2023届湖北省十七所重点中学高三下学期2月第一次联考数学试题含解析

这是一份2023届湖北省十七所重点中学高三下学期2月第一次联考数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖北省十七所重点中学高三下学期2月第一次联考数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再由交集的定义即可得出答案.【详解】因为，.故选：C.2．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的诱导公式即可求得.【详解】由题意得：,,,故选：B3．函数的导函数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.【详解】依题知，，即，由求导公式：，复合函数的求导法则：设，则得：，故选：D.4．设复数满足，则的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过解方程组求得，进而求得的虚部.【详解】依题意，，两式相加并化简得，所以，，两边乘以得，所以的虚部为.故选：C5．某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为、下底面半径为、高为的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆台的体积公式求得正确答案.【详解】水桶的体积为，水的上底面半径为，水的体积为，所以水的体积约占水桶总体积的.故选：B6．已知平面非零向量满足，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．【详解】设非零向量，的夹角为.，所以，由两边平方得：，，，即，即，，，即当时，取得最小值，最小值为8.故选：C．7．设集合，则集合S的元素个数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由每个，在中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】对每个，在中的从属关系有以下101种：（1），（2），（3），…（101）．由分步乘法计数原理，集合S中共个元素．故选：D8．设随机变量，当正整数n很大，p很小，不大时，X的分布接近泊松分布，即．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知…）（    ）A．100 B．101 C．102 D．103【答案】D【分析】结合题意记随机变量X为购买a个元件后的次品数．，记，分别计算，求解即可得出答案.【详解】记随机变量X为购买a个元件后的次品数．由题意，此时X可看成泊松分布．则，记，则．由于t很小，故大致有．分别计算，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故，即．故选：D. 二、多选题9．已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】用与的关系，计算判断A和B；按的奇偶求出，再结合递增的正整数列推出判断C；按给定条件求出数列的通项，再结合递增的正整数列求出判断D作答.【详解】对于A，时，，当时，满足，而且时，，则为等差数列，A正确；对于B，，当时，不满足上式，得，因此数列不是等差数列，B错误；对于C，，即为隔项等差数列，且是递增的正整数列，则，，，且，有，即，于是，，因此，所以为等差数列，C正确；对于D，，，，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，从到中间恰有项：，它们是递增的正整数，而到中间有个递增的正整数，无法一一对应，若，则会出现如：2，4，5，8，9，10，11，16…的数列，非等差数列，D错误.故选：AC10．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及进行求解.【详解】设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，即.因为，所以.设，，所以当时，为减函数；因为，，所以.由可得，所以，故B正确.设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，所以，即..设，易知为增函数，由可得，故C正确.因为为单调递减函数，在上是增函数，在上是减函数，且的图象经过图象的最高点，所以当时，的大小无法得出，故A不正确.令，则，得，易知在为增函数，所以，所以不成立，故D不正确.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如，等.11．已知．点分别在上．则（    ）A．的最大值为9 B．的最小值为C．若平行于x轴，则的最小值为 D．若平行于y轴，则的最大值为【答案】AB【分析】根据圆心距和两圆的位置关系可得选项AB正确；将沿轴方向向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，可求得的最小值为，同理可得的最大值为，即CD错误.【详解】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径，的圆心为，半径，所以,两圆相离；，两圆内含.对于选项A：，当且仅当四点共线时取到等号，故A正确；对于B：因为，所以两圆内含，则，当且仅当四点共线时取到等号，故B正确．对于C：试想一个将向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，如下图所示：当平移到（图中虚线位置）时与相切，此时，易知，所以，所以，故C错误；同理如下图所示：当平移到（图中虚线位置）时与相切，作垂直于轴，，所以，所以，，所以，即的最大值为，可得D错误.故选：AB12．已知正方体的边长为2，点P，Q分别在正方形的内切圆，正方形的外接圆上运动，则（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、模的坐标表示公式、夹角公式逐一判断即可.【详解】以A为原点，为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．设点，，，，A：，故正确．B：，记，，故正确；C：取的中点M，穿过一侧的外接圆，取的中点，则不穿过，故必存在点P，使得经过外接圆，设公共点为Q，此时共线，故不正确；D：假设成立，则恒成立，取，则，即，故不正确．故选：AB.【点睛】关键点睛：建立空间直角系，利用空间向量数量积、模的坐标表示公式进行求解是解题的关键. 三、填空题13．已知多项式满足对任意，则_________（用数字作答）．【答案】1【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简后可得即可求解.【详解】解：由题意得：，由可知：.故答案为：114．冰雹猜想是指：一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列满足递推式请写出一个满足条件的首项，使得，而_____________．【答案】12或13（写出一个即可）【分析】由递推公式，结合及条件，依次逆推出即可.【详解】因为，所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；所以若为偶数，则，若为奇数，则与已知矛盾；故；所以若为偶数，则，若为奇数，则；故或；余下推导用图表示可得：    故答案为：12或13（写出一个即可）.15．设实数，不等式对任意实数恒成立，则a的取值范围为__________．【答案】【分析】分析可知令，得，证明对任意的，不等式恒成立即可，构造函数，结合导数却定函数单调性分段证名即可.【详解】解：令，得．下证：对任意的，不等式恒成立．令①当时，单调递减，所以令，则，则只需证明在上恒成立由，可知单调递增，且，故在上单调递减，在上单调递增，所以成立；②当时，，单调递减，由①可知在上单调递减，所以成立．综上，得证．故答案为：.16．设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则_______．【答案】【分析】根据题意，作图，计算得，，再设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，得到，进而得到直线的方程，再得到点，利用，得到点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案.【详解】由点A在椭圆C上，且，设点，且，，则，同理，设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知，，，解得，，得．可得直线．进而可得，由，可得，设中点为M，则．，点差法的结论，证明如下：设，，，为中点，故，两式作差得，，又由，，可整理得，，最后化简得，，进而得到，，得．因为，所以，联立，解得，所以，故，解得．故答案为：． 四、解答题17．如图，在正三棱柱中，点D为线段的中点，侧面的面积为．(1)若证明：；(2)求三棱柱的体积与表面积之比的最大值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点H，连接，证明得到平面，得到证明.（2）计算，，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）取中点H，连接，，，则．平面，平面，故，，，平面，故平面，平面，故．又，平面，故平面．而平面，故．（2）设，表面积，体积．，当且仅当等号成立．18．为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6… 经计算得：．(1)利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．附：y关于x的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【答案】(1)(2)（ⅰ）前者斜率小于后者，证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用题中所给数据结合最小二乘法即可得解；（2）（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为，分别求出，再结合相关系数的公式与性质即可得出结论；（ⅱ）根据两直线均过样本中心点结合（ⅰ）中结论即可得出答案.【详解】（1）解：,，故回归方程为；（2）解：（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为，x关于y的线性回归方程为，则，为与的相关系数，又，故，即，下证：，若，则，即恒成立，代入表格中的一组数据得：，矛盾，故，即前者斜率小于后者；（ⅱ）注意到，两直线都过，且，故公共点仅有．19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的最小值；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得的最小值.（2）结合正弦定理、基本不等式求得，进而证得.【详解】（1）由余弦定理，，当且仅当，即时等号成立．（2）方法一：当时，．当时，设线段的中垂线交于点D．．在中，由正弦定理，．，当且仅当时等号成立.故，由（1）．故．则．方法二：由正弦定理，．由二倍角公式，．而，故，当且仅当时第一个等号成立.由（1），故．则．20．设点A为双曲线的左顶点,直线l经过点,与C交于不与点A重合的两点P,Q．(1)求直线的斜率之和;(2)设在射线上的点R满足,求直线的斜率的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）平移，利用齐次化的方法求解（2）利用平面几何知识，将几何问题转化为，求出的坐标，最后直线的斜率用的斜率表示，即可求解【详解】（1）由题知.由于平移不改变斜率,作平移变换.则点的坐标变为,点的坐标变为双曲线方程变为,即①设点与点连线的斜率为,则.①式两边同除以,得,即②由题知,直线PQ不过点,所以设直线因为直线PQ过点,所以,即,所以所以,代入(2)得方程的两根即为AP,AQ的斜率,由韦达定理所以直线AP,AQ的斜率之和为（2）(2)设AP斜率为斜率为联立,得.联立,得.由可知,AP为外接圆的切线,且设所以即,即当时取等所以,直线PR的斜率的最大值为【点睛】关键点点睛：本题的关键是条件的等价转化，需要运用初中学习的弦切角定理.另外就是对含有，这个式子的处理，运算量很大，分子展开后还需要因式分解，最终转化为的二次函数问题.21．已知数列满足：①对任意质数p和自然数n，都；②对任意互质的正整数对，都有．(1)写出的前6项，观察并直接写出与能整除n的正整数的个数的关系；(2)设数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)的前6项分别为1，2，2，3，2，4；的大小与能整除n的自然数个数相同．(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意赋值可得的前6项，然后根据前6项的值即可得出结论；（2）方法一：由（1）得出，然后分和两种情况进行证明即可；方法二：设，利用不等式的放缩即可求解.【详解】（1）令，则；令，则；令，则；令，则；令，则；令，所以，所以的前6项分别为1，2，2，3，2，4．观察归纳可知，的大小与能整除n的自然数个数相同．（2）方法一：由（1），因为大于小于n的数不被n整除，故当为偶数时，．为奇数时，，得证．方法二：设．先说明．中为的项数恰为的正整数解数，故．再证．时，成立；时，．22．已知直线l与曲线相切于点．证明：(1)l与曲线恰存在两个公共点 ；(2) ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）将原函数与切线方程作差构造函数，证明该函数有2个零点即可；（2）将原问题转化为均值不等式，利用（1）所构造的函数特性求解.【详解】（1） ，所以在 处的切线方程为 ，令，则原问题转化为 存在2个零点： ，并且 ， 令，则 ，显然 在递增，递减， ， ， ，故存在唯一的，使得 在递减，递增，递减，并且 ， ，  ， ， ，下面证明 ：令 ，则 ， ，则 ，由于 ，即 ，考察函数 ，则 ，当 时单调递减，  时单调递增， ，并且当 时，  ，  的图像大致如下图：下面证明极值点偏移问题：令  ， ， ， ， 是减函数， ， ，即 ， ，由于 ， 的大致图像如下图：故存在 ，并且只有当 时，，当 时  ；（2）先证明 ，即 ，由（1）的结论知，只需证明，即，即 ，整理，只需 ，令，即证 ，即， 在递增 ，得证．由均值不等式： ，故．【点睛】本题难度很大，先要将公共点问题转化为零点问题，在判断 的符号的时候需要用到极值点偏移的知识，在草图上画出 的图像，在判断出 的图像，并且只有当 时， 才大于零这个图形特征，才能在第二问中运用基本不等式.