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2023届河南省许济洛平高三第三次质量检测数学(理)试题含解析
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这是一份2023届河南省许济洛平高三第三次质量检测数学(理)试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届河南省许济洛平高三第三次质量检测数学(理)试题 一、单选题1.设全集,集合,,则( )A. B.C. D.【答案】C【分析】根据题意,将集合化简,然后结合集合的运算,即可得到结果.【详解】因为,则,因为,则,所以,即.故选:C2.已知复数,若为纯虚数,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据题意,由为纯虚数可求得,从而可得结果.【详解】因为为纯虚数,则,解得,所以,即.故选:D3.若如图所示的程序框图输出的结果为,则图中空白框中应填入( ).A. B. C. D.【答案】A【分析】根据循环体结构,执行循环体,即可求解.【详解】根据循环体结构可知:当时,执行循环体,此时,,当时,执行循环体,此时,,当时,执行循环体,此时,,当时,不再执行循环体,退出循环,故填,故选:A4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字,空气质量指数划分为、、、、和六档,分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级.如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图,则下面说法中正确的是( ).A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A选项:这14天中空气质量为“中度污染”有4日,6日,9日,10日,共4天,A选项错误;B选项:从2日到5日空气质量指数逐渐降低,空气质量越来越好,B选项正确;C选项:这14天中空气质量指数的中位数是,C选项错误;D选项:方差表示波动情况,根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日,所以方程最小的是9日到11日,D选项错误;故选:B.5.在某次活动中将5名志愿者全部分配到3个展区提供服务,要求每个展区至少分配一人,每名志愿者只分配到一个展区,则甲乙两名志愿者在同一展区的不同分配方案共有( )A.72种 B.54种 C.36种 D.18种【答案】C【分析】根据题意,分两步进行,先分组,再分配,再由分步计数原理即可得到结果.【详解】根据题意,分两步进行,①将5名志愿者分为3组,有两种分组方法,若分组为的三组,且甲乙两名志愿者在同一展区,则种方法,若分组为的三组,且甲乙两名志愿者在同一展区,则种方法,所以共有种分组方法;②再将分好的三组对应3个不同的展区,有种情况;则共有种不同的分配方案.故选:C6.已知抛物线C:的焦点为,为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】先应用垂直平分线得到距离相等,计算出坐标后,应用抛物线定义求出到焦点距离即可.【详解】已知抛物线C:的焦点为,设线段AF的垂直平分线经过点,所以,即得,,因为,所以上式化简得,解得,根据抛物线定义可得.故选:D.7.蒙特卡洛方法是第二次世界大战时期兴起和发展起来的,它的代表人物是冯·诺依曼,这种方法在物理、化学.生物,社会学等领域中都得到了广泛的应用.在概率统计中我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.甲、乙两名选手进行比赛,采用三局两胜制决出胜负.若每局比赛甲获胜的的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用随机模拟的方法估计甲最终赢得比赛的概率,由计算机随机产生之间的随机数,约定出现随机数0、1或2时表示一局比赛甲获胜,现产生了20组随机数如下:312 012 311 233 003 342 414 221 041 231 423 332 401 430 014 321 223 040 203 243,则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为( )A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.648【答案】B【分析】根据题意,结合古典概型的概率计算公式,即可得到结果.【详解】根据题意,在20组随机数中,表示甲获胜的有,共13个;则可估计甲选手最终赢得比赛的概率.故选:B8.已知函数的图像如图所示,则ω的值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式和辅助角公式将函数化简,然后利用图象过点即可求解.【详解】函数,由图象可知函数过点,则,所以,解得,当时,,故选:B.9.已知函数,记,,,则,,的大小关系为( ).A. B.C. D.【答案】C【分析】根据函数的奇偶性及指数函数的性质判断函数单调性,再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.【详解】由,,所以函数为偶函数,又当时,,所以函数在上单调递增,因为,且又,,,,则,又,则,所以,所以,所以,即,故选:C.10.在三棱锥中,是边长为的正三角形,若三棱锥的外接球的表面积为100π,则三棱锥体积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】分别求出外接圆,三棱锥的外接球的半径,再由平面时,三棱锥体积取最大值,从而由公式得出体积.【详解】设外接圆的圆心为,三棱锥的外接球的半径为.因为三棱锥的外接球的表面积为100π,所以,三角形ABC的外接圆半径为,三棱锥体积取最大值时,平面,此时,最大值为:.故选:B11.若对任意的,,且,,则m的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】首先得出,再将整理为,构造函数,其中,当时,,即在,单调递减,求出,分析得出减区间,即可得出m的取值范围.【详解】由题可知,,因为,且,所以,两边同时除以得,,即,设函数,其中,因为当时,,所以在单调递减,因为,令,,当时,,即在上单调递增,当时,,即在上单调递减,所以,故选:D.12.已知棱长为2的正方体中,M,N分别为棱,的中点,P为线段上的一个动点,有下述四个结论:①直线MN与所成的角的余弦值为;②平面截正方体所得截面的面积为;③点到平面的最大距离为;④存在点,使得平面,则正确结论的个数是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】由题意证得,得到直线与所成的角即为直线与所成的角,设,在直角中,求得,可判定①不正确;根据题意得到平面截正方体所得的截面为矩形,求得截面的面积,可判定②错误;连接交于点,取的中点,证得平面,得到点到平面的最大距离为,可判定③正确;由②知,点在平面内,可判定④错误.【详解】对于①中,如图所示,因为分别为棱的中点,可得,所以,则直线与所成的角即为直线与所成的角,设,因为正方体的棱长为,可得,在直角中,可得,即直线与所成角的余弦值为,所以①不正确;对于②中,如图所示,因为分别为棱的中点,可得,延长交于点,则平面截正方体所得的截面为矩形,可得,所以截面的面积为,所以②错误;对于③中,如图所示,连接交于点,取的中点,分别连接,因为四边形为正方形,所以,又由正方体的性质,可得平面,且平面,所以,又因为,所以平面,即平面,设与平面所成的角为,则点到平面的距离为,当时,,即点到平面的最大距离为,又由,所以点到平面的最大距离为,所以③正确;对于④中,由②知,平面截正方体所得的截面为矩形,可得点在平面内,所以不存在点使得平面,所以④错误.故选:A 二、填空题13.已知向量,,若,则______.【答案】3【分析】根据,得到,从而求得的值,进而得到的坐标表示,再根据向量的模的计算公式即可求解.【详解】由,则,得,所以,,则,所以.故答案为:3.14.的展开式中常数项为______(用数字作答).【答案】7【分析】根据题意,可得其展开式的通项公式,再求出常数项即可.【详解】因为则其展开式的通项公式为,令,则,所以其常数项为.故答案为:.15.如图,双曲线E:的左、右焦点分别为,,过作以为圆心、为半径的圆的切线,切点为T.延长交E的左支于P点,若M为线段的中点,且,则E的离心率为______.【答案】【分析】用和来表示,用和双曲线的定义列式子求解即可.【详解】由题意,得,,,,,解得.故答案为:16.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且,的平分线交BC于D.当的面积最大时,AD的长为______.【答案】【分析】由余弦定理及基本不等式求出的最大值,即可得到面积的最大值,从而求出与,再由正弦定理计算即可.【详解】因为,即,在中,由余弦定理可得,所以,且,所以,且,则,所以,当且仅当时,等号成立,此时,此时,,在中,,由正弦定理可得,故答案为: 三、解答题17.某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况,随机抽查了150名学生,并统计出他们在家的锻炼时长,得到频率分布直方图如图所示.(1)求a的值,并估计锻炼时长的平均数(同组数据用该组区间的中点值代替);(2)从锻炼时长分布在,,,的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生,再从这7名学生中随机抽出3人,记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】(1),平均值为(2)分布列见解析, 【分析】(1)根据题意结合频率的性质求,进而可求平均数;(2)根据分层抽样求各层抽取的人数,结合超几何分布求分布列和期望.【详解】(1)由题意可得:,解得,样本数据在,,,,,的频率分别为0.06,0.10,0.12,0.36,0.24,0.12,则平均值为,故估计锻炼时长的平均数.(2)20分钟到60分钟中各组的频率比为,所以应抽人,抽取人,抽取人,抽取人.∴X的所有可能取值为0,1,2,3.,,,,∴X分布列为0123 ∴.18.已知等比数列的前项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2). 【分析】(1)根据题意,由与的关系,结合等比数列的定义即可求得,从而得到数列的通项公式;(2)根据题意,由错位相减法即可得到结果.【详解】(1),①-②得由,(且),令,,.为等比数列,则则此时数列的公比为,,.(2). ① ②②-①得整理得.19.如图,正三棱柱中,,M,N分别为棱BC,的中点,P为AM上的一点,过P,,三点的平面交AB,AC于点E,F.(1)证明:平面平面;(2)若平面与平面,所成锐二面角大小为,求的值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)先证明线面垂直,再应用面面垂直判定定理证明即可;(2)建系设动点应用空间向量面面角求法计算求解即可. 【详解】(1)∵为正三棱柱,∴平面又平面,∴.又N为正三角形边的中点,∴,平面,平面∴平面.平面.∴平面平面.(2)以M为原点,MB所在直线为x轴,AM所在直线为y轴,MN所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.,由(1)知平面,平面的法向量为.设,则,∴∵,∴,∴,∴∴,.设平面的法向量为令,则,,∴.∴解得.点P位于线段AM上靠近点A的处.20.已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点,过点的直线l与椭圆C交于P,Q两点,直线,分别交直线于E,F两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)见解析 【分析】(1)设椭圆C的方程为,由两点得出椭圆C的标准方程;(2)联立直线l与椭圆方程,由直线的方程得出坐标,再由韦达定理以及数量积公式,得出的范围,进而得出的最值.【详解】(1)设椭圆C的方程为且,因为椭圆C过点与点,所以,解得.所以椭圆C的标准方程为.(2)设直线,由,得,即,则.直线的方程分别为.令,则.则,,所以.因为,所以.即的取值范围为.所以存在最小值,且最小值为.【点睛】关键点睛:解决问题(2)时,关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题,从而由的范围,得出的取值范围.21.已知函数,.(1)当时,求函数在点处的切线方程;(2)当时,,求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由导数的几何意义进行求解即可;(2)求导后,对进行分类讨论,由函数的单调性和取值情况确定满足题意的的取值范围即可.【详解】(1)当时,,∴,∴切点坐标为,又∵,∴切线斜率,∴函数在点处的切线方程为,即.(2)(),令,①当时,,当时,,∴在区间上单调递增,当时,成立;②当时,图象的对称轴为,∴在区间上单调递增,,i)当时,,,,∴,∴在区间上单调递增,当时,成立;ii)当时,,,使,当时,,∴,∴区间上单调递减,当时,,不合题意;③当时,令,,则,当时,,∴在区间上单调递减,当时,,∴当时,∴令,由解得,,即,使,不合题意.综上所述,实数的取值范围是.【点睛】导数研究不等式问题,常用的方法有:(1)参数分离法:将参数分离,通过构造新的函数的值域研究参数的取值范围;(2)分类讨论法:对参数的取值范围分情况进行讨论,确定满足题意的参数取值范围;(3)放缩法:对原不等式进行放缩,通过证明或者证伪确定参数的取值范围.22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(2)设点的直角坐标为,直线与曲线交于,两点,求的值.【答案】(1);(2) 【分析】(1)利用消参法可得直线的普通方程,再根据直角坐标与极坐标的转化公式可得曲线的直角坐标方程;(2)利用直线标准参数方程的几何意义进行求解.【详解】(1)由直线的参数方程,消去参数可得,即;又曲线的极坐标方程为,即,由,得,即;(2)由直线过点,且直线的标准参数方程为(为参数),代入曲线,得,即,则,,所以.23.已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的最小值为2,且,求的最小值.【答案】(1)(2)9 【分析】(1)根据零点分区间,分类求解即可,(2)根据绝对值三角不等关系可得,进而结合基本不等式即可求解.【详解】(1)当时,等价于,当时,,则,当时,,则,当时,,则,综上所述,不等式的解集为.(2),当且仅当等号成立,,即,,,,当且仅当,即,即,时,等号成立,故的最小值为9
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