2023届河南省开封高级中学高三下学期核心模拟卷（中）数学（理）试题（二）含解析

2023届河南省开封高级中学高三下学期核心模拟卷（中）数学（理）（二）试题

一、单选题

1．已知复数，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用复数乘法求出复数即可作答.

【详解】依题意，，所以.

故选：D

2．设集合或，若，则的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】B

【分析】先求出，根据，可求得结果.

【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.

故选：B.

3．已知函数且的图象过定点，若抛物线也过点，则抛物线的准线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出函数图象恒过的点，求出抛物线方程即可作答.

【详解】因为对于，当，即时，恒有，

因此函数的图象过定点，而点在抛物线上，

则，解得，

所以抛物线的准线方程为.

故选：B

4．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（    ）

A．3 B．5 C．9 D．17

【答案】C

【分析】根据给定的程序框图，运行程序，依次计算即可作答.

【详解】运行程序，初始值，第一次：，判断成立，，

第二次：，判断成立，，

第三次：，判断不成立，退出循环体，所以输出的值为9.

故选：C

5．若两个向量、的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出、，设向量与的夹角为，其中，利用平面向量向量的数量积运算可得出，即可得出结果.

【详解】由题意，

又由，所以，

所以，

设向量与的夹角为，其中，则，可得.

故选：D.

6．一种高产新品种水稻单株穗粒数和土壤锌含量有关，现整理并收集了6组试验数据，（单位：粒）与土壤锌含量（单位：）得到样本数据，令，并将绘制成如图所示的散点图.若用方程对与的关系进行拟合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对方程两边取对数，写出回归直线方程，再根据散点图的特征分析判断作答.

【详解】因为，，令，则与的回归方程为，

根据散点图可知与正相关，因此，又回归直线的纵截距小于0，即，得，

所以，.

故诜：C

7．展开式中常数项为（    ）

A． B． C．1 D．481

【答案】C

【分析】根据二项式定理直接求解即可.

【详解】解：根据二项式定理，表示个相乘，

所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：

①个中全部选项展开；

②个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开；

③个中有2个选择项，4个选择项展开.

所以，其常数项为：.

故选：C.

8．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；        

②在区间上单调递增；

③在上有4个零点；    

④的值域是.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④

【答案】A

【分析】根据偶函数的定义即可判断①，根据正弦函数以及二次函数的单调性，结合复合函数单调性的判断即可求解②，根据二次方程以及正弦函数的性质即可求解③，结合函数的单调性以及奇偶性即可判断④.

【详解】对于①，，故是偶函数，故①正确，

对于②，当时，，

令，，则，因为在上单调递增，而函数在单调递增，由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，故②正确；

对于③, 当时，由，即或，得，或，或，由①知是偶函数，故当时，得，或，或，，所以在有6个零点，③错误；

对于④，当时， ，

因为，所以当时，，当时，，此时 ，又是偶函数，故值域为，④错误；

故选：A

9．已知是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由具体函数解析式，根据导数与单调性，可得函数的单调性，结合奇函数性质，可得整个定义域上的单调性，化简不等式，可得答案.

【详解】由题意，可知且，

当时，，则，即，

可得，

当时，，

则，即单调递增，

由，则在上单调递增，

易知，则不等式等价于，

可得，解得.

故选：D.

10．已知曲线的方程为，曲线关于点的对称曲线为，若以曲线与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为，则的值为（    ）

A． B．1 C．0或 D．0

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出曲线的方程，再判断原点与曲线的位置关系，结合四边形面积求出弦长作答.

【详解】曲线：是以点为圆心，为半径的圆，

点关于点的对称点，则曲线是以点为圆心，为半径的圆，

圆的方程为，圆与两坐标轴各有两个交点，又圆的圆心在y轴上，则原点必在圆内，

因此圆的内接四边形两条对角线互相垂直，其中一条对角线长为，设另一条对角线长为，

于是，解得，因此圆截x轴所得弦长为，

在中，令得，，即，

从而，解得或，

所以的值为0或.

故选：C

11．在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，当三棱锥的表面积最大时，其内切球的半径是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据和都是正三角形，写出三棱锥的表面积表达式，可得表面积取最大值时，再根据等体积法求得内切圆半径.

【详解】

设三棱锥的表面积为，

则

，

当，即时，表面积最大为.

此时,

过作的垂线，垂足为，连接，

因为和都是正三角形，所以为中点，，

因为平面,所以平面

为三棱锥的高，为三棱锥的高，

设三棱锥的体积为，则

设内切球的半径为，因为，所以，

故选：A.

12．在锐角中，，，则中线的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答.

【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，

锐角中，，即，同理，

于是，解得，又线段为边上的中线，

则，又，于是，

因此，当时，，，

所以中线的取值范围是.

故选：D

二、填空题

13．已知双曲线的一个焦点到直线的距离为，则的离心率为__________.

【答案】##

【分析】求出双曲线焦点，根据条件求出，计算可得双曲线C的离心率.

【详解】由已知得，双曲线的焦点在轴上，且焦点坐标为，不妨取，它到直线的距离为，解得，所以双曲线C的离心率为.

故答案为：

14．已知为锐角，且，则_______．

【答案】

【解析】利用同角三角函数的基本关系可得，再由，利用两角差的余弦公式即可求解.

【详解】由为锐角，且，

所以，

所以

．

故答案为：

【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题．

15．已知实数，满足，且，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据不等式的性质判断与的大小关系是否满足不等式，从而可结合线性规划求目标函数的取值范围.

【详解】实数，满足，且，

若，则，所以，又，所以，

则，即，则，所以与已知矛盾，

故，要满足，则，

即，满足该二元一次不等式的平面区域如下图所示：

设目标函数为，则，故直线的纵截距的取值范围即可得的取值范围，

由可行域可得直线经过时得纵截距的最大值，无最小值，又，所以，故，

所以的取值范围是.

故答案为：.

三、双空题

16．在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________.

【答案】         

【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度．

【详解】因为平面，平面，所以，又，所以，

又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系，

则，设，所以，则

①当在上时，设，因为，所以，故，则

所以；

②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为

由①可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以

即在线段上运动时，，

点的轨迹为线段．

则．

故答案为：；.

四、解答题

17．已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，设，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，证明数列是首项为，公比为的等比数列即可求解；

（2）结合（1）得，再分和两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：由，得，

两式相减，得，

所以，即.

又因为时，，所以，

因为，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

所以.

（2）解：由（1）得，.

当时，，

当时，

综上，

18．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，为线段上一点.

(1)求证：；

(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）由面面垂直性质定理得平面，进而证明平面即可证明结论；

（2）解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴

建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；

解法二：假设存在满足条件的点，过点作于点，连接，进而证明为二面角的平面角，进而结合题意，根据几何关系求解即可.

【详解】（1）证明：连接交于，连接，

因为四边形为正方形，所以，.

因为正方形与矩形所在平面互相垂直，交线为平面，

所以平面，.

又平面，

所以，

又平面，

所以平面，

又平面，

所以.

（2）解：存在满足条件的点.

解法一：因为为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，

所以，，

因为矩形中，

所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴

建立空间直角坐标系，如图.

因为，则，

所以.

易知为平面的法向量，

设，所以.

设平面的法向量，

所以，即，取，得，

又二面角的大小为，

所以，

即，解得.

又因为，所以，即.

解法二：假设存在满足条件的点，过点作于点，连接，

因为为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为平面

所以，

所以为二面角的平面角，

所以.

在中，，

所以，

又在中，，，

所以，

因为，

所以，

所以，在中，，

所以.

19．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢局，谁便赢得全部奖金a元.假设每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.

(1)若，求；

(2)记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件.

【答案】(1)；

(2)（），事件A是小概率事件，理由见解析.

【分析】（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，最后一局必然是甲赢，最多再进行2局，利用独立事件概率求出概率，再求出乙赢得全部奖金的概率作答.

（2）设比赛再继续进行局乙赢得全部奖金，最后一局必然是乙赢，利用独立事件概率求出，并求出函数最小值，再判断作答.

【详解】（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然是甲赢，依题意，最多再进行2局，

当时，甲以赢，，当时，甲以赢，，

因此甲赢的概率为，则乙赢的概率为，

所以.

（2）设比赛再继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然是乙赢，

当时，乙以赢，，当时，乙以赢，，

于是得乙赢得全部奖金的概率，

甲赢得全部奖金的概率，，

，即函数在上单调递增，

则有，因此乙赢的概率最大值为，

所以事件A是小概率事件.

20．已知椭圆过点，直线与交于两点，且线段的中点为为坐标原点，直线的斜率为.

(1)求的标准方程；

(2)已知直线与有两个不同的交点为轴上一点.是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，时，点坐标为；当时，点坐标为

【分析】（1）根据中点弦点差法得，再根据，得，再结合椭圆过点解方程即可得答案；

（2）设中点，假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，进而将问题转化为，，再联立，结合韦达定理讨论，同时成立的情况.

【详解】（1）解：设，则，

所以，由题知直线的斜率.

因为在椭圆上，

所以，

两式相减得，即，

又，

所以，即.

又因为椭圆过点，

所以，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：联立消整理得：.

因为直线与椭圆交于两点，故，解得.

设，则.

设中点，

则，故.

假设存在和点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，故，

所以，解得，故.

又因为，所以，

所以，即，

整理得.

所以，

代入，整理得，即，

所以或，即存在使得是以为顶点的等腰直角三角形.

当时，点坐标为；当时，点坐标为.

此时，是以为直角顶点的等腰直角三角形.

21．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）函数求导，分类讨论通过判断导函数符号，确定函数单调性.

（2）对分类讨论，求得有两个零点时的范围，及的范围，构造函数，研究在上的单调性，可得，又，及的单调性可得结论.

【详解】（1）函数的定义域为，

时，恒成立，所以在上单调递减；

时，令得，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.

时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，即，故没有零点；

③当时，即，

又，

由（1）知在上有一个零点.

又，

由（1）知在有一个零点，

所以在上有两个零点，的取值范围为

不妨设，则，且，

令

，

则，

由于（且仅当等号成立，

所以当时，在单调递减，又，

所以，即，

又，所以，

又由于，且在上单调递增，

所以即.

【点睛】极值点偏移问题是根据极值点的偏移情况，即极值点两侧函数增长速度的差异构造关于其中一个极值点的一元差函数（或比函数），然后通过探究该函数的单调性解决问题。

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

【答案】（1）：，：；（2），此时.

【详解】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.

（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

【解析】坐标系与参数方程.

【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．

23．已知函数.

(1)若的最小值为，求的值；

(2)在（1）的条件下，，，为正实数，且，求证：.

【答案】(1)2；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求解最小值作答.

（2）利用（1）的结论，结合柯西不等式推理作答.

【详解】（1）函数的定义域为R，，当且仅当时取等号，

所以的最小值.

（2）由（1）知，正实数，，满足：

因此

，当且仅当，即时取等号，

所以.