2023届广西壮族自治区玉林市高三三模考试数学（文）试题含解析

  2023年4月玉林市高三年级教学质量检测

数学（文科）

本试卷分第I卷（选择题共60分）和第II卷（非选择题共90分）．考试时间120分钟，满分150分．

注意事项：

1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核对准考证号、姓名和科目．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

第I卷（选择题，共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z对应的向量为（O为坐标原点），与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为（    ）

A． B．2 C． D．

2．设集合，，则选项正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

3．已知p：且，q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．能使两个不同平面与平行的条件是（    ）

A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面

C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线

5．已知为定义在R上的偶函数，则的解析式可以为（    ）

A．  B．

C．  D．

6．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨逆是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）与地面距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）与地面距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（    ）

A．  B．

C． D．

7．若两个等差数列，的前n项和分别为和，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

9．如图，动点P从点M出发，按照M→D→C→B路径运动，四边形ABCD是边长为2的正方形，弧DM以A为圆心，AD为半径，设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，则函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知函数在处取得最大值，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知是双曲线C：（，）的右焦点，点．若对双曲线C左支上的任意点M，均有成立，则双曲线C的离心率的最大值为（    ）

A． B．5 C． D．6

12．函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ）

A．是偶函数  B．是R上的减函数

C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为

第II卷（共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．函数，若，则________．

14．记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则通项为________．

15．设x，y满足约束条件，则的最小值为________．

16．在正四棱柱中，，，E为中点，P为正四棱柱表面上一点，且，则点P的轨迹的长为________．

三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，△ABC的面积为，求的值．

18．（12分）

为改善学生的就餐环境，提升学生的就餐质量，保证学生的营养摄入，某校每学期都会对全校3000名学生进行食堂满意度测试。己知该校的男女比例为1：2，本学期测试评价结果的等高条形图如下：

（1）填写上面的列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”情况与性别有关；

（2）按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人，再从这5人中随机选出3人交流食堂的问题，求选出的3人中恰好没有男生的概率．

附：，．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点．

（1）求证：平面PAD；

（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

20．（12分）

已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，点P为E上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且，．

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）已知△BCD的三个顶点都在抛物线E上，顶点，△BCD重心恰好是抛物线E的焦点F，求CD所在的直线方程．

21．（12分）

设函数，曲线在点处的切线方程为

（1）求的解析式；

（2）证明：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l的直角坐标方程为，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为k，且实数a，b，c，满足，求证：．

2023年4月玉林市高三年级教学质量检测

数学（文科）参考答案

一．选择题

1．D．

解：设复数z对应的点为，则，

，∴复数z对应的点为，则．

2．B．

解：集合，，

对于A，由并集定义得0不一定是B中元素，故A错误；

对于B，，∴，故B正确；

对于C，由并集定义得B中一定有元素3，不一定有元素0，1，2，故C错误；

对于D，当时，不成立，故D错误．

3．D．解：取，，则，故且不能推出，

取，，可得，但，所以由不能推出且，

所以p是q的既不充分也不必要条件．

4．D．

解：对于A，内有无数条直线与平行，则平面与相交或平行，故A错误；

对于B，，垂直于同一个平面，则平面与相交或平行，故B错误；

对于C，，平行于同一条直线，则平面与相交或平行，故C错误；

对于D，，垂直于同一条直线，则平面与平行，故D正确．

5．A．

解：由于为定义在R上的偶函数，所以，所以，所以是奇函数．在四个选项中，A选项是奇函数，BCD选项都不是奇函数．故选：A．

6．D．

解：由题意得，，

∴，故，∴

7．C．

解：依题意，可设，，又当时，有，，∴，故选：C．

8．B．

解：设收集的48个准确数据为，，…，所以，所以，所以，又，．故选：B．

9．B．

解：根据题意，在区间上，P在曲线MD上运动，此时设，

，在区间上，P在DC上运动，此时y为定值2，

在区间上，P在CB上运动，此时，

分析选项，其图象与B选项对应

10．A．

解：因为，其中，，

当时，取得最大值，即，，所以，，

所以

11．C．

解：设E是双曲线的左焦点，M在左支上，则，

，，

当且仅当E，A，M三点共线时等号成立，

则，，

所以，所以离心率的最大值为，故选：C．

12．C．

解：取，，则，解得，，

则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；

令，，且，则，因为当时，，所以．

则．即，函数是R上的增函数，所以选项B错误；因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，，，．故，在的最小值为-2，所以选项C正确；，即，因为函数是R上的增函数，所以，所以，所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．故选：C．

二．填空题

13．答案为：3．

解：由题得，∴

所以．

14．答案为：．

解：∵，∴，当时，，，

当时，，，两式作差得：，，

不符合上式，所以

15．答案为：．

解：由约束条件作出可行域如图

的几何意义为可行域内动点到定点距离的平方，则的最小值为．

16．答案为：．

解：如图，连接，，又，平面，

因平面，则，

又平面，平面，，则平面．

又平面，则，

如图，过E做平行线，交于F，则F为中点．

连接EF，，过作垂线，交于G．

由题可得，平面，又，则平面，

因平面，则，

又平面，平面，，

则平面，因为平面，则，

因为平面，平面，，

则平面，连接，则点P轨迹为平面与四棱柱的交线，即，

注意到，故，，

则，故，，

则点P的轨迹的长为．

三．解答题

17．解：（1）由已知及正弦定理得（1分）

∵（2分）

∵（3分）

∵∴（4分）

∵∴．（6分）（不写角A范围扣一分）

（2）∵（7分）

∴（8分）

又∵（9分）

∴（10分）

所以，．（12分）

18．解：（1）∵该校的男女比例为1：2，总人数为3000人，

∴该校男生数为，该校女生数为，

其中测试评价满意的男生数为，不满意的男生数为300，

其中测试评价满意的女生数为，不满意的女生数为，

列联表如下：（填写表中数据完全正确给3分，部分正确给1分）

∵，（5分）

∴由独立性检验定义知，有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”与性别有关．（6分）

（2）按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人，

由分层抽样的定义可知，抽取的男生人数为，抽取的女生人数为，（7分）

设男生为A，女生为a，b，c，d，基本事件总数为10个（8分），如下（9分）：

，，，，，，，，，

恰好没有男生的基本事件个数为4个（10分），如下（11分）：，，，，

所以这5人中随机选出3人，恰好没有男生的概率为：．（12分）

19．证明：（1）方法一：

如图，取PB中点E，连接ME，NE．

∵M，N分别是线段AB，PC的中点，∴．

又∵平面PAD，平面PAD，

∴平面PAD，同理得平面PAD．（2分）

又∵，∴平面平面MNE．（3分）

∵平面MNE，∴平面PAD．（4分）

（直接由线线平行得面面平行只给2分）

方法二：取PB中点F，连接AF，NF．

∵M，N分别是线段AB，PC的中点，∴，（1分）

且，，∴且，（2分）

故四边形AMNF为平行四边形，∴（3分）

又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD（4分）

（2）方法一：解：

假设存在，设点N到面DMQ距离为，设点Q到面DMN距离为，

在直角△PDC中，，，

取PD中点S，可证平行四边形ASMN，，

，（6分）

∵，∴△DNM为直角三角形，设，，

，（7分），，（8分）

∵，∴有，；（9分）

在△NDQ中，由余弦定理：

；（10分）

设NQ与面DMN所成角为，，解得，（11分）

故存在，则，即符合题意．（12分）

（2）方法二：∵ABCD为矩形，∴．平面ABCD，∴AP、AB、AD两两垂直．

依次以AB、AD、AP为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，（5分）

则，，，，PC中点，（6分）

∴，．（7分）

设平面DMN的法向量，

则，即，

取，得，，．（8分）

若满足条件的CD上的点Q存在，设，，则．（9分）

设直线NQ与平面DMN所成的角为，

则，（10分）

解得或．已知，则，（11分）

∴．，，，．

故CD上存在点Q，使直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为，且．（12分）

20（1）∵，∴△PFM为等边三角形，（1分）∴，

又，∴，（3分）

设直线l交x轴于N点，则在Rt△MNF中，，（4分）

∴C的方程为．（5分）

（2）设，，由（1）可得焦点（6分）

由重心坐标公式得（7分），（8分）

∴CD中点坐标为，（9分）

将C，D的坐标代入抛物线的方程可得：，

作差整理可得，即直线CD的斜率，（11分）

所以直线CD的方程为，即．（12分）

21．解：（1）因为，（1分），所以，所以，（2分）

又点在切线上，所以，所以，（3分）

所以的解析式为．（4分）

（2）令，，因为所以当时，

所以在区间内单调递减，所以，（5分）

所以等价于．（6分）

我们如果能够证明，即即可证明目标成立．

下面证明：对任意，．

由（1）知，令

则，所以在内单调递增，

又，，所以存在使得．（7分）

当时，即，此时单调递减；

当时，即，此时单调递增；（8分）

由得（9分）

所以．（10分）

令，所以在区间内单调递减，所以，（11分）

所以．综上，对任意，．（12分）

22．（1）由于直线l过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为．（2分）

由曲线C的参数方程为（为参数），

得曲线C的普通方程为，即，（3分）

由，（4分）得C的极坐标方程为．（5分）

（2）由，得（6分）

设点A，B对应的极径分别为，，则，．（8分）

∴．（10分）

23．解：（1）解：，（1分）

①当时，不等式即为，解得，∴；（2分）

②当时，不等式即为，∴；（3分）

③当时，不等式即为，，（4分）

综上，不等式的解集为．（5分）

（2）证明：由绝对值不等式的性质可得：，

∴当时，取最小值4，即，

∴，即，（7分）

∴，

当且仅当时等号成立．（10分）