2023届四川省遂宁市高三第二次诊断性考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省遂宁市高三第二次诊断性考试数学（文）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省遂宁市高三第二次诊断性考试数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则(    )A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次不等式解法求出集合A，再根据集合交集运算即可得到答案．【详解】，，故．故选：C．2．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的四则运算法则即可计算.【详解】.故选：A.3．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（    ）A．20 B．40 C．60 D．88【答案】C【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比,再乘以100可得结果【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为，因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为.故选：C.4．已知，，则（    ）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】由二倍角的正弦、余弦公式代入化简即可得出答案.【详解】由可得：，则，因为，所以，所以，则.故选：B.5．过直线：上的点作圆：的切线，则切线段长的最小值为(    )A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何关系表示出切线段长度，根据几何关系即可求出其最小值．【详解】设直线上任意一点为P，过P作圆的切线，切点为M，圆C圆心C为，半径，则，要使最小，则最小，易知最小值为圆心C到直线l的距离．即，∴．故选：B．6．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，再利用特殊值的函数值，逐一判断即可.【详解】对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A符合图象；对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B不符题意；对于C，函数，因为，故C不符题意；对于D，当时，，故D不符题意.故选：A.7．已知函数，则（    ）A．有2个极大值点 B．有1个极大值点和1个极小值点C．有2个极小值点 D．有且仅有一个极值点【答案】D【分析】求导，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得解.【详解】，因为（当且仅当时取等号），则当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极小值点为，没有极大值点，即函数有且仅有一个极值点.故选：D.8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数可以是(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】现利用辅助角公式将f(x)化简，再根据函数图象左右平移即可求出新的函数解析式．【详解】，将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数．故选：D．9．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为(    )A． B． C． D．3【答案】B【分析】求出，根据∥平面ABCD即可得点到平面ABCD的距离．【详解】如图，连接，则⊥平面ABCD，且，由题可知∥，又∵平面ABCD，平面ABCD，∴∥平面ABCD，∴点到平面ABCD的距离与点B1到平面ABCD的距离相等．故选：B．10．已知定点，直线：与抛物线交于两点A，B，若，则(    )A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】设，联立直线l与抛物线的方程，求得，，，由可得，从而可求k的值，根据弦长公式即可求．【详解】设，，由题知，，故，则，由，即，即，解得，则，则．故选：C．11．在中，，，为的中点，将绕旋转至，使得，则三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】推导出平面，计算出的外接圆的直径，可得出三棱锥的外接球直径为，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.翻折前，在中，，，为的中点，则，且，翻折后，则有，，又因为，、平面，所以，平面，由已知，则是边长为的等边三角形，将三棱锥置于圆柱上，使得的外接圆为圆，所以，的外接圆直径为，所以，三棱锥的外接球直径为，则，因此，三棱锥的外接球表面积为.故选：C.12．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如下图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A. 二、填空题13．已知双曲线，则的离心率为___________.【答案】##【分析】求出、、的值，即可得出双曲线的离心率的值.【详解】在双曲线中，，，，因此，双曲线的离心率为.故答案为：.14．已知，，，则实数______.【答案】【分析】先求出向量的坐标，再利用模的坐标运算列方程求解即可.【详解】由已知得，，，解得.故答案为：.15．中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________.【答案】##【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出面积的最大值.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，，因为、，则，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，则.当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.故答案为：.16．《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则___________.【答案】##【分析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】解：阴影部分面积为： 由图可知：，所以则，因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，所以，，即，则解得：，因为，所以.故答案为：. 三、解答题17．某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表： 一般良好合计男20100120女305080合计50150200 (1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？(2)利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635 其中，.【答案】(1)有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.(2) 【分析】（1）根据表中数据计算出的值，对比附表数据，然后作出判断；（2）先根据分层抽样计算出男、女客户并对男女生进行标记，列出“从名学生中随机抽取名”的所有基本事件，分析满足“抽取的两名学生中至少有名女性”的基本事件，根据基本事件数之比求解出对应概率.【详解】（1），有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.（2）因为“效果较好”的男客户和女客户的人数之比为，即为，所以抽取的名客户中，男生有名，记为，，，，女生有名，记为，，从这人中选取人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个.其中至少一名女生的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.所以，抽取的名学生中至少有名女性的概率为.18．已知数列是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，是公比大于0的等比数列，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据等差等比数列通项公式直接求解；（2）利用裂项相消和等比数列的前项和公式求解即可.【详解】（1）设公差为，公比为，则由题可得数列的前3项的和，因为，所以，所以，又因为，所以解得或（舍），所以.（2）由（1）可知，，所以的前项和为：.所以19．如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.(1)证明：平面平面ABC；(2)若，，，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF，通过全等三角形及角平分线性质可证N与H重合，从而可证平面平面ABC；（2）由（1）知平面ABC，且由已知可求长度，再由角平分线性质可求面积，从而可求三棱锥的体积．【详解】（1）如图，设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF．∵平面ABC，平面ABC∴又∵   ∴平面PNE   ∴，同理在，中，，∴   ∴在，中，，∴，∴，即N到AB，AC的距离相等同理N到BC，AC的距离相等，故N为的内心，N与H重合∴平面ABC又∵平面APM    ∴平面平面ABC（2）由已知可得，设的内切圆半径为r，则，故，因为H为的内心，所以AH平分，所以，，所以，，故的面积为，因为，  所以，所以，得，所以，，故三棱锥的体积为．20．已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.(1)求证：为常数；(2)证明直线MN过定点.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆过A和T求出椭圆的标准方程.根据知与关于直线AT对称，设任一点为，求出其关于AT对称后的点的坐标，表示出即可证明；（2）设点，：．联立AM和椭圆方程，求出，同理求出，根据（1）中的值得AM和AN斜率关系.求出MN的斜率，写出MN的方程，化简该方程为直线方程的斜截式即可判断其经过定点．【详解】（1）∵椭圆过A和T，∴解得，∴椭圆的方程为：，由知与关于直线对称．在上任取一点，设关于直线AT对称的点为，则，解得，从而，于是．（2）设点，：．由得，∴，从而．同理，．由(1)有，故，，为方便，记，则，，∴，即．由此可知，当变化时，直线过定点．【点睛】本题综合考察圆锥曲线里面的定值和定点问题.第一问关键是将这个已知条件转化为直线AM和直线AN关于直线AT对称；第二问的关键是结合韦达定理直接求出M和N的坐标，直接写出MN的方程，从而证明其经过定点．21．已知函数有两个极值点、.(1)求的取值范围；(2)若时，不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由可得，令，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，再结合极值点的定义检验即可；（2）由已知可得出，，将这两个等式相除可得，变形可得，再由可得，令，可得出，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的最小值.【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，且，因为函数有两个极值点，所以，方程有两个不等的实数根，则方程有两个不等的实根，令，其中，则，令可得，列表如下：增极大值减 所以，函数的极大值为，且当时，；当时，.如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且交点横坐标为、，当或时，；当时，.此时，函数有两个极值点，合乎题意，因此，实数的取值范围是.（2）证明：由（1）可知，函数的两个极值点、是方程的两个根，且，，则有，，等式与等式相除可得，则有，由可得，即，即，因为，则，令，则，可得，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，即，所以，函数在上单调递减，所以，当时，，则.因此，实数的最小值为.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求的直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于，，求.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用和，即可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设出两点对应参数，联立直线的标准参数方程和曲线的直角坐标方程，得到，再利用参数的几何意义，即可求出结果.【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，根据，，可得，即，所以曲线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），化为标准形式为（为参数），代入曲线的直角坐标方程为，得到，即，设两点对应参数分别为，则有，由参数的几何意义，得到.23．设函数.(1)解不等式；(2)令的最小值为，正数，，满足，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（2）分，，三种情况讨论，去绝对值符号，从而可得答案；（2）根据绝对值的三角不等式求出的最小值，再根据基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得证.【详解】（1）当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，综上所述，不等式的解集为；（2）由题，当且仅当即时取“等号”，故的最小值，即，则，,当且仅当，即，时取等号,所以．