2023届辽宁省名校联盟高考模拟调研卷数学（二）含解析

2023届辽宁省名校联盟高考模拟调研卷数学（二）

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

2．已知集合，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再求出，然后再求出即可.

【详解】由题意得，

所以，

因为，

所以.

故选：C.

3．下列函数不是偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性的定义求解.

【详解】对于A项，，定义域为，

所以，所以为偶函数；

对于B项，定义域为，，所以为偶函数；

对于C项，的定义域为，，

所以不是偶函数；

对于D项，的定义域为，，

所以是偶函数.

故选:C.

4．使，的否定为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意知命题的否定为假命题，则命题为真命题，求出真命题成立的情况下的取值范围，再由选项即可判断出充分不必要条件.

【详解】由题使，的否定为假命题，知，为真命题，又，当且仅当时等号成立.所以是为真命题的充要条件，是为真命题的既不充分也不必要条件，是为真命题的既不充分也不必要条件，是为真命题的充分不必要条件.

故选：D.

5．某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（    ）

A．1918 B．11508 C．12708 D．18

【答案】B

【分析】利用分组分配问题的计算方法求解.

【详解】分组方法共有，，三种情况，

所以分配方法共有.

故选:B.

6．石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm，碾滚最外侧正上方为点，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点距碾盘的垂直距离约为（    ）

A．15cm B．cm

C．cm D．45cm

【答案】A

【分析】根据题意求出人推动拉杆绕碾盘转动一周，点所转过的角度进而确定点所在位置，利用角度和半径即可求出点到碾盘的垂直距离.

【详解】由题意碾滚最外侧滚过的距离为，碾滚的周长为，所以碾滚滚过圈，即滚过了，所以点距碾盘的垂直距离为.

故选：A.

7．过圆锥内接正方体（正方体的4个顶点在圆锥的底面，其余顶点在圆锥的侧面）的上底面作一平面，把圆锥截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上底面与下底面的面积比为 ，母线长为，设圆台体积为，正方体的外接球体积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得圆台上底面与下底面的半径比为，表示出正方体棱长，利用解求得，,根据圆台以及球的体积公式，即可求得答案.

【详解】设圆台的上下底面半径为 ，

由圆台上底面与下底面的面积比为，得圆台上底面与下底面的半径比为，

由题意知正方体的棱长为，

如图，设为圆台的一条母线，为正方体的一条棱，

为圆台上下底面的中心，

在中，，，，

即，解得，,

则，

正方体的外接球半径为，故，

所以，

故选：A

8．若，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、、，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】设，，

当时，，

令，则，

所以函数在区间上单调递减，

所以，

又，所以，

所以函数在区间上单调递减，

所以，

故.

故选：B.

【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

（1）判断各个数值所在的区间；

（2）利用函数的单调性直接解答.

数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.

二、多选题

9．设为第一象限角,,则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BD

【分析】首先由题意得是第一象限角,所以,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.

【详解】由题意得,

则,

若在第四象限,则,

所以也是第一象限角,即,,A项错误;

,B项正确;

,C项错误;

,D项正确.

故选:BD.

10．已知函数在处有极值，且极值为8，则（    ）

A．有三个零点

B．

C．曲线在点处的切线方程为

D．函数为奇函数

【答案】AC

【分析】由条件根据极值与导数的关系求，判断B，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定义判断D.

【详解】由题意得，又，又，解得(舍去）或，故B项错误；

，，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

又，，，，

所以有三个零点，故A项正确；

又，，

则曲线在点处的切线方程为，即，故C项正确；

，故D项错误.

故选：AC.

11．已知抛物线的焦点为，直线，过点与圆分别切于，，两点，交于点，和，，则（    ）

A．与没有公共点

B．经过，，三点的圆的方程为

C．

D．

【答案】BCD

【分析】根据圆的方程和抛物线方程联立，得到的解，即可判断选项A中两者有没有公共点；选项B的问题转化为求解以为直径的圆，由和点坐标即可判断；由，可以利用等积法先求的一半，再求来判断C；利用直线和圆相切，求出直线的方程，则分别求出和的长度，即可判断选项D.

【详解】对于A，联立，得，

因为是方程的一个根，所以与有公共点，A项错误；

对于B，连接，，则，，

所以，，，四点在以为直径的圆上，

且，，所以圆的方程为，

化简得，B项正确；

对于C，由题得，

所以，所以，C项正确；

对于D，设过点且与圆相切的切线方程

为，由，解得或.

不妨设，，则，

联立得，

所以，所以，

所以，D项正确.

故选：BCD.

12．设正整数，其中.记，当时，，则（    ）

A．

B．

C．数列为等差数列

D．

【答案】ACD

【分析】分别表示出，，即可求解A，再求出可求解B，利用等差数列的定义可求解C，根据可求解D.

【详解】当时，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，

所以，所以，A项正确；，，B项错误；

当时，，

当时，

，

当时也符合，所以，所以，

所以，

所以数列为等差数列，C项正确；，

，D项正确.

故选:ACD.

三、填空题

13．已知向量，，若，，则______.

【答案】

【分析】根据向量的模求出或，然后结合进行检验即可求解.

【详解】由题意得，，，

所以，

所以，解得或.

当时，，不符合题意；

当时，.所以.

故答案为：.

14．已知随机变量，且，，则______.

【答案】0.15##

【分析】利用正态分布的对称性可求，由此可求.

【详解】由题意知，所以，

所以.

故答案为：0.15.

15．如图①，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到达点处（如图②），，则三棱锥的内切球半径为______.

【答案】

【分析】过点作，且，连接，，证得平面，从而证得平面平面，取的中点，连接，证明平面，然后求得三棱锥的体积和表面积，由体积法求得其内切圆半径．

【详解】如图，过点作，且，连接，，则是平行四边形，由题意可知，，所以，

又，平面，所以平面，

平面，所以，所以，所以.又平面，所以平面平面.

取的中点，连接，则，平面，平面平面，

则平面，且，所以三棱锥的体积.又，，，所以三棱锥的表面积，设三棱锥的内切球半径为，则.

故答案为：．

四、双空题

16．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，线段的垂直平分线交于，两点，交轴于点，为坐标原点，，则的离心率为______；若的周长为8，则______.

【答案】     ##0.5    

【分析】由条件确定关系，结合关系，根据离心率的定义求离心率，

【详解】由，，可得，，

连接，因为点在线段的垂直平分线上，所以，

在中，由勾股定理得，所以，

整理得，所以，即，所以的离心率.

在中，，所以.

设直线交轴于点，交于点，

在中，,，

由，所以为的左焦点，

又，，所以的周长等于的周长，

又的周长为，的周长为8，

所以，

解得，所以，

故.

故答案为：；.

五、解答题

17．记的内角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若的面积为，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先利用三角形内角和将代入，切化弦，再利用二倍角公式化简即可求得角的大小.

（2）根据三角形面积公式计算出的值，再由向量摸的平方及余弦定理即可求出.

【详解】（1）由题得，

所以，又，所以，

所以，，所以，

所以，所以，故.

（2）由题得，所以，又，

所以，故，

由余弦定理得，所以

18．某校有，两个餐厅﹐为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从餐厅随机抽取了67人，从餐厅随机抽取了69人，其中在，餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意.

(1)根据数据列出2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满意度有关联？

(2)学校对大量用餐学生进行了统计﹐得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了餐厅，那么本次到，餐厅的概率分别为，；如果前一次去了餐厅，那么本次到，餐厅的概率均为.求任意一名学生第3次用餐到餐厅的概率.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.

(2)

【分析】(1)提出零假设，列出列联表，计算，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；

(2)先利用全概率公式求出该学生第二次在餐厅就餐的概率，再由对立事件概率公式求第二次在餐厅就餐的概率，再由全概率公式求第三次在. 餐厅就餐的概率.

【详解】（1）零假设为：用餐学生与两家餐厅满意度无关联，依题意列出列联表如下：

，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联.

（2）设事件“第次在餐厅用餐”，事件“第次在餐厅用餐”，其中，

由题意与互斥，且，，；，，

由全概率公式得，

，又，，

由全概率公式得.

19．在数列中，，.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）对变形，代入中化简，由等比数列的概念即可证明；

（2）由（1）得出的通项公式，代入中，整体利用分组求和，分组后差比相乘部分利用错位相减，即可求得的前项和.

【详解】（1）证明：由，得，即，

又，所以，所以数列是以3为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，，

所以，故，

设数列的前项和为，数列的前项和为.

所以数列的前项和，

所以，

，①

，②

由①-②得，

所以，

故数列的前项和.

20．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，点在棱上，，，.

(1)求；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）由题目所给条件证明线线垂直，可得两三角形相似，利用对应边成比例可得出的值.

（2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，分别求出两个平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，再转化成正弦值即可.

【详解】（1）连接，由题意得，

又，，在平面内，所以平面，

又平面，所以，

在和中，因为，所以，

所以，又，所以，

即，所以，则.

（2）直四棱柱中，底面为矩形，所以以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）可得，，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

由取，得，

设平面的法向量为，

由取，可得，

，所以，

故二面角的正弦值为.

21．已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线.

(1)求的标准方程；

(2)直线与交于，两点，点在线段上，点在线段的延长线上，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.

①；②；③是直线与直线的交点.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】(1)设圆心为由外切及内切分别得出圆心距等于半径之和及半径之差，再由双曲线的定义即可得到圆心的轨迹方程.

(2)由三选二作为条件另一个作为结论，逐一选择，与第一问求得的结果联立，得出相应结论.

【详解】（1）设动圆的圆心为，半径为，

则，，所以，

由双曲线定义可知，的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支，

所以，，即，，所以，

所以的标准方程为，.

（2）证明：若①②③：

由题可设直线，，，，，

由直线与交于，两点，所以，

联立得，

所以，，

由，得，即，

由题知，所以，即异于的中点，所以，即，

得，

又，所以，故，化简得，

所以点在直线上，又是上的点，所以③成立.

若①③②：

设，，，，则.

由，，，四点共线，设，，其中且，，

则，，，，

又点在上，所以，

所以，整理得，

又，所以，

同理，所以，

又，，所以，故，，

所以，故，即成立，所以②成立.

若②③①：

由题设，，，，由，得，

又点为线段上一点，点为线段延长线上一点，

所以设，，其中且，

则，，，，

又点在上，所以，所以，

整理得，

同理，

所以，

故，将代入得，

所以故即①成立.

22．已知函数，.

(1)证明：；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求导判断单调性，极值点不好求的时候设出零点，整体代入化简求值.

(2)分和两种情况讨论，当时去掉绝对值符号，判断的符号，

若与轴有交点，交点不能求出设隐零点讨论.

【详解】（1）证明：即证恒成立，

设，，显然在区间内单调递增，

又，，

所以存在唯一，使得，即，.

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，

又，所以，故，

所以，即.

（2）由，得，，

当时，，所以，即，

设，则，且，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，所以，

所以，即成立；

当时，令，，则，

所以在区间内单调递增，

又，，

所以存在唯一，使得，即，

当时，，由，

得，即，

设，则，

所以在区间内单调递减，

所以，解得.

当时，，即，

由，得，

即，设，则，

由得，所以，所以单调递增，

所以，解得，

由，得，

综上，实数的取值范围为.

【点睛】求一个函数的零点不好求时，常用隐零点解决问题；先把设零点，然后代入函数等于零找到的一个等式，题意要求函数的最值里用的另一个表达式，把这个表达式整理成零点的一个表达式代入，得到新的表达式再解决.