2023届北京市北京师范大学附属实验中学高三数学零模试题含解析

这是一份2023届北京市北京师范大学附属实验中学高三数学零模试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则满足的集合B可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集定义计算，选出正确答案.
【详解】，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D
2．若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据向量的除法运算化简，进而可得在复平面对应的点为.
【详解】由得，故在复平面对应的点为，该点在第三象限.
故选：C
3．在二项式的展开式中，的系数为（ ）
A．﹣80B．﹣40C．40D．80
【答案】A
【分析】根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
令，可得，
即展开式中的系数为，故选A.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性定义可知是非奇非偶函数，函数是偶函数，可判断AD错误；又只在一个周期内单调递增，所以D错误，易得为奇函数，且在区间上是增函数.
【详解】对于A，根据奇函数定义可知不是奇函数，所以A错误；
对于B，易知图象关于原点对称，是奇函数，但其在区间上不是增函数，即B错误；
对于C，函数是奇函数，且时，是增函数，所以C正确；
对于D，易知为偶函数，故D错误.
故选：C
5．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段的中点M的横坐标为4，则长为（ ）
A．10B．8C．5D．4
【答案】A
【分析】由梯形中位线长度得到上底和下底长度之和，通过抛物线的定义，转化为到焦点的距离，然后得到的长度.
【详解】设中点为，则，过分别做准线的垂线，垂足分别为
因为为中点，则易知为梯形的中位线，而，
所以.
根据抛物线定义可知
所以.
故选：A.
6．当个相同的声强级为的声源作用于某一点时，就会产生声强级的叠加，叠加后的声强级，已知一台电锯工作时的声强级是，则10台电锯工作时的声强级与台电锯工作时的声强级的关系约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出10台和5台电锯工作时的声强级，作差得出答案.
【详解】10台电锯工作时的声强级，5台电锯工作时的声强级，所以.
故 选: C.
7．已知函数满足，则函数是（ ）
A．奇函数，关于点成中心对称B．偶函数，关于点成中心对称
C．奇函数，关于直线成轴对称D．偶函数，关于直线成轴对称
【答案】D
【分析】，求得，再根据余弦函数的性质即可判断.
【详解】
因为，即
所以，即，
则，
所以，
令
对于AC，因为，所以函数是偶函数.AC错误；
对于BD，，所以函数关于直线成轴对称，B错误D正确.
故选：D
8．数列是无穷项数列，则“存在，且”是“存在最大项”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据题意可通过举例特殊数列可知不满足充分性，再由数列可得不满足必要性即可得出结论.
【详解】根据题意可知，若存在，且，
不妨设即数列从第三项起满足，
此时存在满足且，但数列从第三项开始是递增数列，无最大项；
所以充分性不成立；
若存在最大项，不妨设数列，此时的最大项为，且为递减数列；
所以不存在，且，即必要性不成立.
故选：D
9．已知点，直线l与圆交于两相异点B，C，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设是线段的中点，将转化为用来表示，结合两点间的距离公式求得正确答案.
【详解】设，设是线段的中点，
则
，
表示点与点两点间的距离的平方，
由于在圆内，所以，所以，
所以，
所以.
故选：A
10．现有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】B
【分析】根据题意可知每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得18分，则最后五队之间至少共得20分，即可求解.
【详解】每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），排除CD
而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），
所以第二名的队得分至少为（分）．排除A
故选：B.
二、填空题
11．已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________．
【答案】##
【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，则，
解得，所以，
所以，
通过观察可知，去掉后，
成等比数列，
所以等比数列的首项为，公比为，
所以.
故答案为：
12．已知双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的最大值是__________．
【答案】
【分析】根据双曲线渐近线方程以及直线过坐标原点可知， 若双曲线与直线没有公共点则，由离心率计算公式即可求得.
【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为，
若双曲线与直线没有公共点，则须满足，即；
所以离心率，
即双曲线的离心率e的最大值是.
故答案为：
13．在平面直角坐标系中，单位圆上三点A，B，C满足：A点坐标为并且，在上的投影向量为，则__________．
【答案】
【分析】根据题意可画出示意图，易知与的夹角的余弦值，再根据二倍角公式可求得与夹角的余弦值为，根据向量数量积的定义即可得.
【详解】根据题意可知如下图所示：
由题可得，且，设与的夹角为，
所以，
又因为，所以，
由二倍角公式可得；
所以.
故答案为：
三、双空题
14．已知函数，则的最小值是__________，若关于x的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】分段函数分别计算两段的最小值，得到函数的最小值；方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，作出函数图像，数形结合解决.
【详解】函数，由可知，时，函数有最小值；
函数，由，得，则，此时函数最小值为.
所以函数的最小值是.
方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，
作出函数的图像，由a为整数，如图所示，只有函数和的图像与函数的图像有四个不同的交点，
所以整数a的取值范围是.
故答案为：；
四、填空题
15．如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：
①平面平面；
②一定是锐角；
③；
④三棱锥的体积为定值．
其中真命题的有__________．
【答案】①③④
【分析】根据正方体特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正确；当是的中点时是直角，即②错误；易知平面，利用线面垂直的性质即可得，所以③正确；根据等体积法和线面平行判定定理可得三棱锥的体积为定值，即可知④正确.
【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面，即①正确；
对于②，当是的中点时，
易得，
满足，此时是直角，所以②错误；
对于③，连接，如下图所示;
由正方体可知，且平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面；
又平面，所以，即③正确；
对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，
平面，所以点到平面的距离是定值，
所以三棱锥的体积为定值,即④正确.
故答案为：①③④
五、解答题
16．在中，，，．
(1)求；
(2)求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理以及倍角公式得出；
（2）由平方关系、倍角公式得出，得出，最后由正弦定理得出c．
【详解】（1）因为，，，
所以在中，由正弦定理得．
所以，故．
（2）由（1）知，所以．
又因为，所以．
所以．
在中，．
所以．
17．为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：
(3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
(3)2
【分析】（1）结合表格中数据求出概率；
（2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望；
（3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案.
【详解】（1）只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，
故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为；
（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为，
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中X的可能取值为，
，，
，
则分布列为：
数学期望为；
（3）只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，
，
令，即，
解得：，因为，所以.
18．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．
(1)求证：直线∥平面；
(2)已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）根据中位线定理和线面平行判定即可求解；（2）根据线面垂直的判定或性质，以及建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解.
【详解】（1）
取PA中点F，
连接，
因为E是的中点，F是PA中点，
所以是中位线，
所以平行且等于AD的一半，
因为，
所以平行于，
又，
所以与平行且相等，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE平行于BF，
而平面，
平面，
所以直线∥平面.
（2）
若选①：平面平面，
取AD中点O，
因为侧面为等边三角形，
所以平面，
易证平面，
以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，,
所以,
所以，
所以
所以，
所以,,
设平面的一个法向量为，
所以，
令，
解得，
所以，
易知地面一个法向量为，
又二面角的大小为，
所以，
所以，
解得，
又点M在棱上，所以，
所以，
所以的值为.
若选②：
则取AD中点O，
因为侧面为等边三角形，
所以平面，
连接OA,OC,OD，
易知，
所以，
以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，,
所以,
所以，
所以
所以，
所以,,
设平面的一个法向量为，
所以，
令，
解得，
所以，
易知地面一个法向量为，
又二面角的大小为，
所以，
所以，
解得，
又点M在棱上，所以，
所以，
所以的值为.
19．已知函数．
(1)若在处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
(3)若在区间上恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，无极值点；当时，存在极小值点为，无极大值点.
(3)
【分析】（1）根据导数几何意义可得在处的切线斜率为0，即可得；
（2）利用导函数对参数进行分类讨论，判断出函数的单调性即可求得极值点；
（3）将不等式在区间上恒成立转化成函数在恒成立，利用导数求得当时，成立，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题可得，，
又切线与x轴平行，所以，即，解得．
经检验，当时，在处的切线为，满足题意．
所以.
（2）易知函数的定义域为，又，
则当时，恒成立，在上单调递增，无极值点；
当时，令，则，
和随的变化如下表：
此时，存在极小值点为，无极大值点．
（3）设，则，
当时，，则在上单调递增，，结论不成立；
当时，令，则，
若，即，和随的变化如下表:
若在区间上恒成立，则只需.
设，，则，
所以在上单调递增，，
因此在上无解；
若，即，，在上单调递减，
所以恒成立，
综上所述，a的取值范围是．
20．已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用椭圆的相关性质即可求解；
（2）设直线，与椭圆联立消得出韦达定理，求出的坐标，再求出直线，的斜率，，将转化为韦达定理化简即可证明.
【详解】（1）依题意，，解得，
所以，椭圆E的方程为．
（2）显然直线l的斜率存在，不妨设直线：，
因为过点，所以：，
所以直线：
联立，消去y，得，
，
设点，，
所以，，，
，
直线，直线，
联立，解得，
即，又因为直线：，
所以
所以
，，
所以，
．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线定值问题，往往是将直线设而不求，与圆锥曲线联立消或者消，得出韦达定理，将问题转为用韦达定理表示的式子，通过变形化简即可证明.
21．对于一个有穷单调递增正整数数列P，设其各项为，，，，若数列P中存在不同的四项，，，满足，则称P为等和数列，集合称为P的一个等和子集，否则称P为不等和数列．
(1)判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10；
(2)已知数列P：，，，，是等和数列，并且对于任意的，总存在P的一个等和子集M满足集合，求证：数列P是等差数列；
(3)若数列P：，，，是不等和数列，求证：．
【答案】(1)是等和数列，所有的等和子集为，，；不是等和数列
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由等和数列的定义判断即可；
（2）数列P最多有如下五个等和子集：，，，，，根据反证法结合等差数列的定义证明即可；
（3）假设，且不是整数，利用反证法证明即可.
【详解】（1）A是等和数列，所有的等和子集为，，；
B是不等和数列．
（2）数列P最多有如下五个等和子集：，，，，，
考虑，，只可能是如下三种情况的一种：
，，，
若，则，不是P的等和子集，
否则，或，并且不是P的等和子集，否则，，
所以，P的所有等和子集有，，
此时，不满足，该情况不成立，即；
由对称性可知，，
因此，，此时，，不是P的等和子集，
考虑，，
故，是P的等和子集，
故，，
由以上三式可知，即数列P是等差数列．
（3）假设，且不是整数，
则对于任意，总有，
因为数列P是不等和数列，所以，至少有个不同的取值，
若存在，则，，
当时，若，则，则存在等和数列，与题设矛盾，
故时，有，
所以，，只有个不同的取值，
因此，，，
又因为存在，所以，，此时，，矛盾．
若不存在，则，恰个不同的取值，
所以，，，并且，，
此时，，矛盾．
综上，．
【点睛】思路点睛：本题考查了数列新定义问题，按着某种规律新生出另一个数列的题目，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好的考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据定义进行逻辑推理，进而解决问题.
康复时间
只服用药物A
只服用药物B
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
0
1
2
x
－
0
＋
极小值
x
－
0
＋
极小值