2023届河南省高三下学期核心模拟卷（中）数学（理）试题（五）含解析

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2023届河南省高三下学期核心模拟卷（中）数学（理）（五）试题 一、单选题1．已知，若，且，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意建立不等式求解即可.【详解】由题意，且，解得，故选：B2．已知是虚数单位，若，，则在复平面内的对应点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】写出的共轭复数，结合复数的乘法运算求出，根据复数的几何意义即可判断.【详解】由，得，所以，故在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查共轭复数、复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题.3．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．【详解】对于A，若，，当时，成立，所以“，”“”，A不满足条件；对于B，，，则，即，所以“，”“”，若，则，不妨取，，，则，所以“，”“”，所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；对于C，若，则，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，所以“，”“”，D不满足条件.故选：B.4．已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解.【详解】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，当时，，，故A正确，C错误.故选：A.5．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．为奇函数 B．在区间上单调递增C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π【答案】C【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，解得，即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；因为，故是函数的一个周期，故D错误.故选：C6．已知实数，函数若，则a的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分和两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，由可得，即，解得；当时，由可得，即，此时方程无解，综上可得，实数的值为.故选：A.7．2023年元旦当天，某微信群中有小郭、小张、小陈、小李和小陆五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个66.66元、1个88.88元、1个99.99元（红包中金额相同视为相同红包），则小郭、小张都抢到红包的不同情况有（    ）A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】C【分析】根据分类加法计数原理及排列、组合计算即可得解.【详解】当小郭、小张都抢到66.66元时，有种；当小郭、小张抢到66.66元和88.88元时，有种；当小郭、小张抢到66.66元和99.99元时，有种；当小郭、小张抢到88.88元和99.99元时，有种.故小郭、小张都抢到红包的不同情况有种.故选：C8．若，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算出，，再根据利用两角差的正弦公式展开计算可得.【详解】因为所以，所以，因为所以，因为，所以，所以.故选：D9．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可.【详解】设四面体的外接球的半径为,则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，则 故，故四面体ABCD外接球的体积为，故选：C10．已知函数，则下列说法错误的是（    ）A．当时，函数不存在极值点B．当时，函数有三个零点C．点是曲线的对称中心D．若是函数的一条切线，则【答案】B【分析】当时，分析函数的单调性，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，此时函数在上单调递增，所以，当时，函数不存在极值点，A对；对于B选项，当时，，，由可得，由可得或，所以，函数的增区间为、，减区间为，函数的极大值为，极小值为，又因为，由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点，当时，，因此，当时，函数有一个零点，B错；对于C选项，对任意的，，所以，点是曲线的对称中心，C对；对于D选项，设是函数的一条切线，设切点坐标为，，由题意可得，①所以，曲线在处的切线方程为，即，则，②联立①②可得，D对.故选：B.11．若的内角A，B，C满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切化弦后，再由正余弦定理化为边的关系，由余弦定理求出，再由均值不等式求最值即可.【详解】，,，由正弦和余弦定理可得，，化简得，，，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选：C12．已知直线l与椭圆相切于点P，与圆交于A，B两点，圆在点A，B处的切线交于点Q，O为坐标原点，则的面积的最大值为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由，，，四点共圆，结合圆与圆的位置关系得出相交弦方程，再由与椭圆相切，可得过的切线方程，从而得出，，再由椭圆的参数方程和向量的运算，结合正弦函数的性质求出最大值．【详解】设，，由，，可得四点，，，共圆，可得以为直径的圆，方程为，联立圆，相减可得的方程为，又与椭圆相切，若不与轴垂直时，当时，可化为，设，在的切线方程为，即，同理可得时，在的切线方程为，若轴时，在点处的切线方程为，满足故过的切线方程为，即为，由两直线重合的条件可得，，由于在椭圆上，可设，，，即有，，可得，且，，即有，当即或或或时，的面积取得最大值．故选：．【点睛】关键点睛：在求面积的最大值时，关键在于利用椭圆的参数方程设出点的坐标，进而结合三角恒等变换以及正弦函数的性质得出面积的最大值. 二、填空题13．已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．【答案】【分析】根据向量运算可得，再由均值不等式求解即可.【详解】，，，，即，由，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：14．已知双曲线的方程为，点、分别在的左支和右支上，则直线斜率的取值范围是_______．【答案】【分析】设点、，则，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，即可求得的取值范围.【详解】设点、，则，则直线的斜率为存在，设直线的方程为，联立可得，所以，，解得.因此，直线的斜率的取值范围是.故答案为：.15．关于正方体有如下说法：①直线与所成的角为；           ②直线与所成的角为；③直线与平面所成的角为；   ④直线与平面ABCD所成的角为．其中正确命题的序号是_______．【答案】①④【分析】由与平行，结合等边三角形的性质判断①；由平行，结合等腰三角形的性质判断②；由平面，平面结合线面角的定义判断③④.【详解】连接，，因为与平行，所以是异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以直线与所成的角为，故①正确；连接交于点，取的中点为，连接，，因为为的中点，所以平行，则或其补角为直线与所成的角，易知，所以，即直线与所成的角为，故②错误；连接，直线交于点，连接，设正方体的棱长为，易知，由线面垂直的判定可知，平面，则为直线与平面所成的角，，，则，即，故③错误；平面，易知为直线与平面所成的角，由，则，故④正确.故答案为：①④.16．设为随机变量，从棱长为的正方体的条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量的数学期望为_______．【答案】【分析】作出图形，分析可知随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.【详解】在棱长为的正方体中，如下图所示：当两条棱相交时，，与每条棱相交的棱有条，即；当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为或，其中，与棱平行且距离为的棱为、，与棱平行且距离为的棱为；当两条棱异面时，，与棱异面的棱为、、、.所以，，，因此，.故答案为：. 三、解答题17．造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：）与树干最大直径偏差y（单位：）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：树苗序号12345678高度偏差x20151332直径偏差y6.53.53.51.50.5 (1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)若这种树苗的平均高度为，树干最大直径平均为，试由（1）的结论预测高度为的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．参考数据：，．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，．【答案】(1)(2)34 【分析】（1）根据最小二乘法公式求出，即可得出线性回归方程；（2）利用回归直线方程代入，求解即可.【详解】（1）,，，，故y关于x的线性回归方程为（2）当树干高度为时，高度偏差(cm)，，所以树干直径约为，即预测高度为的这种树苗的树干最大直径为34毫米.18．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由递推关系可得，由等比数列的定义及通项公式求解；（2）根据等比数列、等差数列的求和公式，利用分组求和即可得解.【详解】（1） ，则，又，是以为首项，为公比的等比数列.，解得.（2）由（1）知，故其前项和为. 数列的前项和为.19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点．(1)若，求证：；(2)若二面角的正弦值为，求PA．【答案】(1)证明见解析；(2)2 【分析】（1）证面PAD，进而得到，再根据等腰三角形的性质得到，可得线面垂直，进而证得线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的夹角的余弦，再由同角三角函数关系求出余弦值，建立方程求解即可.【详解】（1）平面ABCD,CD平面ABCD, 四边形ABCD为矩形，，又平面，面，面，，在中，，E为PD中点，,面，面平面PCD，又平面，（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面BCE的一个法向量为，则，令，解得，，设平面的法向量，又，,则，，令，解得，，设二面角的夹角大小为，则因为，所以，即，解得,即.20．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为．(1)判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由；(2)设焦点F到直线AB的距离为d，求的取值范围．【答案】(1)定值，，理由见解析；(2) 【分析】（1）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；（2）在（1）的基础上用斜率k表达出，换元后使用对勾函数的单调性求出取值范围.【详解】（1）将点代入抛物线方程可得：，所以抛物线；直线AB的斜率是定值，理由如下；设，与抛物线方程联立可得：，∴，因为直线PA，PB的倾斜角互补，用代k可得：因此，，即.（2）由（1）可知，，，因此，到直线AB的距离，所以∵，∴，令，由，得∴在上单调递减，在上单调递增，，当时有最小值，时有最大值，，，即所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于直线与抛物线类的题目解题时注意两点：一是紧扣抛物线的定义，二是设抛物线上点的坐标时，尽量设其中一个坐标，用此坐标的代数式表示另一个坐标，从而减小计算量.21．已知函数．(1)若，讨论的单调性；(2)当，，有两个不同的实数根，证明：．【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）分类讨论，两种情况，结合导数得出的单调性；（2）将有两个不同的实数根转化为，是方程的两个根，利用韦达定理得，进而通过换元，将转化为关于的函数，利用导数研究其最值即可.【详解】（1），.当，即时，，即在上单调递增.当时，若，则；若，则；即函数在，上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.当时，在上单调递增.（2）有两个不同的根，则，是方程的两个根，所以，，所以，，.，令，，在单调递增，所以，令，在上单调递增，，，即.【点睛】关键点睛：对于问题（2），含双变量的问题，关键要通过计算转化为一个变量，利用导数得出单调性，进而证明不等式.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点，且斜率为，以O为极点，曲线C的参数方程为（r为参数）．(1)求直线的一个参数方程以及曲线C的普通方程；(2)设直线与曲线C相交于A，B两点，求．【答案】(1)（为参数），；(2) 【分析】（1）根据直线斜率可得直线倾斜角的正余弦，即可得出直线的参数方程，消参可得曲线C的普通方程；（2）根据直线参数的几何意义，由求解即可.【详解】（1）因为直线l过点，且斜率为，所以，由，解得，，所以直线l的一个参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（r为参数），消参可得.（2）将直线l的参数方程代入中，可得，化简可得，设A，B两点对应参数分别为，则，.23．已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1.【答案】（1）1；（2）见解析．【详解】试题分析:（1）由题意得0,1为f(x＋1)=0两根，解得m的值；（2）根据基本不等式得x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，相加即得结论试题解析：(1)由f(x＋1)≥0得|x|＋|x－1|≤m.∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为∅，不合题意．若m≥1，①当x<0时，得x≥，则≤x<0；②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m，即m≥1恒成立；③当x>1时，得x≤，则1<x≤.综上可知，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为.由题意知，原不等式的解集为[0，1]，∴解得m＝1.(2)证明：∵x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，三式相加，得x2＋y2＋z2＋a2＋b2＋c2≥2ax＋2by＋2cz.由题设及(1)，知x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m＝1，∴2≥2(ax＋by＋cz)，即ax＋by＋cz≤1，得证．