2023届内蒙古赤峰市赤峰二中等校高三下学期二轮复习联考（一）数学（理）试题含解析

2023届内蒙古赤峰市赤峰二中等校高三下学期二轮复习联考（一）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】先解绝对值不等式和二次不等式，再求集合交集即可.

【详解】解：解得或，故或，

解不等式得，故，

所以或.

故选：C

2．若，则（    ）

A．1 B． C． D．i

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算可得，然后求出可得答案.

【详解】若，则，

所以，所以.

故选：B.

3．在边长为2的正三角形中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，利用数量积运算求解.

【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：

则设，则，

因为，

所以，解得，即，

则，

所以，

故选：D

4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若，则实数的值为（    ）

A．  B．4 C． 或3 D．－4或4

【答案】D

【分析】由条件可得，然后结合三角函数的定义可得答案.

【详解】因为，所以，

因为的终边过点，所以，解得，

故选：D

5．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所构成的．已知圆台的上、下底面直径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得，圆台，圆锥的高均为，再计算体积即可.

【详解】解：根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图，

所以即为圆台母线与底面所成角，即，

因为圆台的上、下底面直径分别为和

所以，过作，垂足为，则，，

所以，圆台，圆锥的高均为，

所以，该工业部件的体积为.

故选：A

6．若函数同时满足：①；②函数与函数的单调性一致，则称函数为“鲁西西函数”．例如：函数在上单调递减，在上单调递增．同样在上单调递减，在上单调递增．若函数为“鲁西西函数”，则在上的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据“鲁西西函数”，研究函数的单调性即可得的单调性，进而求最值即可.

【详解】解：因为函数为“鲁西西函数”，

所以函数与的单调性一致，

因为，

所以，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，在上单调递增，在上单调递减，

所以，在上的最大值为.

故选：D

7．已知数列的前项和为，，点在曲线上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，进而证明数列是以为首项与公差的等差数列即可求得答案.

【详解】解：由题知，

所以，当时，，解得或（舍），

当时，，，

所以，两式作差得，

整理得：，

因为，所以，

所以，，

所以，数列是以为首项与公差的等差数列，

所以.

故选：A

8．已知直线与拋物线交于A，B两点，若（为坐标原点）的面积为，则（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】D

【分析】根据抛物线过焦点的弦长公式得，再求得原点到直线的距离，根据面积解方程即可.

【详解】解：由题知直线过抛物线的焦点，

所以，联立方程得，显然，

设，则，

所以，

因为原点到直线的距离为，

所以，，解得.

故选：D

9．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面；两条直线都位于上下底面时；两条直线都不在上下底面时计数，再根据古典概型公式求解即可.

【详解】解：当一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面时，共有对异面直线，

当两条直线都位于上下底面时，有对异面直线，

当两条直线都不在上下底面时，有对异面直线，

所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为

故选：B

10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，且在上有5个零点，则（    ）

A．1 B．5 C．9 D．13

【答案】B

【分析】由题知，进而结合题意得，再根据在上有5个零点即可得答案.

【详解】解：因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，

所以，

因为是的一个单调递增区间，

所以，，即，解得，

因为在上有5个零点，作出其草图如图，

所以，由上图可知，，解得  ，

所以，当时，

故选：B

11．已知双曲线的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线与的上支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设双曲线的焦距为，不妨取的一条渐近线为，进而取线段的中点为，结合双曲线的定义，求得，进而结合勾股定理建立关系得，再求离心率即可.

【详解】解：设双曲线的焦距为，则不妨取的一条渐近线为，

则直线的方程为，设垂足为，则易知，，

因为，

所以，由双曲线的定义知，

设线段的中点为，则，

所以，

所以，在中，，即，

所以，化简整理得，

所以，离心率为.

故选：C

12．已知函数的定义域为，为奇函数，且对，恒成立．则以下结论：

①为奇函数；

②；

③；

④．

其中正确的为（    ）

A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④

【答案】C

【分析】根据函数的对称性，得到函数的周期性，再结合其性质依次讨论个命题即可.

【详解】解：因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，即，

所以，

因为对，恒成立，

所以，

所以，即，故函数为偶函数，①错误；

因为函数为奇函数，所以，

因为，所以，，②正确；

因为的图象关于点对称，

所以，即，③正确；

又因为，即函数为周期函数，周期为，

所以，④正确.

综上，正确的有：②③④

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合对称性得函数为偶函数，周期函数，周期为，进而结合周期性与对称性求解.

二、填空题

13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．

【答案】4

【分析】画出不等式组的可行域可得答案.

【详解】如图画出不等式组的可行域，

由可行域可得当直线过A点时最大，

令，得，所以的最大值为.

故答案为：.

14．的展开式中，含的项的系数为______．

【答案】

【分析】的展开式中，含的项有以下两类，第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2；第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，结合组合数即可求解.

【详解】的展开式中，含的项有以下两类：

第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2，即

第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，即

所以的展开式中含的项为，

故含的项的系数为.

故答案为：

15．如图，在正方体中，，若为棱上动点，为线段上的点，且，若与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球表面积为______．

【答案】

【分析】连接，则为与平面所成角的平面角，从而求得，进而求得，而三棱锥的外接球等价于长为宽为高为的长方体的外接球，从而可求得外接球的半径，进而求得表面积.

【详解】

如图，连接

因为平面，

则为与平面所成角的平面角，即，

所以.

因为平面，

所以，又，

所以平面，则

所以，

而，所以，则，

所以.

因为三棱锥的外接球等价于长为宽为高为的长方体的外接球.

所以外接球的直径为长方体的体对角线，即半径，

故三棱锥的外接球表面积为.

故答案为：

16．已知数列的前n项和为，，且，则______．

【答案】

【分析】令，然后由条件可得，然后求出数列的通项公式，然后可算出答案.

【详解】令，

因为，且，

所以，，

所以，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列，

所以，即，

所以，

故答案为：

三、解答题

17．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，，且．

(1)求角的大小；

(2)若的外接圆面积为，求边上的中线长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，从而得到，再逆用和角余弦公式，即可求解；

（2）先求得的外接圆半径，再根据正弦定理求得，最后利用余弦定理即可求解.

【详解】（1）因为，

根据正弦定理可得：，

所以，

所以，

因为，所以.

故.

（2）

如图，取中点，连接，

记的外接圆的半径为，则，解得.

根据正弦定理可得，

因为，所以，即.

根据余弦定理可得：

所以，

故边上的中线长为

18．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面．平面平面，E为的中点，三棱锥的体积为．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）首先证明平面，然后由三棱锥的体积为可求出，然后证明、即可；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，再求出二面角的正弦值.

【详解】（1）由题意可知，平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，因为平面，所以，

同理，由平面平面，可得平面，，

因为，所以平面，

因为三棱锥的体积为，所以，

因为，所以，

因为E为的中点，所以，即，所以，

因为，所以，

因为平面，平面，所以，

因为，平面，

所以平面.

（2）

以原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，所以，

设平面的法向量为，则，

令，则，即，

所以，所以，

所以二面角的正弦值为.

19．某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收．为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．

(1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；

(2)若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于的亩数；

(3)将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于的亩数为，求随机变量的期望．

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】(1)

(2)万亩

(3)1.2亩

【分析】（1）先求出的值，再根据频率分布直方图平均数的计算方法求解；

（2）利用正态分布的对称性求解；

（3）根据求随机变量的期望．

【详解】（1）.

平均亩产量的估计值为:

（吨）.

故平均亩产量的估计值为0.75吨.

（2）由于，所以，

故，

利用正态分布的对称性得.

.

估计亩产量不低于的亩数为（万亩）.

（3）由直方图知亩产量不低于的概率为，

由于亩产量不低于的亩数，

故其期望（亩）.

20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点（异于的左、右顶点）的周长为6，且面积的最大值为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若为直线与椭圆的另一个交点，求内切圆面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，，，进而解方程即可得答案；

（2）根据题意，将问题转化为求解的面积最大值，进而设出方程，，与椭圆方程联立，结合韦达定理，，函数单调性求最值等计算即可.

【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，

因为为椭圆上的动点（异于的左、右顶点）的周长为6，

所以①，

因为面积的最大值为，

所以，由椭圆性质得当为短轴端点时，面积的最大，即②，

因为③，

所以，由①②③解得，

所以，椭圆的标准方程为.

（2）解：设内切圆的半径为，

所以，根据等面积法，

所以，内切圆面积的最大时，的面积最大，

由题知，设，

与椭圆联立方程得，

设，则，

所以，，

令，则，

设，则由对勾函数单调性可知，在上单调递增，

所以，当时，即时，的面积最大，最大值为，此时，

所以，内切圆面积的最大值为

21．已知函数．

(1)求的最小值；

(2)若对，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数研究函数单调性，结合单调性求解最值即可；

（2）根据题意将问题转化为恒成立，进而结合的单调性转化为研究恒成立，再求函数最小值即可.

【详解】（1）函数的定义域为，，

所以，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，函数在处取得极小值，，该极小值也是最小值.

所以，的最小值为.

（2）因为对，恒成立，

所以，即恒成立，

令，

所以，当时，单调递增，

因为

所以，当时，，

恒成立，

当时，由得，即恒成立，

设，

所以，当时，单调递减，当时单调递增，

所以，，

所以，要使恒成立，只需，解得，

因为，由题可知，，

所以，实数的取值范围为

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合函数同构，将问题转化为恒成立，再构造函数求解即可.

22．面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若点，直线与曲线交于A，B两点，且，求直线的普通方程．

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）根据参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化公式互化求解即可；

（2）根据直线参数方程几何意义求解即可.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以消去参数得曲线的普通方程为，，

所以，由得，即，，

所以，曲线的极坐标方程为，.

（2）根据题意，将代入得，

设A，B两点对应的参数分别为，

则

所以，

因为，所以，，

又因为，所以，

所以，

所以，当时，代入得，此时的普通方程，即；

当时，代入得，此时的普通方程，即；

所以，直线的普通方程为或

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，，分、、三种情况讨论求解即可；

（2）直接用绝对值的三角不等式可得答案.

【详解】（1）当时，，

所以当时，，由可得，，所以此时，

当时，，由可得，，所以此时，

当时，，由可得，，所以此时无解，

综上：

所以不等式的解集为，

（2），

当时等号成立，

所以的最小值为.