2023届湖南省郴州市高三下学期三模数学试题含解析

2023届湖南省郴州市高三下学期三模数学试题

一、单选题

1．若（其中为虚数单位），则在复平面上所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先利用复数的除法得到，进而得到，再利用复数的几何意义求解.

【详解】解：因为，

所以，

则，

故在复平面上所对应的点在第四象限，

故选：D

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出集合，进而求.

【详解】因为，

所以.

故选：B

3．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.

【详解】，则，

所以，

所以.

故选：C.

4．篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】考虑前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况有只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求得答案.

【详解】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，

由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：

只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，

则概率为，

故选：D

5．已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（    ）

A．30 B．40 C．50 D．60

【答案】C

【分析】根据题意得到圆台的侧面展开图，再确定蚂蚁爬行所经路程的最小值，求解即可.

【详解】圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，

所以，解得：，

将圆台所在的圆锥展开如图所示，且设扇形的圆心为O.

线段就是蚂蚁经过的最短距离，

设，圆心角是，则由题意知 ①， ②，

由①②解得，，，

∴，，则.

故选：C.

6．设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由换底公式得到，，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，再根据对数函数的性质判断、，即可得解.

【详解】因为，，

令，则，

再令，则，所以当时，即在上单调递增，

所以当时，所以，所以，

即在上单调递增，

所以，即，即，即，

因为，所以，所以，

所以，即，

所以.

故选：D

7．已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆的的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意设由椭圆的定义可求出，再由，代入化简即可得出答案.

【详解】因为过作直线与椭圆相交于两点，若且，

设，，

由椭圆的定义知：解得：，

所以，

所以，

则，则，

.

故选：C.

8．已知函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据条件判断函数关于对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.

【详解】，

，

所以函数关于对称，

，

，，

恒成立，则是增函数，

由，则

则，得，

故选：A

二、多选题

9．给出下列命题，其中正确的是（    ）

A．对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大.

B．若随机变量，则

C．若，则

D．已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为，则新的回归方程为

【答案】BCD

【分析】由独立性检验判断选项A，由正态分布的对称性，判断选项B，由二项分布的方差公式，判断选项C，由回归直线方程的求法，判断选项D．

【详解】选项A，对于独立性检验的值越大，说明这两事件具有相关性的把握越大，错误；

选项B，，，正确；

选项C，，则，，正确；

选项D，把代入回归直线方程，得，

剔除两个样本点和后，新的平均数，

又新的回归直线的斜率为，即，则，解得，

则新的回归方程为，正确；

故选：BCD

10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则直线的倾斜角为

B．

C．若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为

D．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为

【答案】BC

【分析】设直线的方程为，，与抛物线方程联立，由根与系数关系得出和，选项ABD均可转化为坐标的计算，代入根与系数关系，即可做出判断，C选项可直接由焦半径公式列方程得出的值，即可做出判断．

【详解】设，，直线的方程为，，

由得，，

则，，

所以，

对于A：

，

即，代入，，

，

解得，

所以直线的斜率，即直线的倾斜角为或，故A错误；

对于B：

，故B正确；

对于C：

若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，即，

则，解得，

所以抛物线的方程为，故C正确；

对于D：

若点到抛物线准线的距离为2，则，

所以抛物线方程为，

连接，过点作轴于点，

则，若直线的斜率，

，

若，

则，，

所以，

因为,由题可知，，

所以，

因为，

所以

综上，最小值为，故D错误；

故选：BC．

11．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称

B．在上有且只有5个极值点

C．在上单调递增

D．的取值范围是

【答案】CD

【分析】根据图象平移得，结合零点个数及正弦型函数的性质可得，进而判断极值点个数判断B、D；代入法判断A，整体法判断C.

【详解】由题设，在上，若，

所以在上有5个零点，则，解得，D正确；

在上，由上分析知：极值点个数可能为5或6个，B错误；

且，故不为0，A错误；

在上，则，故递增，即在上递增，C正确.

故选：CD

12．已知正四棱柱中，，为的中点，为棱上的动点，平面过，，三点，则（    ）

A．平面平面

B．平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形

C．当与A重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为

D．存在点，使得与平面所成角的大小为

【答案】AC

【分析】A选项，证明，从而证明出平面，进而证明面面垂直；B选项，当时，画出平面与正四棱柱表面的交线围成的图形是五边形；C选项，作出与A重合时的平面，求出外接球半径，得到截面面积；D选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的大小.

【详解】因为，为的中点，底面ABCD为正方形，

所以，又因为平面，平面，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，即A正确；

当时，画出平面与正四棱柱表面的交线围成的图形如下图：

其中F在线段上，G在上，BP∥EG，BE∥PF，

可知交线围成的图形为五边形，即B错误；

如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线为，y，z轴，建立空间直角坐标系，

，，，，

设平面ABEF的法向量为，

则有，令，则，

则

球心到平面的距离，

此正四棱柱的外接球半径为，

所以截面半径，则截面积，

即C正确；

设，，

则平面的法向量为，则，

令，则，所以，

设与平面所成角为，

则，

因为在上单调递增，

所以，

所以不存在点，使得与平面所成角的大小为，即D错误.

故选：AC

【点睛】求解直线与平面夹角的取值范围或平面之间夹角的取值范围问题，建立空间直角坐标系可以很好的将抽象的立体几何问题转化为运算问题进行解决.

三、填空题

13．若的展开式中的系数为3，则__________.

【答案】##0.5

【分析】根据二项式展开式通项特征，即可根据得的取值，进而求解.

【详解】由，

则其通项为,

令，则或，

所以，由于，所以，

故答案为：

14．已知点，若过点的直线交圆于两点，则的最小值为__________.

【答案】##

【分析】设为的中点，由垂径定理得出点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，由向量的运算可得，根据圆的性质得出即可得到答案.

【详解】设为的中点，连接，则

所以的轨迹是以为直径的圆，其圆心为，半径

则

由圆的性质可得

所以

故答案为：

15．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________.

【答案】##

【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解．

【详解】如图所示：

依题意得 ，

底面的外接圆半径为，

点到平面的距离为 ，

所以 ，

所以

设球的半径为，所以

则，得

设球的半径为，则，又 得

所以球的表面积为

故答案为：.

16．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】将函数化简成，构造同构函数，分析单调性，转化为即求解研究函数单调性即可解决.

【详解】因为通分得：即：；设

，

函数在单调递增，

恒成立，得：即

设，

易知函数在上单调递增，在上单调递减

故答案为：

四、解答题

17．在中，内角所对的边分别为，已知

(1)求角.

(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理得到，化简得到，计算得到，得到答案.

（2）根据面积公式得到，变换，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（1），

故，

即，，，

故，

，，故，，.

（2），的平分线交于点，故，

由三角形的面积公式可得，

化简得，又，所以，

则，

当且仅当时取等号，故的最小值为.

18．如图，在三棱锥中，侧面底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，记平面与平面的交线.

(1)证明：直线平面.

(2)若在直线上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，结合面面垂直证明线面垂直；

（2）根据体积关系求出边长，建系求出法向量，求出二面角即可.

【详解】（1）证明分别是的中点，,平面,

平面平面

平面，平面平面.

平面平面，平面平面，平面

平面.

平面

（2）是的中位线，

又，当时，

又因为故此时

以为原点，直线为轴，直线

为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

，

令平面的法向量为

则令则

令平面的法向量为

则令则

因为，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

19．“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为，每期利率为，期数为，到期末的本利和为，则其中，称为期末的终值，称为期后终值的现值，即期后的元现在的价值为.

现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案

方案一：一次性付全款25万元；

方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；

(1)已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？

(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）

参考数据：

【答案】(1)购置设备的方案较好

(2)（万元）

【分析】（1）解法1（从终值来考虑），分别求出若全款购置，则25万元10年后的价值和若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值，两者比较即可得出答案.

解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和与购置一次付款25万元相比，即可得出答案.

（2）设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，，由错位相减法即可求出.

【详解】（1）解法1（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值

万元

若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为

（万元）.

因此，付全款较好.

解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为

（万元）

比购置一次付款25万元多，故购置设备的方案较好.

（2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，

记，则

作差可得：

（万元）.

20．已知椭圆方程为，过椭圆的的焦点分别做轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.

(1)求该椭圆的离心率.

(2)若椭圆的顶点恰好是双曲线焦点，椭圆的焦点恰好是双曲线顶点，设椭圆的焦点，双曲线的焦点为与的一个公共点，记，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1） 由题意列式，构造齐次式得，求解即可.

（2）联立的方程点，再求三边应用余弦定理可得，同理得到，计算可得.

【详解】（1）由题意，，又因为，

故，即，解得（舍负）

（2）设椭圆的方程为.

由题意知双曲线的方程为.

联立的方程，解之得.

不失一般性，可设在第一象限，所以点.

.

同理，.

.

.

.

.同理，

因为的离心率为，则.

的离心率为，则

.

又，

所以.

21．chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.

第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取<prompt，answer>数据对，帮助数学模型GPT-3.5更好地理解指令.

第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：，其中，且.

第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.

参考数据：

(1)若已知某单个样本，其真实分布，其预测近似分布，计算该单个样本的交叉熵损失函数Loss值.

(2)绝对值误差MAE也是一种比较常见的损失函数，现已知某阶变量的绝对值误差，，其中，表示变量的阶.若已知某个样本是一个三阶变量的数阵，其真实分布是，现已知其预测分布为，求证：该变量的绝对值误差为定值.

(3)在测试chatGPT时，如果输人问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为，现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据交叉嫡损失函数，将数据代入求值即可；

（2）根据绝对值误差MAE的定义及公式化简证明；

（3）利用条件概率公式及全概率公式求概率.

【详解】（1）由题意，该单个样本的交叉嫡损失函数：.

（2）根据定义，该三阶变量的绝对值误差为.

（3）记事件A：chatGPT中输入的语法无错误；事件B：chatGPT中输入的语法有错误；事件C：chatGPT的回答被采纳.

依题意：，

所以.

22．已知函数.

(1)若在区间上恒成立，求实数的取值范围；

(2)若函数和有公切线，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，用导数法解即可；

（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，

由，化简得到，然后将问题转化为关于的方程有解求解.

【详解】（1）由题意，当时，设，

则，

，

令，得（舍负）

在上单调递减，在上单调递增，

.

根据题意的取值范围为.

（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，

则，

，代入

得.

问题转化为：关于的方程有解，

设，则函数有零点，

，当时，

.

问题转化为：的最小值小于或等于0.

，

设，则

当时，，当时，.

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为.

由知，

故.

设，

则，

故在上单调递增，

当时，，

的最小值等价于.

又函数在上单调递增，

.

【点睛】方法点睛：对于函数与函数有相同的切线问题，一般设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，利用消元法，转化为方程有解求解.