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    2023届河南省许济洛平高三第三次质量检测数学(理)试题含解析

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    这是一份2023届河南省许济洛平高三第三次质量检测数学(理)试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2023届河南省许济洛平高三第三次质量检测数学(理)试题 一、单选题1.设全集,集合,则    A BC D【答案】C【分析】根据题意,将集合化简,然后结合集合的运算,即可得到结果.【详解】因为,则因为,则所以,即.故选:C2.已知复数,若为纯虚数,则    A B C D【答案】D【分析】根据题意,由为纯虚数可求得,从而可得结果.【详解】因为为纯虚数,,解得,所以,即.故选:D3.若如图所示的程序框图输出的结果为,则图中空白框中应填入(    ).A B C D【答案】A【分析】根据循环体结构,执行循环体,即可求解.【详解】根据循环体结构可知:当时,执行循环体,此时,时,执行循环体,此时,时,执行循环体,此时,时,不再执行循环体,退出循环,故填故选:A4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字,空气质量指数划分为六档,分别对应轻度污染中度污染重度污染严重污染六个等级.如图是某市21日至14日连续14天的空气质量指数趋势图,则下面说法中正确的是(    ).A.这14天中有5天空气质量为中度污染B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7【答案】B【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A选项:这14天中空气质量为中度污染4日,6日,9日,10日,共4天,A选项错误;B选项:从2日到5日空气质量指数逐渐降低,空气质量越来越好,B选项正确;C选项:这14天中空气质量指数的中位数是C选项错误;D选项:方差表示波动情况,根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日,所以方程最小的是9日到11日,D选项错误;故选:B.5.在某次活动中将5名志愿者全部分配到3个展区提供服务,要求每个展区至少分配一人,每名志愿者只分配到一个展区,则甲乙两名志愿者在同一展区的不同分配方案共有(    A72 B54 C36 D18【答案】C【分析】根据题意,分两步进行,先分组,再分配,再由分步计数原理即可得到结果.【详解】根据题意,分两步进行,5名志愿者分为3组,有两种分组方法,若分组为的三组,且甲乙两名志愿者在同一展区,种方法,若分组为的三组,且甲乙两名志愿者在同一展区,种方法,所以共有种分组方法;再将分好的三组对应3个不同的展区,有种情况;则共有种不同的分配方案.故选:C6.已知抛物线C的焦点为为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点,则    A B C D【答案】D【分析】先应用垂直平分线得到距离相等,计算出坐标后,应用抛物线定义求出到焦点距离即可.【详解】已知抛物线C的焦点为,设线段AF的垂直平分线经过点,所以,即得,因为,所以上式化简得,解得,根据抛物线定义可得.故选:D.7.蒙特卡洛方法是第二次世界大战时期兴起和发展起来的,它的代表人物是冯·诺依曼,这种方法在物理、化学.生物,社会学等领域中都得到了广泛的应用.在概率统计中我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.甲、乙两名选手进行比赛,采用三局两胜制决出胜负.若每局比赛甲获胜的的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用随机模拟的方法估计甲最终赢得比赛的概率,由计算机随机产生之间的随机数,约定出现随机数012时表示一局比赛甲获胜,现产生了20组随机数如下:312  012  311  233  003  342 414  221  041  231  423  332  401  430  014  321  223  040  203  243,则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为(    A0.6 B0.65 C0.7 D0.648【答案】B【分析】根据题意,结合古典概型的概率计算公式,即可得到结果.【详解】根据题意,在20组随机数中,表示甲获胜的有,共13个;则可估计甲选手最终赢得比赛的概率.故选:B8.已知函数的图像如图所示,则ω的值为(    A B C D【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式和辅助角公式将函数化简,然后利用图象过点即可求解.【详解】函数由图象可知函数过点,则所以,解得时,故选:B.9.已知函数,记,则的大小关系为(    ).A BC D【答案】C【分析】根据函数的奇偶性及指数函数的性质判断函数单调性,再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.【详解】所以函数为偶函数,又当时,所以函数上单调递增,因为,且,则所以所以所以故选:C.10.在三棱锥中,是边长为的正三角形,若三棱锥的外接球的表面积为100π,则三棱锥体积的最大值为(    A B C D【答案】B【分析】分别求出外接圆,三棱锥的外接球的半径,再由平面时,三棱锥体积取最大值,从而由公式得出体积.【详解】外接圆的圆心为,三棱锥的外接球的半径为.因为三棱锥的外接球的表面积为100π,所以三角形ABC的外接圆半径为三棱锥体积取最大值时,平面此时,最大值为:.故选:B11.若对任意的,且,则m的取值范围是(    A B C D【答案】D【分析】首先得出,再将整理为,构造函数,其中,当时,,即在单调递减,求出,分析得出减区间,即可得出m的取值范围.【详解】由题可知,因为,且所以,两边同时除以得,,即设函数,其中因为当时,所以单调递减,因为时,,即上单调递增,时,,即上单调递减,所以故选:D12.已知棱长为2的正方体中,MN分别为棱的中点,P为线段上的一个动点,有下述四个结论:直线MN所成的角的余弦值为平面截正方体所得截面的面积为到平面的最大距离为存在点,使得平面则正确结论的个数是A1 B2 C3 D4【答案】A【分析】由题意证得,得到直线所成的角即为直线所成的角,设,在直角中,求得,可判定不正确;根据题意得到平面截正方体所得的截面为矩形,求得截面的面积,可判定错误;连接于点,取的中点,证得平面,得到点到平面的最大距离为,可判定正确;由知,点在平面内,可判定错误.【详解】对于中,如图所示,因为分别为棱的中点,可得所以,则直线所成的角即为直线所成的角,,因为正方体的棱长为可得在直角中,可得,即直线所成角的余弦值为,所以不正确;对于中,如图所示,因为分别为棱的中点,可得延长于点,则平面截正方体所得的截面为矩形可得所以截面的面积为,所以错误;对于中,如图所示,连接于点,取的中点,分别连接因为四边形为正方形,所以又由正方体的性质,可得平面,且平面,所以又因为,所以平面,即平面与平面所成的角为则点到平面的距离为时,,即点到平面的最大距离为又由,所以点到平面的最大距离为,所以正确;对于中,由知,平面截正方体所得的截面为矩形可得点在平面内,所以不存在点使得平面,所以错误.故选:A 二、填空题13.已知向量,若,则______【答案】3【分析】根据,得到,从而求得的值,进而得到的坐标表示,再根据向量的模的计算公式即可求解.【详解】,则,得所以,则所以故答案为:314的展开式中常数项为______(用数字作答).【答案】7【分析】根据题意,可得其展开式的通项公式,再求出常数项即可.【详解】因为则其展开式的通项公式为,则所以其常数项为.故答案为:.15.如图,双曲线E的左、右焦点分别为,过作以为圆心、为半径的圆的切线,切点为T.延长E的左支于P点,若M为线段的中点,且,则E的离心率为______.【答案】【分析】来表示,和双曲线的定义列式子求解即可.【详解】由题意,得解得.故答案为:16.在中,角ABC的对边分别为abc,且的平分线交BCD.当的面积最大时,AD的长为______【答案】【分析】由余弦定理及基本不等式求出的最大值,即可得到面积的最大值,从而求出,再由正弦定理计算即可.【详解】因为,即中,由余弦定理可得所以,且,所以,则,所以当且仅当时,等号成立,此时此时,中,由正弦定理可得故答案为: 三、解答题17.某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况,随机抽查了150名学生,并统计出他们在家的锻炼时长,得到频率分布直方图如图所示.(1)a的值,并估计锻炼时长的平均数(同组数据用该组区间的中点值代替);(2)从锻炼时长分布在的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生,再从这7名学生中随机抽出3人,记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】(1),平均值为(2)分布列见解析, 【分析】1)根据题意结合频率的性质求,进而可求平均数;2)根据分层抽样求各层抽取的人数,结合超几何分布求分布列和期望.【详解】1)由题意可得:,解得样本数据在的频率分别为0.060.100.120.360.240.12则平均值为故估计锻炼时长的平均数.220分钟到60分钟中各组的频率比为所以应抽人,抽取人,抽取人,抽取人.X的所有可能取值为0123X分布列为0123 18.已知等比数列的前项和为(1)求数列的通项公式;(2),求数列的前项和【答案】(1)(2). 【分析】1)根据题意,由的关系,结合等比数列的定义即可求得,从而得到数列的通项公式;2)根据题意,由错位相减法即可得到结果.【详解】1①-②),令为等比数列,则则此时数列的公比为2 ②-①整理得19.如图,正三棱柱中,MN分别为棱BC的中点,PAM上的一点,过P三点的平面交ABAC于点EF(1)证明:平面平面(2)若平面与平面,所成锐二面角大小为,求的值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)先证明线面垂直,再应用面面垂直判定定理证明即可;(2)建系设动点应用空间向量面面角求法计算求解即可. 【详解】1为正三棱柱,平面平面N为正三角形的中点,平面,平面平面平面平面平面2)以M为原点,MB所在直线为x轴,AM所在直线为y轴,MN所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.,由(1)知平面平面的法向量为,则设平面的法向量为,则解得P位于线段AM上靠近点A处.20.已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点,过点的直线l与椭圆C交于PQ两点,直线分别交直线EF两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)见解析 【分析】1)设椭圆C的方程为,由两点得出椭圆C的标准方程;2)联立直线l与椭圆方程,由直线的方程得出坐标,再由韦达定理以及数量积公式,得出的范围,进而得出的最值.【详解】1)设椭圆C的方程为因为椭圆C过点与点,所以,解得.所以椭圆C的标准方程为.2)设直线,得,则.直线的方程分别为.,则.所以.因为,所以.的取值范围为.所以存在最小值,且最小值为.【点睛】关键点睛:解决问题(2)时,关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题,从而由的范围,得出的取值范围.21.已知函数(1)时,求函数在点处的切线方程;(2)时,,求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】1)由导数的几何意义进行求解即可;2)求导后,对进行分类讨论,由函数的单调性和取值情况确定满足题意的的取值范围即可.【详解】1)当时,切点坐标为切线斜率函数在点处的切线方程为,即.2),时,,当时,在区间上单调递增,当时,成立;时,图象的对称轴为在区间上单调递增,i)当时,在区间上单调递增,当时,成立;ii)当时,,使时,区间上单调递减,当时,,不合题意;时,,当时,在区间上单调递减,当时,时,,由解得,使,不合题意.综上所述,实数的取值范围是.【点睛】导数研究不等式问题,常用的方法有:1)参数分离法:将参数分离,通过构造新的函数的值域研究参数的取值范围;2)分类讨论法:对参数的取值范围分情况进行讨论,确定满足题意的参数取值范围;3)放缩法:对原不等式进行放缩,通过证明或者证伪确定参数的取值范围.22.在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(2)设点的直角坐标为,直线与曲线交于两点,求的值.【答案】(1)(2) 【分析】1)利用消参法可得直线的普通方程,再根据直角坐标与极坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程;2)利用直线标准参数方程的几何意义进行求解.【详解】1)由直线的参数方程消去参数可得,即又曲线的极坐标方程为,即,得2)由直线过点,且直线的标准参数方程为为参数),代入曲线,得所以.23.已知函数(1)时,求不等式的解集;(2)的最小值为2,且,求的最小值.【答案】(1)(2)9 【分析】1)根据零点分区间,分类求解即可,2)根据绝对值三角不等关系可得,进而结合基本不等式即可求解.【详解】1)当时,等价于时,,则时,,则时,,则综上所述,不等式的解集为2当且仅当等号成立,,即当且仅当,即,即时,等号成立,的最小值为9 

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