2023届河南省TOP二十名校高三下学期四月冲刺考（一）数学（理）试题含解析

这是一份2023届河南省TOP二十名校高三下学期四月冲刺考（一）数学（理）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省TOP二十名校高三下学期四月冲刺考（一）数学（理）试题 一、单选题1．设集合，，则=（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为，，则．故选:B．2．已知复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】转化为动点到两定点距离相等的几何意义即可得到答案.【详解】设复数在复平面内对应的点分别为,则的几何意义是到的距离和到的距离相等,则在复平面内对应的点满足.故选：D.3．下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质，逐项代入验证作答.【详解】，对于A，当时，，则是曲线的对称轴，A是；对于B，当时，，则不是曲线的对称轴，B不是； 对于C，当时，，则不是曲线的对称轴，C不是；对于D，当时，，则不是曲线的对称轴，D不是.故选：A4．尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（）（    ）A．69 B．71 C．73 D．75【答案】D【分析】代入得，设浓度为7mg/dL时，摄入天数为，则有，通过作差解出即可.【详解】由函数模型，当时,,可得,即①.设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为,则，即②, ②①得，即，则.故选：D.5．计划安排甲、乙两个课外兴趣小组到5处水质监测点进行水样采集，每个兴趣小组采集3处水样，每处水样至少有1个兴趣小组进行采集，则不同的安排方法共有（    ）A．30种 B．32种 C．34种 D．36种【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理与组合数计算.【详解】依题意，每个兴趣小组采集3处水样，每处水样至少有1个兴趣小组进行采集，可分为两步．第一步，甲组进行采样，有（种）方法；第二步，乙组进行采样，有（种）方法．所以共有（种）不同的安排方法．故选：A．6．已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（    ）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】点在C上，代入抛物线方程可得，过点A作l的垂线，垂足为H， l与x轴交于点G，有，所以为中点，可求.【详解】由在上，有，得，所以，， 过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，设l与x轴交于点G，则，有，又，所以为中点，有，．故选：A．7．在正方体中，M，N，P分别为，，的中点，则下列结论中错误的是（    ）A． B．平面平面C． D．平面平面【答案】D【分析】求得与位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项B；求得与位置关系判断选项C；求得平面与平面位置关系判断选项D.【详解】对A，在中，因为，分别为，的中点，所以．又，所以，A正确．对B，在中，因为，分别为，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，平面，平面，所以平面．又因为，平面，所以平面平面，B正确．对C，因为，，所以，C正确．对D，取的中点，连接，，则是二面角的平面角．设正方体棱长为a，则，又，则，所以平面与平面不垂直．又平面平面，所以平面与平面不垂直，D错误．故选：D．8．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答.【详解】依题意，在中，，如图，显然，是锐角，，又函数在上递增，因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径，在中，，所以.故选：D9．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（    ）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】A【分析】由二项分布及其期望计算即可.【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．X所有可能的取值为0，1，2，，n，则，；Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则，，所以获胜的业余棋手总人数的期望，解得．故选：A．10．已知无穷数列满足：如果，那么，且，，，是与的等比中项．若的前n项和存在最大值S，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由是与的等比中项求出，再分情况计算判断作答.【详解】由是与的等比中项，得，若，由及已知，得，由，得，则，因此数列的项依次为：，数列是以4为周期的数列，显然，数列单调递增，无最大项，因此数列的前项和无最大值；若，同理可得数列的项依次为：，数列是以4为周期的数列，，数列是以4为周期的数列，且，此时的前n项和存在最大值，所以的最大值.故选：B11．已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（    ）A．当时，S的最大值为B．当时，S的最大值为C．当时，S的最大值为D．当时，S的最大值为【答案】D【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分和讨论即可.【详解】如图,将圆台补成圆锥.设圆台的母线长为,则,等腰梯形为过两母线的截面.设，由，得,则，当时，，当最大，即截面为轴截面时面积最大，则的最大值为.当时,，当时，截面面积最大，则的最大值为.故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到，然后再分和讨论即可.12．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可知，用作商法比较的大小，由换底公式可得，从而得答案.【详解】解：因为，，所以，则；，因为，所以，则有．故选：C． 二、填空题13．已知向量，，写出一个与垂直的非零向量______．【答案】（答案不唯一）【分析】首先计算，设，利用垂直则数量积为0有，赋值即可.【详解】由题意可知,设,则,取,则,则与垂直的非零向量可以为，故答案为：.14．已知曲线过曲线上两点A，B分别作曲线的切线交于点P，．记A，B两点的横坐标分别为,则______．【答案】【分析】根据导数的几何意义，结合图象及垂直的斜率关系计算即可.【详解】当x>0时，；当x<0时，，根据导数的几何意义结合图象，不妨设，．因为曲线在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，整理得，所以是．故答案为：-115．已知双曲线C：的左顶点为A，P为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1，且A为PQ的三等分点，则C的离心率为______．【答案】【分析】写出直线的方程为，将其分别与双曲线渐近线联立解出的纵坐标，根据为的三等分点，得到关于的方程，最后化为关于的齐次方程，即可得到离心率.【详解】不妨设点在第二象限，直线的方程为，联立，得点的纵坐标;联立，得点的纵坐标.由为的三等分点,可知，则有，整理得,则，则，故的离心率.故答案为：.16．某种平面铰链四杆机构的示意图如图1所示，AC与BD的交点在四边形ABCD的内部．固定杆BC的长度为，旋转杆AB的长度为1，AB可绕着连接点B转动，在转动过程中，伸缩杆AD和CD同时进行伸缩，使得AD和CD的夹角为45°，AD的长度是CD的长度的倍．如图2，若在连接点B，D之间加装一根伸缩杆BD，则伸缩杆BD的长度的最大值为______．【答案】【分析】设，在中，由余弦定理得到，再由正弦定理求得，在中，由余弦定理化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】设，且，在中，由余弦定理得，又由正弦定理得，则，在中，，，则，且，在中，由余弦定理得，所以当时，取最大值1，可得的最大值为9，所以长度的最大值为．故答案为：. 三、解答题17．已知数列，等差数列满足，，．(1)证明：；(2)若为等差数列，求的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设数列的公差为，则有，结合即可求出，再升次作差即可证明.（2）设数列的公差为，由（1）解得，结合求出，再利用等差数列求和公式即可得到答案.【详解】（1）设数列的公差为，由，得，由，得，故,即①递推,得②①②得，故得证.（2）若为等差数列，设公差为，由,可得，则.又，，，的前项和.18．太平洋是地球上岛屿最多的大洋，有大小岛屿2万多个，岛屿面积约占世界岛屿总面积的45%，蕴藏着丰富的动植物资源．为了解太平洋某海域的岛屿上植物种数的生态学规律，随机选择了6个岛屿，搜集并记录了每个岛屿的植物种数（单位：个）和岛屿面积（单位：平方千米），整理得到如下数据：样本号i123456岛屿面积x61525344454植物种数y51015192431并计算得，．(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系．根据表中前4号样本数据，求y关于x的线性回归方程；(2)根据所求的线性回归方程计算第5，6号样本植物种数的预报值，并与相应植物种数的真实值y进行比较．若满足，则可用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数，并估计面积为100平方千米的岛屿上的植物种数；若不满足，请说明理由．参考公式：，．【答案】(1)；(2)不能. 【分析】（1）根据给定数表，求出，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）利用（1）中线性回归方程，按要求计算并判断作答.【详解】（1）依题意，，，，所以所求线性回归方程为.（2）当时，，，当时，，，所以不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数.19．如图，在三棱锥中，．(1)证明：平面平面BCD；(2)若，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）取BD的中点G，连接AG，CG，则有，由，可得，，由线面垂直的判定定理可得平面BCD，即得；（2）设，建立空间坐标系，则有时当时，直线AB与平面ACD所成的角最大，再利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】（1）证明：如图，取BD的中点G，连接AG，CG．因为，所以BG=CG(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)又因为AB=AC，G为BD的中点，所以，所以，又因为AG为公共边，所以，所以，所以，又因为，平面BCD，所以平面BCD，又因为平面ABD，所以平面平面BCD；（2）解：过点C作直线平面BCD，以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，则有，，．设平面ACD的一个法向量为，由得可取，设直线AB与平面ACD所成的角为，则，，当且仅当，即时，等号成立．因为，所以，此时三棱锥体积，故当直线AB与平面ACD所成的角最大时，三棱锥的体积为．20．已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）通过分析得，将其坐标代入椭圆方程，结合面积和的关系即可求出椭圆方程；（2）设直线的斜率为,直线的斜率为,直线的方程为，再将其与椭圆联立得到韦达定理式，通过化简得，最后计算，将上式代入即可证明其为定值.【详解】（1）不妨设点在轴的上方,由椭圆的性质可知.是以为直角顶点的等腰直角三角形,代人,得,整理得.的面积为.故椭圆的方程为.（2）设直线的斜率为,直线的斜率为,直线的方程为.不妨设,则.联立可得,,则,，即，，故得证.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键第一是要找到正切值与直线斜率的关系，再通过设直线的方程为，将与椭圆联立，利用化积为和的方法得到，最后再计算斜率比值为定值，化积为和是处理非对称韦达形式的常用方法.21．已知函数，为的导数．(1)讨论的单调性；(2)若直线与曲线有两个交点，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）设，对求导，分和讨论即可；（2）分离参数得，设，利用导数研究其值域与图像即可.【详解】（1）设的定义域为,.当时,在上为增函数,在上单调递增;当时,令,得.若,则单调递增,若,则单调递减.综上,当时,在上单调递增;当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.（2）直线与曲线有两个交点,即关于的方程有两个解,整理方程,得.令,其中,则.令，则.当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减.由,得时,,则,当时,,则,当时,,则,则函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则.当趋近于时,趋近于0,即当时,;当趋近于0时,趋近于,作出如图所示图象：故要使直线与曲线有两个交点,则需,即的取值范围是.【点睛】关键点睛：第二问的关键是首先将题意转化为方程有两解，再通过分离参数法得，则转化为直线与在图象上有两交点，再利用导数研究的图象与值域即可.22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求，的直角坐标方程；(2)若直线l与交于A，B两点，与交于C，D两点，，且，求．【答案】(1):，:；(2). 【分析】（1）消去参数化曲线的参数方程为普通方程，利用极坐标与直角坐标互化得的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程分别与曲线，的直角坐标方程联立，利用韦达定理结合参数的几何意义求解作答.【详解】（1）消去曲线参数方程中的参数，得的普通方程：，由得，又，则有，所以，的直角坐标方程分别为，.（2）把代人，得，整理得，设点,所对应的参数分别为，则，把代人，得，整理得，设点,所对应的参数分别为，则，，，且，即与的中点重合，因此，于是，而，解得，，所以.23．已知a，b均不为零，且满足．证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据完全平方式有，再利用基本不等式即可证明；（2）根据条件将原式化简为，再利用基本不等式即可证明.【详解】（1），，.根据基本不等式得,当且仅当时,等号成立.整理得,（2），由基本不等式和不等式的性质,得，，故，当且仅当时,等号成立,