2023届四川省凉山州高三下学期二诊数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省凉山州高三下学期二诊数学（文）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数运算法则可得z代数形式，后可得其虚部.
【详解】，则z的虚部是.
故选：C
2．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简集合，，利用两个集合的交集的定义求出.
【详解】，，
.
故选：B.
3．已知满足约束条件,则目标函数的最小值是（ ）
A．1B．2C．11D．无最小值
【答案】A
【分析】作出可行域,将目标函数变为,通过平移直线即可求出的最小值.
【详解】根据题意,可行域如图所示:将直线平移至刚好经过时,取的最小值:.
故选:A.
4．表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量（，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据）．正确选项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题设列出关于的方程，利用对数的运算求解出的值.
【详解】由题意可知：，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C.
5．执行如图所示程序框图，则输出的S的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】执行程序即可算出其输出值结果.
【详解】由题意可知，流程图的功能为计算的值，
裂项求和可得：.
故选：B.
6．不透明箱子中装有大小相同标号为1，2，3，4，5的5个冰墩墩（北京冬奥会吉祥物），随机抽取2个冰墩墩，则被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据古典概型模拟计算即可.
【详解】解：根据题意，随机取出的2个冰墩墩的编号的可能情况有：12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，共10种；
其中被抽到的2个冰墩墩标号相邻的情况有：12,23,34,45，共4种；
所以，被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是.
故选：B
7．已知是定义域为的偶函数且，则函数零点个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】通过导数研究函数单调性，利用零点存在定理判断零点个数.
【详解】时，，
当时，，，
当时，，，
，有；，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，，，，
，，，
由零点存在定理，所以在，，上各有一个零点，
又是定义域为的偶函数，则函数有6个零点.
故选：A
8．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分析出的最小值为点A到准线的距离，而为定值，即可求出周长的最小值.
【详解】
因为抛物线方程为，所以，
所以焦点，且抛物线准线方程为.
注意到的周长为，
因为，，所以,
所以.
因为根据抛物线定义，点到准线的距离等于，
则若求周长最小值，即求点到准线的距离与长度之和的最小值即可，
由图可知，当点为过点作轴垂线与抛物线的交点时，
点到准线的距离加长度之和最小，
最小值为，
所以周长的最小值为.
故选：C.
9．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换公式和正弦定理，把中等式化为，从而，得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】根据正弦定理可得，
所以
所以，
即，
整理得，则或，
因为，，，，
则或，即或，所以由不能推出；
当为等腰三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出，
故p是q的既不充分也不必要条件．
故选：D
10．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解.
【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.
所以四面体外接球表面积是.
故答案为：B.
11．已知，则a，b，c大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性得，再构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而得到，即可得解.
【详解】令，，则，即当时，，
∴在上单调递增，∴，
∴，∴，即；
令，，∴，
∴在上单调递增，∴，
∴，
∴，即，综上可知：.
故选：D
12．如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足．
①直线与点P的轨迹无公共点；
②存在点P使得；
③三棱锥体积最大值为；
④点P运动轨迹长为．
上述说法中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据题意，由正弦定理结合轨迹方程即可判断①②，然后根据三棱锥体积公式以及点的运动轨迹，即可判断③④.
【详解】
因为为的角平分线，在中，由正弦定理可知，设，则，所以，
在中，由正弦定理可知，，
因为，所以，且，设，，
所以，所以，，
所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧，且，点到该直线的距离为，
所以与圆无公共点，①正确；
若，设，所以，所以，
所以，即，联立，解得
所以点满足条件，所以②正确；
若最大，则到距离最大，即到与圆的交点处，但不在正方形边界上，所以最大值取不到，故③错误；
令，得到点，又因为，所以，所以为等边三角形，所以，因为为点的运动轨迹，所以，
故④正确；
故选:C
二、填空题
13．已知直线，直线，若，则_____________．
【答案】
【分析】根据两直线平行的充要条件求解．
【详解】因为，所以，解得．
故答案为：
14．已知双曲线的右焦点．点F到该双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率是_____________．
【答案】2
【分析】取双曲线的一条渐近线，根据右焦点到一条渐近线的距离为，可求得，即可求出双曲线的离心率
【详解】不妨取双曲线的一条渐近线，即，
易得，则右焦点渐近线的距离，
所以，则，
所以双曲线的离心率.
故答案为：2
15．已知正实数a，b，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的希罗平均数．点G为的重心且，则正数a，b的希罗平均数H的最大值是_________．
【答案】3
【分析】根据点G为的重心有，结合可求得，再根据利用基本不等式即可求解.
【详解】依题意，因为点G为的重心，
所以，
所以，
即又，
所以，即.
因为，
所以.
故答案为：3.
16．已知函数，则下列说法中正确的是________
①一条对称轴为；
②将图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若，则；
④若且，则的最小值为．
【答案】①③
【分析】首先化简函数为，①根据正弦函数的性质验证即可；②利用平移变换得到判断；③由得到，从而得到，再由，利用两角差的正切公式求解判断；④令得到，在同一坐标系中作出的图象判断.
【详解】解：函数，
①因为，所以一条对称轴为，故正确；
②将图象向右平移个单位得到，再向下平移1个单位得到，因为，所以新函数不是奇函数，故错误；
③由得：，则，，
当时，；
当时，，
所以，故正确；
④令得：，
在同一坐标系中作出的图象如图所示：
由图象知：，故错误，
故答案为：①③
三、解答题
17．下图截取自2022年1月27日《西昌发布》公众号公布的自2016年至2021年西昌市地区生产总值条形统计图．将2016年视作第1年，并四舍五入保留地区生产总值整数部分得到图二所示表格．经计算可知年份x与生产总值y之间具有较好的线性相关关系．
(1)求年份x与生产总值y的线性回归方程（最终结果保留整数）；
(2)由线性回归方程预测2023年西昌市地区生产总值大约是多少亿元？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．参考数据：．
【答案】(1)
(2)亿元
【分析】（1）根据最小二乘法的计算公式，分别求得和，进而求得年份x与生产总值y的线性回归方程；
（2）由（1）知年份x与生产总值y的线性回归方程，令，求得亿元，即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意，可得，，
，
则，又由，
所以年份x与生产总值y的线性回归方程为.
（2）解：由（1）知年份x与生产总值y的线性回归方程为，
当时，可得亿元，
即西昌市2023年地区生产总值约为亿元.
18．已知对于任意，函数在点处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意恒成立，求取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得数列的通项公式，根据题意求出数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）先求出的表达式，再利用二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）由题意，∴，
或（舍），
；
（2），
当或2时取“=”，
∴.
19．如图，在直三棱柱中，点分别是中点，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取取中点G，连接，，证明平面，进而根据线面平行性质定理证明即可；
（2）取棱中点，中点，连接，进而证明平面，再结合（1）得为所求线面角记为，再根据几何关系求解即可.
【详解】（1）证明：取中点G，连接，，∵分别是，中点
∴且
又∵且，∴
∴四边形为平行四边形
∴平面平面
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴
（2）解：由三棱柱为直棱柱得平面，平面，
∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，
∴，
∴，即，
取棱中点，中点，连接,
∵由三棱柱为直棱柱得平面，平面，
∴，
∵，
∵，
∵，平面,
∴平面，
∵点分别是中点,
∴，
∴平面．
由（1）可知，
∴为所求线面角记为，．在中．
在中，
∴，
∴直线l与平面所成角的余弦值为
20．在平面内动点P与两定点连线斜率之积为．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)已知点，过点P作轨迹E的切线其斜率记为，当直线斜率存在时分别记为．探索是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）首先设点坐标为，然后根据两点的斜率公式表示出与的斜率，代入题干条件中并化简整理即可得到点的轨迹方程；
（2）首先设切线方程为，然后直曲联立，根据直线与曲线相切的特征得，再根据点即在切线上也在椭圆上可分别得到与，联立三个方程即可得到；再分别把，，代入中即可得到定值.
【详解】（1）设点P坐标为，根据斜率公式可得，，
因此可得：，
化简整理得，
∴点P轨迹方程为
（2）设切线方程为，点（），
联立方程，得，
由 ①
过点得代入①
得 ②
又点在椭圆上，
∴代入②整理得
，即，解得：
，∴
【点睛】（1）再利用坐标法求轨迹方程时，首先我们设出动点坐标，再根据动点坐标将题干中的几何条件坐标化得到方程，最后化简方程即可得到轨迹方程
（2）在解决直线与曲线相切的问题中，我们可以通过直曲联立，化简整理得到方程，利用判别式来解决问题.
21．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】对求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间；
（2）分，和讨论的单调性，知当时，函数有两个不同的极值点，要证，即证，比值代换法令可转化成，研究的单调性即可证明.
【详解】（1）或
∴的单调减区间为；
，∴的单调减区间为
（2）当时，∴单调递减，无极值点，不满足条件．
当时，，
，∴单调递减，无极值点，不满足条件．
当时，，
即的两根为．由韦达定理得，
∵，∴，满足条件.
要证，即证，
即证
令则只需证
∴在单增，得证
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法常用的有以下两种：
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论 型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设点，直线l与曲线C交于点A，B．求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析.
【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.
（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.
【详解】（1）将直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程为．∵
∴直线l的极坐标方程为
∴由曲线C的极坐标方程
化为直角坐标方程为.
（2）将代入得
设点A、B对应的参数为，则
∵
∴.
∴.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)函数最小值为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）对x的值分类讨论开绝对值可得，作出函数的图形，结合图形即可求解；
（2）由图可知，进而，根据柯西不等式计算即可求解.
【详解】（1）
时，，
当时，，
当时，，
，
由图可知：当时，或，
所以的解集为；
（2）由图可知，∴，
由柯西不等式得
，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为12.
年份x
1
2
3
4
5
6
生产总值y（亿元）
443
467
522
565
573
630