2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷（二）数学（理）试题含答案

2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷（二）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，，，若为实数满足，则（    ）

A． B． C．1 D．2

3．在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为（    ）

A．平均值 B．中位数 C．众数 D．方差

4．命题若，则，命题存在，使，则下列结论正确的是（    ）

A．为真命题 B．为假命题 C．p为假命题 D．q为真命题

5．已知命题：，使得；命题：，，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

6．昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．曲线和所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

9．在中，已知的面积为，设D是边的中点，且的面积为，则等于（    ）

A．2 B．4 C． D．

10．已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（    ）

A． B．0 C．1 D．

11．已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线E相交于A，B两点， ，，则双曲线E的离心率为（    ）.

A． B． C．2 D．

12．设正实数a，b满足3a=7b，下面成立的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若曲线在处的切线的斜率为，则__________．

14．的展开式中，的系数为___________．

15．在中，点在边上，，则边的最小值为__________.

16．若函数为奇函数，且，若，则_________．

三、解答题

17．已知数列满足，.

(1)证明：是等比数列；

(2)设，证明.

18．如图，已知菱形中，，点为边的中点，沿将折起，得到且二面角的大小为，点在棱上，平面.

(1)求的值；

(2)求二面角的余弦值.

19．现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立．2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．

(1)求乙总得分为10分的概率；

(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望．

20．已知椭圆的一个焦点为，其左顶点为A，上顶点为B，且到直线的距离为（O为坐标原点）．

(1)求C的方程；

(2)若椭圆，则称椭圆E为椭圆C的倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上．

21．已知函数．

(1)若时，试讨论的单调性；

(2)若有两个零点时，求a的取值范围．

22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．

(1)当时，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．

(2)直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|=2，求的值．

23．已知函数，.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.

参考答案：

1．A

2．B

3．B

4．A

5．B

6．B

7．A

8．A

9．A

10．D

11．D

12．B

13．

14．145

15．1

16．

18．(1)

(2)

【解】（1）连接，设，连接，

取中点点，分别连接,,

则，平面，平面，则平面，

又因为平面，且，平面，

所以平面平面，

又因为平面与平面平面相交，则交线，故，

因为为中点，且底面为菱形，故，

又在菱形中，，所以，

所以.

（2）因为，，所以三角形为等边三角形，

所以，而根据折叠过程可知，

且平面平面，平面，，

因此是二面角的平面角，则，

如图，以点为原点，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系.依据题意，

从而

设平面的法向量，

由得到，

由得到.

令

设平面的法向量，

由得到，

由得到.

令.

因此，

所以，所求二面角的余弦值是.

19．(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由互斥事件、独立事件的概率公式计算可得；

（2）分X可能取值为0，5，10，15，20，结合互斥事件、独立事件的概率公式求得概率得分布列，然后由期望公式计算出期望．

【详解】（1）由题意，乙得10分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误或没有回答}、{甲，乙各抢到一题都回答正确}、｛甲抢到两题都回答错误或没有回答｝

所以乙总得分为10分的概率．

（2）由题意得，甲的总得分X可能取值为0，5，10，15，20

；

；；

．

分布列如下：

所以．

20．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆的方程．

（2）分别联立直线与椭圆、椭圆的方程消元，可证明线段、中点相同，然后结合可得，由此可证明.

【详解】（1），

直线的方程为，即，

到直线的距离为，

，

又，解得，，

椭圆的方程为：．

（2）椭圆的3倍相似椭圆的方程为，

设，，，各点坐标依次为，，，，，，，，

将代入椭圆方程，得：，

，

，，

，

将代入椭圆的方程得，

，，，

，

线段，中点相同，，

由可得，

，所以，

，化简得，满足式，

，即点在定曲线上．

21．(1)具体见解析

(2)或

【分析】（1）由题意，明确函数解析式，求导，根据二次函数的性质，讨论导数零点的取值范围，可得答案；

（2）先研究时，函数的零点个数，再根据零点的定义，验证不是零点，整理函数，化简研究存在两个不同的零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.

【详解】（1），，，

若，则令，解得，，解得，

故在上单调递增，在上单调递减；

若，令，得，

①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；

②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；

③当，即时，恒成立，故在单调递减．

综上所述，

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在单调递减；

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）.

当时，，，令，则，

当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.

由且，

当时，，，故恒成立，

，由在上单调递增，

则只有一个零点；

当时，，此时不是的零点，时，，

令，由题意可知，有两个零点等价于在且时有两个零点，

，若，则，单调递增，最多有一个零点，不符合题意；

若，令，解得或，

当或时，，单调递增；

当或时，，单调递减，

而，，

当时，此时，而，故有且只有一个零点，不合题意；

当即，此时在上无零点，故在上需有两个不同的零点，故，即，

此时当时，，故当时，．

而当时，，，故．由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．

当，即，此时，故在上不存在零点．此时当时，，当时，，由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．

综上，或．

22．(1)，；

(2).

【分析】（1）根据加减消元法，结合极坐标与直角坐标互化公式进行求解即可；

（2）根据直线参数方程参数的意义，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【详解】（1）当时，直线的参数方程为，

消去参数得，

即直线的普通方程为．

∵，∴，∵，∴，

则曲线的直角坐标方程为；

（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程中得

，化简得，

设A，B两点对应的参数为，，则，，

因为直线过点，

则，

解得．

23．(1)

(2)

【分析】（1）当时将写出分段函数，再分类讨论求出不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.

【详解】（1）解：当时，，

，

当时，即，；

当时，即，；

当时，即，，

综上可得不等式的解集为；

（2）解：，当且仅当时取等号，

，

又，且，，

则，

当且仅当，即，时等号成立，

所以

根据题意可得，解得或，

的取值范围是.