2022届安徽省滁州市凤阳县临淮中学高三下学期三模数学（文）试题含解析

这是一份2022届安徽省滁州市凤阳县临淮中学高三下学期三模数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解出集合，则得到其补集，再根据交集的含义即可得到答案.
【详解】或，
，
又因为，，
故选：C.
2．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得到结论.
详解：，
，
在复平面内所对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．已知函数若对恒成立.则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用数形结合的方式， 可知当时，成立条件为；当时，可知临界状态为相切，利用过曲线外一点曲线切线斜率的求解方法可得临界状态的斜率，进而得到的取值范围.
【详解】在平面直角坐标系中作出图象，
直线过点，
由图可知：当时，成立的条件是，
当时，的临界状态是相切，
设切点，，
则，解得：，此时，
综上所述：若对恒成立，则.
故选：.
【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到过曲线外一点曲线切线的求解问题；关键是能够通过数形结合的方式确定临界状态.
4．已知是无穷数列的前n项和，其中数列满足，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由时，得到，当为正奇数，得到；得到充分性成立；反之：分别令和，可判定必要性不成立，即可求解.
【详解】由题意，数列是公差为的等差数列，
若
当时，即，
若为正奇数，则；
若为正偶数，则，
故当时，存在为正奇数，即满足，故充分性成立；
反之：由数列是公差为的等差数列，令，则中的项分别为1，－2，3，－4，5，－6，…．令，则中的项分别为－1，2，－3，4，－5，6，…，观察可知，必要性不成立，
综上，“”是“，”的充分不必要条件.
故选：A．
5．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年多加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表,针对该校"选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法不正确的是（ ）
A．获得A等级的人数增加了B．获得B等级的人数增加了1.5倍
C．获得D等级的人数减少了D．获得E等级的人数增加了1倍
【答案】C
【分析】根据扇形图和直方图，利用频率与样本容量的关系计算出这两年的A、B、C、D、E五个等级的人数情况，即可得答案.
【详解】由题可知：设2016年参加选择考的总人数为：a人；
则2018年参加选择考的总人数为：2a人；
2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：
A：0.28a、B：0.32a、C：0.30a、D：0.08a、E：0.02a；
2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.48a、B：0.80a、C：0.56a、D：0.12a、E：0.04a,
故获得A等级的人数增加了，A判断正确；
，即获得B等级的人数增加了1.5倍，B判断正确；
，即获得D等级的人数增加了，故C判断错误；
，即获得E等级的人数增加了1倍，D判断正确，
故选：C
6．某中学有6名同学参加了2018年的自主招生考试，他们的数学成绩与物理成绩如下表：
数据表明与之间有较强的线性关系，用最小二乘法估计表格中缺少的物理成绩大约为（ ）
{参考公式：回归直线方程的系数}A．80分B．82分C．84分D．86分
【答案】B
【分析】根据公式计算，，然后代入可得结果.
【详解】由题意可知，前5名同学两门课程的平均成绩分别为，
所以
所以．
则，所以回归直线方程为．
将代入上述方程，得，
所以缺少的物理成绩大约为82分．
故选：B
【点睛】本题考查最小二乘法的应用，关键在于掌握公式，计算，，考验计算能力，属基础题.
7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A．7B．8C．9D．11
【答案】C
【解析】模拟程序框图运行即得解.
【详解】第一次运行时，； 第二次运行时，；
第三次运行时，；第四次运行时，；
此时刚好不满足，故输出，
故选C
【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先将化简为，由在区间上恰好取得一次最大值，有，在区间上是增函数，可得，从而得出答案.
【详解】，.
令可得，在区间上恰好取得一次最大值，解得.
令，解得：，在区间上是增函数，
，解得.综上，.
故选：B.
【点睛】本题考查利用三角函数的单调性和最值情况求参数范围，考查了分析解决问题的能力，属于中档题.
9．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图都是直角梯形，左视图是正方形， 则该几何体最长的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先确定该几何体的空间结构，然后分别求得各条棱的长度，最后确定最长的棱长即可.
【详解】解：如图所示，在棱长为4的正方体中，点E为棱AD的中点，
题中的三视图对应的几何体为三棱锥，
其中，，，
则该几何体最长的棱长为.
故选：D.
10．为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可
【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，
所以每所高校共有种选择，
所以甲、乙两所高校共有种选择，
其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有种，
所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为，
故选：D
11．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出给定的各函数的导数，再根据给定条件确定，，的值或所属区间即可得解.
【详解】由得，解方程，即，得，即；
由得，解方程，即，令，显然在单调递增，
，则存在，使得，即；
由得，解方程，即，得，即，
所以.
故选：B
12．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的焦点为，设两曲线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，由，，可得，由椭圆、抛物线焦半径公式可得，整理可得答案.
【详解】由题意可知，则抛物线的方程为，
设不妨设在第一象限，且有数量积的投影可知，则，
由椭圆的焦半径公式可知，
由抛物线的定义，
则，
所以，即，
解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆、抛物线的性质，运用焦半径公式计算使得解题过程简化，属于中档题.
二、填空题
13．设平面向量，若，则__________.
【答案】
【分析】由两向量共线，可求的值，在利用向量的模长公式即可．
【详解】解：，则，解得，
从而3 ，
.
故答案为：．
14．设不等式组所表示的区域为，函数的图像与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内概率为 ．
【答案】##
【分析】作出不等式组表示的平面区域并求出其面积，再利用定积分求出区域的平面，然后利用几何概型计算作答.
【详解】画出不等式组表示的区域，如图中及内部，其中，
因此区域的面积，
由定积分的意义得区域的面积，
所以该点落在内概率为
故答案为：
15．定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______.
【答案】1
【分析】根据线周期函数定义，建立方程，然后利用对比法进行求解即可．
【详解】若为线周期函数
则满足对任意，恒成立
即，
即
则
本题正确结果：
【点睛】本题主要考查函数周期的应用，新定义问题.结合新定义线周期函数，建立方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
16．在中，已知，，D是斜边上任意一点，如图沿直线将折成直二面角.若折叠后A，B两点间的距离为d，则d的最小值为___________.
【答案】
【分析】由题意可知，变量为的大小，所以设，折成直二面角后，根据面面垂直的性质，作垂直于交线的线，则垂直于平面，从而将线段放在直角三角形中，根据勾股定理，写出关于的表达式，即可求出最小值
【详解】
如图1所示，设，，则，
过作于，过作交的延长线于，
所以，，，，
所以，
所以如图2所示，因为二面角为直二面角，交线为 ，
平面，所以平面，
因为平面，所以,三角形为直角三角形，
根据勾股定理，
可知当，即当为的角平分线时，取得最小值
故答案为：
三、解答题
17．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
（1）求频率分布表中n，p的值，完善频率分布直方图并估计该组数据的中位数保留l位小数；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．
【答案】（1）n=35人，p=0.30,中位数为，详见解析 （2）
【分析】（1）根据频率，频数的关系以即可求出答案；利用中位数将频率分布直方图面积等分求解．
（2）利用分层抽样得抽取的各组人数，根据古典概型概率公式得到结果．
【详解】
解：（1）由题意可知，第2组的频数人，
第3组的频率；
第一、二两组的频率和为，
第三组的频率为，
所以中位数落在第三组．
设中位数距离170为x，则，解得，
故笔试成绩的中位数为；
（2）第3、4、5组共有60名学生，
利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，
试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有种，
满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有种结果，
至少有一位同学入选的概率为．
【点睛】本题考查的知识点是频率分布直方图，考查古典概型，熟练掌握频率，矩形的高等常用公式及利用直方图计算平均数、中位数的方法是解答的关键．
18．已知等差数列的，．
(1)求的通项公式；
(2)令，求的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，所以；
（2）由（1）可得，，即数列以2为首项，2为公比的等比数列，
所以数列的前n项和.
19．如图，在正三棱锥中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）延长交于点，然后以点为坐标原点，与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，计算出平面的法向量，证明出，即可证得结论成立；
（2）设正三棱锥的外接球球心为，根据可求得的值，即可求得外接球的半径，结合球体的体积公式可求得结果.
【详解】（1）证明：延长交于点
因为平面，所以即为直线与底面所成的角，
从而，所以.
因为，则，，.
以点为坐标原点，与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，
由得，取，则，，即，
所以，即，所以平面；
（2）由题意知三棱锥为正三棱锥，设其外接球的球心为，
由，得，解得，
所以外接球的半径，所以外接球的体积.
20．已知抛物线C：（p＞0），抛物线C的焦点为F，点P在抛物线上，且的最小值为1．
(1)求p；
(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为，，且满足，求｜AB｜的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由于，即可求得，从而得；
（2）设，由得，设直线方程为，代入抛物线方程结合韦达定理得出，从而过焦点，即可求解的取值范围．
【详解】（1）因为，则，所以；
（2）由（1）得，设，则
则，由得，所以，
设直线方程为
联立方程组得，所以则
故过焦点
所以．
21．已知函数.
(1)若，求的值域；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据给定条件利用导数求出函数在上的最大值与最小值作答.
(2)根据给定不等式可得1是函数的极小值点，由此求出a值，再验证作答.
【详解】（1）函数，求导得：，
时，当时，，当时，，
因此，在上递减，在上递增，，而，，则，
所以，的值域为.
（2）依题意，成立，
则设，，
求导得：，
而在内，且，因此，，则1为的极值点，
于是有，即，解得或，
当时，，
设，
则，
在内，为减函数，在内，为增函数，
于是得，则，从而有成立，
当时，，
令，，在上单调递增，而，
即当时，，当时，，在上递减，在上递增，
，即当时，，，当且仅当时取“=”，
由的情况知，当且仅当时取“=”，于是有成立.
综上所述，a的取值集合为.
【点睛】结论点睛：函数是开区间内的可导函数，且不是常数函数，则的最值点一定是极值点.
22．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为：（其中为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)点B在曲线C上运动，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再把直角坐标方程化为极坐标方程即可；
（2）先求，再由求解即可
【详解】（1）曲线（为参数），消去，
得，
整理得，
将代入上式，得，
∴曲线C的极坐标方程为．
（2）由（1）可知，曲线C是以为圆心，为半径的圆，
∵点A的极坐标为，
∴点A的直角坐标为．
∴．
∴．
23．设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）把代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；
（2）利用绝对值的三角不等式求出的最小值，然后求解关于的不等式即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，无解；当时，可得；当时，可得；故不等式的解集为．
（2），
．
当或时，不等式显然成立；
当时，，则．
故的取值范围为．
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.
数学成绩（分）
145
130
120
105
100
110
物理成绩（分）
110
90
102
78
70
组号
分组
频数
频率
第1组
5
第2组
n
第3组
30
p
第4组
20
第5组
10
合计
100