2022-2023学年四川省绵阳南山中学高三下学期三诊热身考试文科数学试题含解析
展开2023年4月
绵阳南山中学2023年春绵阳三诊热身考试
文科数学
命题人：尹冰 审题人：文红苹
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，其中，，，…，，非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数数相同
C. 两组样本数据样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差不同
4. 设x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D. 2
6. 执行如图所示的程序框图，若输入的k=3，则输出的S等于（ ）
A. B. C. D. 0
7. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线）的焦点为，准线为l，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则p=（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
9. 正四棱台上、下底边长为、，外接球表面积为，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
10. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经研究可知:在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过min后茶水的温度为℃，且（，）．当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（结果保留整数，参考数据：，，） （ ）
A. 6 min B. 7 min C. 8 min D. 9 min
11. 已知，则（ ）
A B.
C. D.
12. 已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 已知向量，若，则m=___________.
14. 已知F为双曲线C：的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为2，则C的离心率为______．
15. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…，则第100层球的个数______．
16. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号是________.
①；②；③；④.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．
17. 4月23日是“世界读书日”，读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界，为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动. 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测.通过随机抽样，得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下：
| [40，50） | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
男生 | 2 | 3 | 5 | 15 | 18 | 12 |
女生 | 0 | 5 | 10 | 10 | 7 | 13 |
（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”，若得分低于70分的学生称为“非阅读爱好者”.根据所给数据
①完成下列列联表
| 阅读爱好者 | 非阅读爱好者 | 总计 |
男生 |
|
|
|
女生 |
|
|
|
总计 |
| "" |
|
②请根据所学知识判断是否有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关；
（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”.现从这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中至少有1人得分在[90，100]内的概率.
附：，其中.
005 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
（1）求角B的大小；
（2）当△ABC面积最大时，求∠BAC平分线AD的长．
19. 如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2.
（1）证明：图2中的平面；
（2）在图2中，若，求该几何体的体积.
20. 已知椭圆的焦点为，且过点．
（1）求的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左､右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
21. 已知函数f（x）＝﹣αx2+（α﹣2）x+lnx.
（1）当α＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若在当x∈（0，+∞）时恒成立，求实数α的取值范围.
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在极坐标系中，，， ，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线1的参数方程为( t为参数，)，且点P的直角坐标为.
（1）求经过O，A，B三点的圆C的直角坐标方程；
（2）求证：直线l与（1）中的圆C有两个交点M，N，并证明为定值.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数
（1）当时，求的最小值；
（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.
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