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    2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷(一)数学(理)试题含答案

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    2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷(一)数学(理)试题含答案

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    这是一份2023届江西省临川一中百校联盟高三下学期4月信息卷(一)数学(理)试题含答案,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    江西省临川一中百校联盟2023届高三下学期4月信息卷(一)

    数学(理)试题

    一、单选题

    1.已知集合,则    

    A B C D

    2.已知向量,若,则    

    A B C D

    3.在一些比赛中,对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分,去掉一个最低分,然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分.在一次有9位评委参加的赛事中,评委对一名参赛者所打的9个分数,去掉一个最高分,去掉一个最低分后,一定不变的数字特征为(    

    A.平均值 B.中位数 C.众数 D.方差

    4.已知命题,都有的否定是,使,命题,则,在命题中,真命题是(    

    A①③ B①④ C②③ D②④

    5.已知命题;命题若正实数满足,则,则下列命题中为真命题的是(    

    A B C D

    6.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,并提出著名的普森公式:,联系两个天体的星等和它们对应的亮度.这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的十字架三星等是,猎户星座的参宿一星等是,则十字架三的亮度大约是参宿一的(    )倍.(当较小时,

    A B C D

    7.下图虚线网格的最小正方形边长为,实线是某几何体的三视图,这个几何体的体积为

    A B C D

    8.已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点,若在第一象限内的交点为P,且满足,设分别是的离心率,则的关系是(    

    A B

    C D

    9.已知内部的一点,所对的边分别为,若,则的面积之比为(    

    A B C D

    10.已知函数的图象关于直线对称,对,都有恒成立,当,若函数的图象和直线,有5个交点,则k的取值范围为(    

    A B

    C D

    11.已知A为双曲线的左顶点,C的右焦点,过点A的直线与圆相切,且直线交C于点B,,(    )

    A B C D

    12.已知,若方程有四个不同的实数根,则的取值范围是(    

    A.(34 B.(24 C[04 D[34

     

    二、填空题

    13.点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有3个,则实数的值为________

    14.二项式的展开式中的常数项为___________.

    15.已知是双曲线C的两个焦点,PC上一点,且,则C的离心率为____________

    16.已知定义在上的奇函数,满足,且当时,,若方程在区间上有四个不同的根,则的值为___________.

     

    三、解答题

    17.已知数列的首项,且满足

    (1)求证:数列为等比数列;

    (2),求数列的前n项和

    18.如图,在四棱锥中,平面,且的中点,点上,且

    (1)证明:平面

    (2)求二面角的正弦值.

    19.某选修课的考试按A级、B级依次进行,只有当A级成绩合格时,才可继续参加B级的考试.已知每级考试允许有一次补考机会,两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书.现某人参加这个选修课的考试,他A级考试成绩合格的概率为B级考试合格的概率为.假设各级考试成绩合格与否均互不影响.

    1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率;

    2)在这个考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求他一共参加3次考试的概率.

    20.椭圆C)的左右焦点分别为,上顶点为A,且

    (1)C的方程;

    (2)若椭圆E),则称EC倍相似椭圆,如图,已知EC3倍相似椭圆,直线l与两椭圆CE交于4点(依次为MNPQ,如图).且,证明:点Tkm)在定曲线上.

    21.已知函数.

    (1)讨论的单调性;

    (2),证明:对于任意恒成立.(参考数据:

    22.数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目,例如,极坐标方程)表示的曲线为心形线,它对称优美,形状接近心目中的爱心图形.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,直线的参数方程为为参数).

    (1)求直线的极坐标方程和心形线的直角坐标方程;

    (2)已知点的极坐标为,若为心形线上的点,直线与心形线交于两点(异于点),求的面积.

    23.已知函数

    (1)时,求不等式的解集;

    (2)若对任意恒成立,求的取值范围.


    参考答案:

    1A

    2B

    3B

    4C

    5D

    6B

    7B

    8D

    9A

    10C

    11A

    12D

    133

    14

    15

    16

    17(1)证明见解析

    (2)

    【解】(1)由,即

    数列为以2为首相,2为公比的等比数列;

    2)由(1)得

    18(1)证明见解析;

    (2)

     

    【分析】(1)在线段上取点,使得,进而证明即可证明结论;

    2)如图,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可;

    【详解】(1)证明:在线段上取点,使得

    所以,在中,,且

    因为在四边形中,

    所以,

    所以,四边形是平行四边形,

    所以

    因为平面平面

    所以平面.

    2)解:如图,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系

    所以,

    因为的中点,点上,且

    所以

    所以,,设平面的一个法向量为

    所以,,即,令

    由题,易知平面的一个法向量为

    所以

    所以

    所以,二面角的正弦值为.

    19.(1.(2

    【分析】设A级第一次考试合格为事件A级补考合格为事件B级第一次考试合格

    为事件B级补考合格为事件.

    1)通过相互独立事件的乘法公式求即可;

    2)设该考生一共参加3次考试为事件C,则,利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式求解即可.

    【详解】解:设A级第一次考试合格为事件A级补考合格为事件B级第一次考试合格

    为事件B级补考合格为事件.

    1)不需要补考就获得合格证书的事件为,注意到相互独立,

    .

    即该考生不需要补考就获得合格证书的概率为.

    2)设该考生一共参加3次考试为事件C,则

    注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

    .

    即该考生一共参加3次考试的概率为.

    【点睛】本题考查互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式,是中档题.

    20(1)

    (2)证明见解析

     

    【分析】对于(1),设,其中.可得,结合,可得.

    对于(2),分别将l与两椭圆方程联立,设,注意到,结合题目条件得,后可证明结论.

    【详解】(1)设,其中.由题意知半焦距

    因为

    所以

    所以

    所以C的方程为

    2)证明:椭圆C3倍相似椭圆E的方程为,即

    联立lC的方程,得,消去y并整理,得

    ,即

    ,由韦达定理有:

    所以

    联立lE的方程,得,消去y并整理,得

    ,即

    ,由韦达定理有:

    所以

    注意到.

    所以线段NPMQ的中点相同,

    所以.又,得.

    所以,即

    化简,得.满足

    所以,即点Tkm)在定双曲线上.

    【点睛】关键点点睛:本题涉及求椭圆方程,及结合椭圆中的新定义解题.

    1)问较为基础,解决(2)关键为发现线段NPMQ的中点相同,继而得到,后由韦达定理可得结论.

    21(1)答案见解析

    (2)证明见解析

     

    【分析】(1)求定义域,求导后,分两种情况分类讨论,得到函数单调性;

    2)放缩后即证对一切恒成立,构造,求导后得到其单调性和极值,最值情况,结合,得到,所以,证明出结论.

    【详解】(1)由题意可得定义域为R.

    时,,则R上单调递增;

    时,由,得,由,得

    上单调递减,在上单调递增.

    综上:当时,R上单调递增;当时,上单调递减,在上单调递增.

    2)证明:因为,且,所以,故

    则要证对于任意恒成立,

    即证对于任意恒成立,

    即证对于任意恒成立,

    即证对一切恒成立.

    ,则.

    时,,当时,

    上单调递增,在上单调递减.

    处取得极大值,也是最大值,

    .

    因为,所以,即,所以

    .对一切恒成立,

    对一切恒成立.

    【点睛】含参不等式的证明,若根据参数范围进行适当放缩,消去参数,这样可以简化不等式结构,便于构造函数进行研究,放缩消参是处理含参不等式的常规技巧,值得学习体会,常用放缩方法有切线放缩,也可结合题干中参数取值范围进行放缩.

    22(1)极坐标方程为

    (2).

     

    【分析】(1)先消去参数得到直线的普通方程,进而得到极坐标方程,由,得到,即求解.

    2)将代入方程得到,进而得到,分别与直线l的极坐标方程联立,求得AB坐标求解.

    【详解】(1)解:消去参数得到直线的普通方程为

    所以极坐标方程为

    也正确)

    ,得,即

    化简得心形线的直角坐标方程为.

    2)将代入方程,得

    .

    .

    23(1)

    (2).

     

    【分析】(1)将绝对值函数表示为分段函数,解不等式即可求解;

    2)根据三角不等式的性质求出的最小值,即可求解.

    【详解】(1)由题知,当时,

    所以

    因为,所以

    解得

    所以不等式的解集为.

    2)因为

    所以

    所以,所以,即

    所以,解得

    所以a的取值范围为.

     

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