2023届辽宁省葫芦岛市高三第一次模拟考试数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省葫芦岛市高三第一次模拟考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过解一元一次不等式得到集合，再结合补集的定义即可得最后结果.
【详解】由得：，
又因为，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，补集的概念及其运算，熟练掌握全集与补集的概念是解题的关键，属于基础题.
2．是虚数单位，则的值为（ ）
A．13B．C．5D．
【答案】B
【分析】先对复数进行除法运算，再计算模长即可得到答案.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
3．若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
4．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（ ）
A．B．－C．D．－
【答案】C
【分析】先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.
【详解】∵，∴．
又，∴，
∴．
又，，
∴．
故选：C.
5．芙萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》为太昍中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（単位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得，再根据指数与对数的关系计算可得.
【详解】依题意可得，即，所以，
所以.
故选：A
6．的展开式中的系数为（ ）
A．－80B．－100C．100D．80
【答案】B
【分析】根据两项相乘，将，用的通项特征即可由分配律求解.
【详解】由中含的项为，中含的项为，故的展开式中的项为
，故系数为，
故选：B
7．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作P1P⊥x轴于点P1，直线P1P与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，，所以线段的长为，根据
结合同角三角函数基本关系可计算的值，即可求解.
【详解】设，则，由题意知，
所以，
因为，所以，
即，所以，
所以，
直线与函数的图象交于点，可得，
所以，
故选：C.
8．已知函数，在，且上有个交点则（ ）
A．0B．C．2mD．2017
【答案】C
【分析】作出函数的大致图象，可利用函数的对称性分组求和即可得解．
【详解】因为，关于点对称，函数，关于点对称，
作出函数与大致图象，
由图可知交点成对出现，因为两个函数都关于对称，
所以每对交点关于点对称，每对交点横坐标和为，纵坐标和为，
所以.
故选：C.
二、多选题
9．已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】ABD
【分析】利用面面平行的性质及线面垂直的性质，面面垂直的性质即可求解.
【详解】对于A，由，，得，又因为，所以，故A正确；
对于B，由，，得，因为，所以 ，故B正确；
对于C，由，，，得与异面或平行，故C错误；
对于D，由，，得或，又因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
10．一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
【答案】AD
【分析】根据弯道减速，直道可加速，再根据图像逐一判断即可.
【详解】由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；
在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4) 之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确；
最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C不正确；
由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；
故选：AD.
11．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
【答案】ABC
【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的概率，判断正误.
【详解】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；
B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；
C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确；
D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误.
故选：ABC
12．设定义在R上的函数满足：①：②对任意实数满足；③存在大于零的常数m，使得 ，且当 时， ．则（ ）
A．
B．当时，
C．函数在R上没有最值
D．任取
【答案】ABD
【分析】利用赋值法以及即可求解A,根据，以及，利用不等式即可求解BC，根据赋值即可判断D.
【详解】对于A，令，则有条件②可得，故，
令，则 ，故A正确，
对于B，令，则，
当时，，所以
故，因此，故B正确，
对于C,由B可知，所以，所以，
当且仅当（取右边等号）（取左边等号）时，等号成立，
因此有最大值为，故C错误，
对于D，令得，故D正确，
故选：ABD
三、填空题
13．请估计函数零点所在的一个区间______.
【答案】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数为上的减函数,
函数的图像在上为一条连续不断的曲线,
又,,
所以函数零点所在的一个区间为.
故答案为:.
四、双空题
14．某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a的值为______；考试成绩的中位数为______．
【答案】 ##0.035
【分析】根据频率之和为1即可求解，由面积之和为0.5的位置为中位数即可列方程求解.
【详解】由频率分布直方图可知：，
设中位数为，则，
故答案为：0.035，
五、填空题
15．设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
【答案】
【分析】由圆的方程写出圆心与半径，根据圆切线的性质知：四边形PACB的面积为2S△PAC且S△PAC＝PA·AC、PA＝，只需结合点线距离公式求PC的最小值，即可得四边形PACB的面积的最小值.
【详解】依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，
易知PC的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离即，且，
由四边形PACB的面积为2S△PAC＝2×(PA·AC)＝PA·AC＝PA＝，
∴四边形PACB的面积的最小值是．
故答案为：
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为______．
【答案】4
【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在焦点三角形中， 处长交于点，
因为为的内心，所以有，
，
因为，
所以有，
因此的离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.
六、解答题
17．设等差数列的前项和为，已知，，等比数列满足，．
(1)求；
(2)设，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等差中项性质，计算得，
（2）根据等比数列的通项公式和等比中项性质，计算得，错位相减法证明
【详解】（1）由题意得 解得，，所以，
从而，
（2）由题意得，解得：，，，所以
又，令，
有
两式相减得，
整理得，得证.
18．在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由两角和与差公式化简求角即可；
（2）利用面积公式列方程解出线段的长．
【详解】（1）在中，由已知，可得：
则有：，
即
又，即有，
而，所以．
（2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线，
则有，
由得：
解得，
所以线段的长为．
19．如图，在四棱锥中，，，，，，．E为PD的中点．
(1)求证：平面PAB；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：点D到平面PAB的距离．
条件①：四棱锥；
条件②：直线PB与平面ABCD所成的角正弦值为．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设为中点，连接、，由已知可证四边形是平行四边形，
利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）若选择条件①，设，则由求得，通过建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，利用空间中点到面的距离公式即可求解；
若选择条件②，设，则由直线PB与平面ABCD所成的角正弦值为求得，通过建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，利用空间中点到面的距离公式即可求解．
【详解】（1）设为中点，连接、，因为为的中点，
所以是三角形的中位线，所以且
又因为，，，所以，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）过作于，连接．
因为，又因为，
且，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
因为，所以为中点，
又因为平面平面，所以平面．
又平面，所以，
如图建立空间直角坐标系．
设，由题意得，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则
，
令，则，所以．
选择条件①
由，解得，
设到平面的距离为，
则；
选择条件②
连接，则是在平面内的射影，
所以直线与平面所成的角为，
在Rt中，，
在中，，
，所以，所以，
设到平面的距离为，
所以．
20．在平面直角坐标系中，已知点，，直线PA与直线PB的斜率乘积为，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜率与直线EF的斜率之积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用题意得到，化简即可；
（2）设直线为：，直线为：，分别与联立，利用韦达定理和弦长公式可求得，代入即可求解
【详解】（1）设，因为直线PA与直线PB的斜率乘积为，
所以，
整理得点的轨迹为为
（2）设直线为：①
设直线为：②
将①与曲线联立得：，
设，，，，
所以，
将②与曲线联立得：，
设，，，，
所以，
所以，
解得，所以
21．新冠疫情过后，国内相继爆发了甲型H1N1流感病毒（甲流）和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．
(1)若根据卡方检验，有超过99．5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？
(2)研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均互相独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？
附：（其中n=a+b+c+d）
【答案】(1)27人
(2)奥司他韦试试验平均花费较低．
【分析】（1）根据超过99．5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”可得卡方的观测值满足 ，列不等式即可求解.
（2）分别求解抗病毒口服液试验总花费和奥司他韦试验总花费的数学期望，即可比较大小进行求解.
【详解】（1）设感染诺如病毒的患者为人，则感染甲流的患者为人，
感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为，由题意必有，
而，所以，
又因为为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人．
（2）设抗病毒口服液治疗有效的概率为，每次试验花费为，
则奥司他韦治疗有效的概率为，故，
设抗病毒口服液试验总花费为X，X的可能取值为4m，5m，6m，
，
，
故
设奥司他韦试验总花费为Y，Y的可能取值为3m，6m，
，
，
所以，
由所以，
所以，所以奥司他韦试试验平均花费较低．
22．已知函数，．
(1)，，求的最小值；
(2)设
①证明：；
②若方程有两个不同的实数解，证明：．
【答案】(1)0
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）求导函数得：，证得，在单调递增，；
（2）①构造函数即证：
求导分析得：在单调递减，在单调递增
所以，从而 得证;
②研究函数的图象，分析得在上单调递减，在上单调递增，不妨设，，，根据①的结论（当且仅当时取等号），求导证明（当且仅当时取等号），设直线与直线，交点的横坐标分别为，．
则，最后对数平均不等式证明求解.
【详解】（1）
令，
在单调递增，则，即
所以，在单调递增，
所以h（x）的最小值为0
（2）①要证明，可令，即证：
于是
易知，当时，当时，
当时，，当时
所以在单调递减，在单调递增
所以，则
②函数，，
所以在上单调递减，在上单调递增
不妨设，，，
由①知，，当且仅当时取等号，
求导证明令，
易知，当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增
所以，即
故当且仅当时取等号，
设直线与直线，交点的横坐标分别为，．
则
①
对数平均不等式证明：（）
，设
令
所以函数在单调递增；；
所以，故有：（）恒成立；
由对数平均不等式得，
所以②
综合①②可知：．
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828