外心，连接，则且.取的中点，则为直三棱柱的外接球的球心，其中.因为平面，所以 ，所以为直角三角形，，，所以.在底面中，,,,由余弦定理得：.所以的外接圆半径连接，则.所以外接球的表面积为.将三棱锥补成三棱柱，如图四面体与四面体与四面体相同，故截球所得的球面也相同，所以故答案为：；.【点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 四、解答题17．已知在中，，点在边上且满足.(1)若的面积为，求的值；(2)若，求的大小.【答案】(1)(2)或 【分析】(1)由条件结合三角形面积公式求，再由余弦定理求，由此可求，(2) 设，由正弦定理可得，，由此解方程求即可.【详解】（1）因为，所以，由余弦定理，得，所以；（2）设，则，由是等腰三角形及可得，解得，在内，由正弦定理，得，在内，由正弦定理，得，又，所以所以，所以，，因为，即或，所以或.的大小为或.18．父母买回5个玩具，兄妹两人决定用做游戏的方法确定玩具的归属，方法如下：第一步，先做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时比划出上述三种手势中的任意一种，若两人手势不同，则石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人手势相同，则判定妹妹胜；第二步，游戏获胜方用塑料圈去套玩具，若套中，则拿走相应玩具，游戏获胜方在本轮游戏中只有一次套玩具的机会，无论是否套中，继续第一步操作，开始下一轮游戏，直至5个玩具分完为止已知哥哥一次套中玩具的概率为，妹妹一次套中玩具的概率为，一次套圈最多套中一个玩具，且各次套圈互不影响．(1)求三轮游戏后，妹妹拿走两个玩具的概率；(2)设在前四轮游戏中，哥哥拿走玩具的个数为，求的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为 【分析】(1)先得出第一步哥哥和妹妹各自获胜的概率，然后三轮游戏可以分妹妹赢3局和赢两局，计算妹妹各套中2局的概率即可得出结果.(2)根据已知条件，可得出哥哥拿走玩具的个数为0，1，2，3，4，然后分别结算各自概率，即可得出分布列和数学期望.【详解】（1）由题意可以列举出哥哥和妹妹比划手势的所有情况：（石头，石头），（石头，剪刀），（石头，布），（剪刀，石头），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），（布，剪刀），（布，布），其中哥哥获胜共有（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头）这3种情况，妹妹获胜共有6种情况，故哥哥第一步获胜的概率为，妹妹获胜的概率为，三轮游戏后，妹妹拿走两个玩具共有两种情况：①妹妹获胜3次，套中2次玩具对应概率②妹妹获胜2次，套中2次玩具对应概率则三轮游戏后，妹妹拿走两个玩具的概率（2）哥哥拿走玩具的个数取值可以为0，1，2，3，4哥哥获胜4次，套中玩具4次：哥哥获胜4次，套中玩具3次或哥哥获胜3次，套中玩具3次：哥哥获胜4次，套中玩具2次或哥哥获胜3次，套中玩具2次或哥哥获胜2次，套中玩具2次：哥哥获胜4次，套中玩具1次或哥哥获胜3次，套中玩具1次或哥哥获胜2次，套中玩具1次或哥哥获胜1次，套中玩具1次：哥哥拿走0个玩具的概率则的分布列为： ，所以的数学期望为19．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)利用面面垂直的性质定理可得线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求二面角.【详解】（1）因为，，，所以,所以,又因为，平面底面，平面平面,平面，所以平面,又因为平面,所以，平面，所平面，且平面，所以平面平面.（2）过点作,垂足为点，由等面积法可得解得，，因为，平面底面，平面底面,平面,所以底面,作与平行的直线，则底面,底面,所以，且，所以以为轴建系如图，则，设平面的一个法向量为，,则，令，所以，设平面的一个法向量为，,则，令，所以，设二面角为，，所以二面角的正弦值为.20．如图，已知椭圆：，直线：，直线过点且斜率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，与直线交于点（点与点、不重合）．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）联立直线与曲线的方程，根据判别式大于0即可求解，（2）根据四点在同一条直线上，可运用几何关系将长度用坐标表示出来，进而根据韦达定理代入即可化简证明.【详解】（1）设直线方程为，联立，由于直线与椭圆交于不同的两点、，所以，化简得，解得.（2）设，由题意可知，故为直线的倾斜角，，所以，由（1）知：—①又在直线：上，故—②将①②代入，由于所以，因此【点睛】本题考查了圆锥曲线中直线与曲线的位置关系以及证明等量关系.联立直线与曲线的方程是基本方法，得到韦达定理，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，证明等量关系式时，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.21．已知函数，则其导函数为．(1)若对任意，恒成立，求实数的范围；(2)判断函数的零点个数，并证明．【答案】(1)(2)1 【分析】(1)分离参数得，将恒成立问题转为最值求解，构造函数，研究该函数的最值，得，进一步分析即可；(2)函数零点个数转为两个函数交点的个数.【详解】（1）∵,∴,∴，即；若，显然成立；若，则恒成立，等价于，令，则恒成立，故在时单调递增，则恒成立，即，又则，即，则，故（2）函数有1个零点，证明如下：令，的零点个数等于和的交点个数，图象为向左移得到，且在上单调递增，，而为周期函数，最大值为1，故和的图象如下：观察图象可知和有一个交点，故有1个零点.22．摆线是数学中众多迷人曲线之一，一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．在直角坐标系中，摆线的参数方程为（为参数），当时，摆线上的对应点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：与曲线交于，两点．(1)求点的极坐标和曲线的直角坐标方程；(2)请写出直线的一个参数方程．【答案】(1)，曲线的直角坐标方程(2)，其中为参数， 【分析】（1）根据参数方程可将代入得直角坐标，进而可得极坐标，根据极坐标和直角坐标方程之间的互化，即可求解，（2）联立直线方程和曲线方程，即可得点坐标，根据两点坐标可得直线方程，进而根据直线的普通方程即可求解参数方程.【详解】（1）的参数方程为（为参数），当时，,因此点的直角坐标为,所以极坐标为，曲线的极坐标方程为，所以，所以曲线的直角坐标方程（2）曲线：的直角坐标方程为，将代入得，解得，，将代入中得，所以点的直角坐标为，由于直线斜率的倒数为，所以直线的方程为，所以令，则，所以直线的一个参数方程为，其中为参数，23．已知函数．(1)若，解不等式；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，分段求得不等式的解集，最后取并集.（2）根据，利用零点分段法写出的解析式，求其最小值，根据不等式恒成立，可求得的取值范围.【详解】（1）时，当时，，当时，，当时，，综上所述: 解集为（2）当时，恒成立，即，.当时，恒成立，即，综上所述：