所属成套资源:全套2023届高三下学期高考适应性测试数学试题含答案
2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷(一)数学(理)试题含答案
展开这是一份2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷(一)数学(理)试题含答案,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
江西省临川一中百校联盟2023届高三下学期4月信息卷(一)
数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知向量,,若,则( )
A. B. C. D.
3.在一些比赛中,对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分,去掉一个最低分,然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分.在一次有9位评委参加的赛事中,评委对一名参赛者所打的9个分数,去掉一个最高分,去掉一个最低分后,一定不变的数字特征为( )
A.平均值 B.中位数 C.众数 D.方差
4.已知命题,都有的否定是“,使”,命题若,则,在命题①;②;③;④中,真命题是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
5.已知命题,;命题若正实数满足,则,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
6.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,并提出著名的普森公式:,联系两个天体的星等、和它们对应的亮度、.这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是,猎户星座的“参宿一”星等是,则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的( )倍.(当较小时,)
A. B. C. D.
7.下图虚线网格的最小正方形边长为,实线是某几何体的三视图,这个几何体的体积为
A. B. C. D.
8.已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点,,若,在第一象限内的交点为P,且满足,设,分别是,的离心率,则,的关系是( )
A. B.
C. D.
9.已知是内部的一点,,,所对的边分别为,,,若,则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
10.已知函数的图象关于直线对称,对,都有恒成立,当时,若函数的图象和直线,有5个交点,则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
11.已知A为双曲线的左顶点,为C的右焦点,过点A的直线与圆相切,且直线交C于点B,设,则为( )
A. B. C. D.
12.已知,若方程有四个不同的实数根,,,,则的取值范围是( )
A.(3,4) B.(2,4) C.[0,4) D.[3,4)
二、填空题
13.点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有3个,则实数的值为________.
14.二项式的展开式中的常数项为___________.
15.已知、是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,,则C的离心率为____________.
16.已知定义在上的奇函数,满足,且当时,,若方程在区间上有四个不同的根,则的值为___________.
三、解答题
17.已知数列的首项,且满足.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)设,求数列的前n项和.
18.如图,在四棱锥中,平面,,,且,,是的中点,点在上,且.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
19.某选修课的考试按A级、B级依次进行,只有当A级成绩合格时,才可继续参加B级的考试.已知每级考试允许有一次补考机会,两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书.现某人参加这个选修课的考试,他A级考试成绩合格的概率为,B级考试合格的概率为.假设各级考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率;
(2)在这个考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求他一共参加3次考试的概率.
20.椭圆C:()的左右焦点分别为,,上顶点为A,且,.
(1)求C的方程;
(2)若椭圆E:(且),则称E为C的倍相似椭圆,如图,已知E是C的3倍相似椭圆,直线l:与两椭圆C,E交于4点(依次为M,N,P,Q,如图).且,证明:点T(k,m)在定曲线上.
21.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,证明:对于任意,恒成立.(参考数据:)
22.数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目,例如,极坐标方程()表示的曲线为心形线,它对称优美,形状接近心目中的爱心图形.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求直线的极坐标方程和心形线的直角坐标方程;
(2)已知点的极坐标为,若为心形线上的点,直线与心形线交于,两点(异于点),求的面积.
23.已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对任意,恒成立,求的取值范围.
参考答案:
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.B
7.B
8.D
9.A
10.C
11.A
12.D
13.3
14.
15.
16.
17.(1)证明见解析
(2)
【解】(1)由得,即,
又,,
数列为以2为首相,2为公比的等比数列;
(2)由(1)得,
,
18.(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)在线段上取点,使得,进而证明即可证明结论;
(2)如图,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可;
【详解】(1)证明:在线段上取点,使得,
所以,在中,,且,
因为在四边形中,,,
所以,,
所以,四边形是平行四边形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面.
(2)解:如图,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,
所以,,
因为是的中点,点在上,且,
所以,
所以,,设平面的一个法向量为,
所以,,即,令得,
由题,易知平面的一个法向量为,
所以,
所以,
所以,二面角的正弦值为.
19.(1).(2).
【分析】设“A级第一次考试合格”为事件,“A级补考合格”为事件;“B级第一次考试合格”
为事件,“B级补考合格”为事件.
(1)通过相互独立事件的乘法公式求即可;
(2)设“该考生一共参加3次考试”为事件C,则,利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】解:设“A级第一次考试合格”为事件,“A级补考合格”为事件;“B级第一次考试合格”
为事件,“B级补考合格”为事件.
(1)不需要补考就获得合格证书的事件为,注意到与相互独立,
则.
即该考生不需要补考就获得合格证书的概率为.
(2)设“该考生一共参加3次考试”为事件C,则,
注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得
.
即该考生一共参加3次考试的概率为.
【点睛】本题考查互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式,是中档题.
20.(1)
(2)证明见解析
【分析】对于(1),设,其中.由可得,结合,可得.
对于(2),分别将l:与两椭圆方程联立,设,,,,注意到,结合题目条件得,后可证明结论.
【详解】(1)设,其中.由题意知半焦距,
因为,
所以,
所以,
所以C的方程为
(2)证明:椭圆C的3倍相似椭圆E的方程为,即.
联立l与C的方程,得,消去y并整理,得,
则,即,
设,,由韦达定理有:,,
所以.
联立l与E的方程,得,消去y并整理,得,
则,即,
设,,由韦达定理有:,,
所以,
注意到,.
所以线段NP,MQ的中点相同,
所以.又,得.
又,
所以,即,
化简,得.满足,
所以,即点T(k,m)在定双曲线上.
【点睛】关键点点睛:本题涉及求椭圆方程,及结合椭圆中的新定义解题.
(1)问较为基础,解决(2)关键为发现线段NP,MQ的中点相同,继而得到,后由韦达定理可得结论.
21.(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)求定义域,求导后,分与两种情况分类讨论,得到函数单调性;
(2)放缩后即证对一切恒成立,构造,求导后得到其单调性和极值,最值情况,结合,得到,所以,证明出结论.
【详解】(1)由题意可得定义域为R,.
当时,,则在R上单调递增;
当时,由,得,由,得,
则在上单调递减,在上单调递增.
综上:当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:因为,且,所以,故,
则要证对于任意恒成立,
即证对于任意恒成立,
即证对于任意恒成立,
即证对一切恒成立.
设,则.
当时,,当时,,
则在上单调递增,在上单调递减.
故在处取得极大值,也是最大值,
故.
因为,所以,即,所以,
则.故对一切恒成立,
即对一切恒成立.
【点睛】含参不等式的证明,若根据参数范围进行适当放缩,消去参数,这样可以简化不等式结构,便于构造函数进行研究,放缩消参是处理含参不等式的常规技巧,值得学习体会,常用放缩方法有切线放缩,也可结合题干中参数取值范围进行放缩.
22.(1)极坐标方程为或;
(2).
【分析】(1)先消去参数得到直线的普通方程,进而得到极坐标方程,由,得到,即求解.
(2)将代入方程得到,进而得到,分别与直线l的极坐标方程联立,求得A,B坐标求解.
【详解】(1)解:消去参数得到直线的普通方程为,
所以极坐标方程为或;
((也正确)
由,得,即,
化简得心形线的直角坐标方程为.
(2)将代入方程,得,
∴.
由得,
由得,
∴.
23.(1);
(2).
【分析】(1)将绝对值函数表示为分段函数,解不等式即可求解;
(2)根据三角不等式的性质求出的最小值,即可求解.
【详解】(1)由题知,当时,,
所以,
因为,所以或或,
解得或或,
所以不等式的解集为.
(2)因为,
所以,
所以,所以,即,
所以,解得,
所以a的取值范围为.
相关试卷
这是一份2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷(一)数学(理)试题含解析,共26页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷(一)数学(理)试题PDF版含答案,共14页。
这是一份2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷(四)数学(理)试题含答案,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。