2023届宁夏石嘴山市第三中学高三第一次模拟考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届宁夏石嘴山市第三中学高三第一次模拟考试数学（理）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】复数的分式运算，同乘共轭复数，利用模长公式即可得到答案.
【详解】,,
故选：B.
2．若集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由绝对值不等式求得集合，再根据并集运算即可.
【详解】不等式的解集为，所以，又，
所以.
故选：B.
3．设向量不平行，向量与平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线求解即可.
【详解】解：因为向量与平行，
所以，
所以，所以
故选：B
4．算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠，
有11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550共12个，
其中能被3整除的有：15，51，105，501，150，510共6个，
所以这个数能够被3整除的概率是，
故选：C
5．已知命题：，；命题：直线与直线互相垂直，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的值域确定命题的真假，再由直线的位置关系确定命题的真假，根据且或非命题真值表确定正确选项即可.
【详解】由于，，故不存在，使得成立，所以命题为假命题；
由，可知直线与直线互相垂直，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：B.
6．在正四面体中，分别为的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：取中点，连接，利用余弦定理求，再利用余弦定理可得求，可求结果；
方法二：以为基底，利用向量法求，可求结果.
【详解】法一：取中点，连接，则，
所以或其补角就是异面直线所成的角.
则设，，
.
故选：D.
法二：不妨设正四面体的棱长为2，以为基底，则，
则，
又，所以，
所以所成角的余弦值为.
故选：D.
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小.
【详解】解：由于是减函数且，而，所以，
又因为是减函数，而，，
综上，，
故选：A.
8．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则线段的长为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】由直线过圆心求得，求出到圆心距离，由勾股定理求得切线长．
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径．
由题意可得，在直线l上，
故有，解得，则点，
故，
则．
故选：D．
9．设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（ ）.
A．，B．与均为的最大值
C．D．
【答案】B
【分析】由等差中项性质与等差数列前项和公式即可求解.
【详解】依题意，
因为，
，
所以，所以CD正确；
由，易得，
所以，即，
由，得，
所以，所以A正确；
对于B：因为，所以，
因此，与不可能同为的最大值.
故选：B.
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．4B．C．D．16
【答案】B
【分析】根据三视图画出直观图，利用三棱锥的体积公式计算.
【详解】根据三视图画出直观图如图所示：该几何体为三棱锥,
其中到底面的距离为,底面三角形的面积为,
∴体积为，
故选：B.
11．在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值.
【详解】因为，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，
即，，则，则
解得,所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，
所以，
设，则，
根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：
在上为单调增函数，故，
故，
当且仅当时取等.
故选：C.
12．已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点2，故.由题意知，即，由题意，函数在内存在零点，由，得，所以，记，则，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以.而，，所以，所以的取值范围为.故选B.
点睛：本题通过新定义满足“度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为，即求函数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.
二、填空题
13．设是定义在R上的奇函数．若当时，，则______．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质，得出，由已知求出，代入即可得出答案．
【详解】因为是定义在R上的奇函数，
所以，
又因为当时，，
所以，
故答案为：．
14．二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．
【答案】
【分析】根据二项式系数和公式求，再由二项展开式的通项公式求常数项即可.
【详解】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，得，即．
所以．
令，得，
所以二项式的展开式中常数项为．
故答案为：
15．已知，下列四个结论正确的序号是______.
①函数在区间上是减函数；
②点是函数图象的一个对称中心；
③函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到；
④若，则的值域为.
【答案】②④
【分析】根据二倍角公式及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】.
对于①，因为，所以，所以函数在区间上是增函数，故①错误；
对于②，当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，故②正确；
对于③，函数的图象向左平移个单位长度得到，所以，故③错误；
对于④，因为，所以，所以，即，所以的值域为，故④正确.
故答案为：②④.
16．设，同时为椭圆与双曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据椭圆及双曲线的定义求出，再根据，可得的关系，再将用表示结合函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：设，，焦距为2c，
由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，
当时，可得，即，
可得，则，所以，
由，可得，可得，即，
，
可设，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，可得，
所以．
故答案为：.
三、解答题
17．已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可.
（2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则，，，
又，可得，
所以.
（2）由（1）可得，
故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，
所以，
所以数列的前2n项和为：.
即: 数列的前2n项和为.
18．2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮.某机构为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各120名观众进行调查，统计数据如下：
(1)根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？
(2)现从参与调查且喜爱足球运动的观众中，采用按性别分层抽样的方法，选取7人进行有奖竞答.
①求男、女性观众各选取多少人？
②若从这7人中随机抽取4人进行本届世界杯赛事集锦分享，求抽到男生人数的分布列和数学期望.
附：，.
【答案】(1)能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关
(2)①男、女性观众各选取，人.
②答案见解析
【分析】（1）根据表中数据计算的观测值，利用独立性检验的思想即可求解；
（2）①根据已知条件及分层抽样的定义即可求解；
②根据①的结论及已知条件，求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量对应取值的概率，写出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，
所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.
（2）①根据分层抽样的原理，可知男生观众选取人，女生观众选取人，
所以男、女性观众各选取，人.
②随机变量的可能取值为，则
,
,
,
,
所以的分布列如下表
所以.
19．如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，侧面底面为中点，.
(1)求证：；
(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.
条件①：；条件②：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）选①，取的中点，连接，证明，再以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
选②，取的中点，连接，利用勾股定理证明，再以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为，为中点，
所以，
又因为面面，面面，面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）选①，取的中点，连接，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，为的中点，
所以，
又平面，
所以平面，
又，所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
由，得，
则，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
选②，取的中点，连接，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
因为且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
又因为，所以，
又，，
所以，则，
在中，因为，
所以，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
下同选①的答案.
20．在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，的最小值为4.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)4.
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）分类讨论，利用条件可得，然后利用韦达定理、弦长公式及面积公式可表示，即求；
【详解】（1）当垂直于x轴时，最小，
其最小值为，∴，
∴抛物线C的标准方程为.
（2）解法一：取，
则点M在直线上，且点O为线段的中点.
∴.
当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
，
当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为.
则点O到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
由，得点P的坐标为，
则点P到直线的距离为2，
又，所以的面积为，
当不垂直于x轴时，设其斜率为，
则直线的方程为，
设P，A，B的坐标分别为，，，
则，，
由，得，
，
即，故点P在直线上，且此直线平行于直线.
则点P到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
解法三：取，
则点M在直线上，且点O为线段的中点.
∴，
设直线的方程为，则点O到直线的距离.
联立方程，消去x整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
21．已知函数.
(1)若且存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)利用函数的导数与单调性的关系确定函数的零点，极值点即可求解；
(2)根据不同取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系，讨论函数的极值，进而可求解.
【详解】（1）因为，所以，
①当时，，此时在单调递增，
所以在存在唯一零点，
所以在存在唯一零点；
②当时，，所以在无零点；
③当时，，，
此时在单调递减，单调递增，
所以 ，且 ，
若存在零点，则只需要即可，
所以，
由①②③可得，实数的取值范围；
（2）①当时，，此时在单调递增，
当时与恒成立矛盾；
②当时，，则，所以，
③当时，，，
此时在单调递减，单调递增，
所以 ，
令，所以，
，，
所以在单调递增，单调递减，
，所以
由①②③可得，的最大值为.
22．在直角坐标系中，已知曲线：（为参数）.经伸缩变换后的曲线为，以原点О为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)M，N是曲线上的两点，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据伸缩变换求出的普通方程，再根据根据极坐标与直角坐标转化的公式转化为极坐标方程
（2）转化为极角的关系，用三角函数解决.
【详解】（1）为参数，经过伸缩变换
即为参数，所以为参数
，根据极坐标与直角坐标转化的公式，可得
（2）由（1）知曲线的普通方程为
且极坐标方程为，设的极坐标为，
则的极坐标为，
，
又因为，所以
，面积的取值范围为
23．已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出，然后分、、三种情况解不等式，即可得出实数的取值范围；
（2）由可得出，分别证明出，，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为，则，
由可得.
①当时，则有，解得，此时；
②当时，则有，解得，此时；
③当时，则有，解得，此时.
综上所述，当时，实数的取值范围是.
（2）证明：要证，即证.
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述，，，
因为，其中为锐角，且，
所以，，
所以，恒成立，
故.
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
男性
80
40
女性
60
60
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828