2023届四川省绵阳中学高三上学期1月模拟检测数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省绵阳中学高三上学期1月模拟检测数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式得出集合，根据并集的概念求解即可.
【详解】由解得，则，
所以．
故选：B．
2．设复数，则（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】D
【分析】先求再求模长可得答案.
【详解】.
故选：D．
3．设等比数列的公比为q，则是为单调递增数列的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】通过做差，结合充分条件、必要条件的定义判断即可
【详解】
若,则,则为单调递减数列
所以是为单调递增数列的不充分条件
若为单调递增数列,则,则
即或,所以故是为单调递增数列的不必要条件
故是为单调递增数列的既不充分也不必要条件
故选：D
4．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为，所以有且，，
因为函数在上是增函数，
所以.
故选：A
5．若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对两边同时平方可求出，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.
【详解】因为，以，
又，，所以，，
设与的夹角为，
则，
因为，所以，
即与的夹角为.
故选：D.
6．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26B．130C．D．156
【答案】B
【分析】根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列,该等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，代入等差数列的前n项和公式，求出d，再求即可.
【详解】设第天的织布量为,根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列,
该等差数列的前30项和为390，首项，设公差为d，
所以，解得，
所以．
所以这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为130.
故选:B
7．近期记者调查了热播的电视剧《狂飙》，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，，，，的爱看比例分别为，，，，，现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表，17代表，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（ ）
A．33B．35C．37D．39
【答案】B
【分析】求出前四组数据的样本中心点的坐标，代入回归直线方程求出的值，再将代入回归直线方程可得出的值.
【详解】因为比例和线性回归方程均带有，故为了方便计算，以下数据省略，
前四组的平均数为，，
代入线性回归方程得，解得，
所以，线性回归方程为，
当时，，由此可推出的值为.
故选：B.
8．在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在原平面矩形中,连接,由面面ABC知,故点的轨迹是以为直径的圆上一段弧,根据的位置求出此弧的长度.
【详解】
由题意，将沿折起，使平面平面，在平面内过点作垂足为在平面上的射影，连接,由翻折的特征知，
则，故点的轨迹是以为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是，
如图当与重合时，,所以，
取为的中点，得到是正三角形.
故，
其所对的弧长为；
故选：D.
9．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由正弦定理求出外接圆的半径为，得出弓形部分所对的圆心角，求出弓形面积后由半圆面积减去弓形面积即得．
【详解】设外接圆圆心为，如图，半径为，则，，
因此，中弓形面积为，
从而阴影部分面积为．
故选：A．
10．化简得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用求出，第一个根号分子分母同时乘以，第二个根号分子分母同时乘以，结合平方关系即可得到．
【详解】，
，

故选：A
11．已知EF是圆的一条弦，且，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值.
【详解】由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点，所以，
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆要包括圆，
点到直线的距离为，
所以长度的最小值为，
故选：B．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值.
12．已知正数，，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据对数函数的单调性判断，分别造函数和，利用导数判断函数的单调性，从而得出，，进而求解即可.
【详解】；
构造，则，
令，即解得：，
所以函数在上单调递增，则，
即，所以，
构造，则，
令，即，解得：，
所以函数在上单调递减，则，
即，所以，
综上可知：，
故选：.
二、填空题
13．已知x，y实数满足则的取值范围为______．
【答案】
【分析】作出可行域及目标函数，由数形结合即可求得范围.
【详解】可行域如图所示，则目标函数的范围在点A、B点之间，即，即.
故答案为：
14．关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数的单调区间计算最小值即得到答案.
【详解】，即，
设，恒成立，故单调递增.
原不等式转化为，即，即在上恒成立.
设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，即，解得.
故答案为：.
【点睛】将不等式化为,这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．
15．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30°，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题：①曲线形状为椭圆；②点O为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为.其中正确命题的序号为_________.
【答案】①②
【分析】画出轴截面的图象，根据选项可判断出A正确；解直角三角形计算出AO的长以及轴A B的长，由此可判断出B正确;由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故C错误.
【详解】在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1,曲线形状为椭圆，故①正确，即曲线形状为椭圆.
对于②，画出圆锥的椭圆长轴所在的轴截面的图形如图所示，
由于，
所以，即，
所以.而曲线上任意两点间的最长距离为椭圆长轴，故点O为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，即②正确.
对于③，由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误；
综上所述，正确命题的序号为①②.
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查椭圆、圆锥的截面、曲线上两点间距离等问题，考查运算求解能力，属于中档题.
16．现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推，则______．
【答案】
【分析】先求得，然后利用错位相减求和法求得正确答案.
【详解】依题意，，
，
，
以此类推可知，数列是首项为，公比是的等比数列，
所以.
令，
则，
，
两式相减得

所以.
所以.
故答案为：
三、解答题
17．在中，，.
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由余弦定理列式得关于的一元二次方程，可求解得，然后代入三角形面积公式计算；（2）根据向量的基底表示可得，然后利用余弦定理代入得关于的一元二次方程，可求解得，然后将代入余弦定理求解出.
【详解】（1）在中，，，，
由余弦定理得，，
所以，即，又，
所以，所以的面积
（2）因为，所以.
所以，又，，
代入化简得，，即，又，
所以，在中，，，，
由余弦定理得，
又，所以.
18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
(1)求出的表达式；
(2)求证：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）归纳得出，然后利用累加法可求得的表达式；
（2）当时，可得出，利用裂项相消法可证得原命题成立.
【详解】（1）解：根据题意，，，
，，，
由此类推：．
当且时，
，
也满足，
故对任意的，.
（2）证明：由（1）的结论，，
当时，，
则
，故原命题成立．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，．
(1)求证：平面PBC；
(2)在棱PC上是否存在一点G，使平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）连接AC，由中位线的性质可得，再由线面平行的性质可得证；
（2）设，求出平面EFD的一个法向量， 由将用表示出来， 再由，共线列出满足的关系求解，由无解得不存在.
【详解】（1）连接AC，因为F为BD中点，底面ABCD是正方形，所以F为AC中点，
又E为PA中点，所以，
又平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
（2）不存在．
假设存在，连接AC，BD，交于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，
取的中点O，连接，则，
因为侧面底面ABCD，面底面，面，
所以面，又因为面，所以，
以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，，，
设，则，，
设平面EFD的一个法向量是，
∵，即，令，则，
∵因为平面EDF，∴，∴，，，
∵，共线，，，
∴，
∴，无解，
故在棱PC上不存在一点G，使平面EDF．
20．平面直角坐标系内有一定点，定直线，设动点P到定直线的距离为d，且满足．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)直线过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线分别交直线于点H、K，若，求k的取值范围．
【答案】(1)动点P的轨迹方程为椭圆
(2)
【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意列式再化简方程求解即可；
（2）设，再根据的直线方程得出，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理与判别式中的范围，进而将韦达定理代入化简可得，结合判别式中的范围即可得
【详解】（1）设动点P的坐标为，因为，
所以，即，整理得．
所以动点P的轨迹方程为椭圆．
（2）设，由（1）可得A的坐标为，
故直线，令，则，同理．
直线，由，消去y得，
故，解得或．
又，故，
又
，
∵，
故，即，
综上，或．
所以k的取值范围是．
21．已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）求导讨论和即可分析单调性；
（2）当且时，恒成立；当时，令，求导分析单调性进而求取最小值，由最小值大于或等于0即可求解参数范围．
【详解】解：（1），当时，∵，∴，
∴，∴在上的单调递增
当时，，∴时，；时，
∴在上的单调递减，在上的单调递增，
综上可得：当时，在上的单调递增，
当时，在上的单调递减，在上的单调递增；
（2）当且时，由（1）可知：在上的单调递增，
∴
∴时，恒成立恒成立
当时，令，
∵，由得，由得
所以在上的单调递减，在上的单调递增
由（1）可知：，在上的单调递减，在上的单调递增
∴在上的单调递减，在上的单调递增
∴
，
∴，解得：
综上可得：的取值范围是
【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【答案】（1）；；（2）
【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
【详解】（1）由得：，又
整理可得的直角坐标方程为：
又，
的直角坐标方程为：
（2）设上点的坐标为：
则上的点到直线的距离
当时，取最小值
则
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值是m，且，，，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用零点分区间法解决问题即可；
（2）由（1）可知，则，故，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以等价于或或，
解得或或，
故不等式的解集为.
（2）由（1）可知，则，又，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故最小值为．