2023届安徽省宿州市高三下学期第一次教学质量检测数学试题含解析

这是一份2023届安徽省宿州市高三下学期第一次教学质量检测数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届安徽省宿州市高三下学期第一次教学质量检测数学试题 一、单选题1．已知集合，，则的元素个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】解出集合再根据交集运算求出即可得出结果.【详解】由题意可得，,根据交集运算可得，所以的元素个数为2.故选：C2．设复数z满足，则z= （ ）A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i【答案】A【分析】【详解】由得=，故选A.【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二倍角的余弦公式以及充分、必要条件的定义即可得出结论.【详解】由可得，即充分性成立；当时，可得；所以必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方. 记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（    ）A．B．7阶幻方第4行第4列的数字可以为25C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396【答案】D【分析】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为，且n为奇数时，n阶幻方行列的数字为该数列的中间值.【详解】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为.对A，，A对；对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字可以为该数列的中间值，即，B对；对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对；对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错.故选：D5．函数的图象大致是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，再求函数的零点，通过取特殊值确定正确选项.【详解】函数的定义域为，又可化为，所以，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，C，D错误；令，可得，解得或（舍去），所以函数的零点为，，取可得，B错误，故选：A.6．设，若，则（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根据二项展开式分别求出的表达式，解方程即可求得结果.【详解】由题可知，，所以；同理可得；由可得，即，所以，即，解得.故选：D7．已知是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据向量共线可知两点关于原点对称，分别设出三点的坐标，利用点差法点差法表示出和，根据基本不等式求得取最小值时满足，计算即可求得离心率.【详解】根据题意，由可得原点是的中点，所以两点关于原点对称；不妨设，因为，所以，易知，又因为A、B，C都在双曲线上，所以，两式相减可得，即，所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立；所以，即，可得，即离心率.故选：A.8．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得，即可判断大小.【详解】由，，，∴，∴，，∴.故选：B. 二、多选题9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角【答案】AB【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为，即C错误；由可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.【详解】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；若，可得，即，解得，所以B正确；若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；若，则，所以；但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.故选：AB10．已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（    ）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴方程是C．函数在区间上单调递增D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象【答案】AB【分析】由周期求出，由图像的对称性求出的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论.【详解】已知函数（，），其图像相邻对称中轴间的距离为，故最小正周期, ，点是其中一个对称中心， 有，,，由，∴，可以求得.最小正周期，故选项正确；由于，所以是函数图象的一条对称轴方程，故选项正确；时，正弦曲线的先增后减，故选项错误；将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到，选项D错误.故选：.11．已知，且，则下列不等关系成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式化简整理可得，构造函数利用函数单调性即可证明D错误.【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，即A正确； 易知，当且仅当时，等号成立，即B正确；由重要不等式和对数运算法则可得：，当且仅当且仅当时，等号成立，即C正确；由可得，所以，若，即证明，即即需证明，令函数，则，当时，，即在上单调递增，所以时，解不等式可得即可，即时不等式成立；当时，，即在上单调递减，解不等式可得，即时不等式才成立；综上可知，当时，不等式才成立，所以D错误.故选：ABC12．棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（    ）A．平面B．平面C．平面截正方体外接球所得圆的面积为D．正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，如图所示，对AB，利用向量法判断线面平行、线面垂直；对C，由向量法求点面距离判断外接球到及所截圆心重合，进而可求面积；对D，将所求曲线转化为球截面上的圆弧长，进而逐个表面讨论即可.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，对A，设平面的法向量为，，，，则有，令得，由，而FG不在平面ACB1中，故平面，A对；对B，，，由，，∵平面，故平面，B对；对C，设，则O为正方体外接球心，，外接球半径，设平面，由，，平面，则，故与重合，故平面截正方体外接球所得圆的面积为，C错；对D，由题意，所求的点可看作正方体与半径为的球E的交点，则由球的性质，在表面上，∵，故只有两个交点，不形成曲线；在表面上，形成的曲线为以为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为；在表面上，形成的曲线为以中点为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为.由正方体的对称性，所求的曲线长度为，D对.故选：ABD. 三、填空题13．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数a的值为______.【答案】5【分析】求出中心点，由线性回归方程过中心点列方程求解.【详解】，，由线性回归方程过中心点得.故答案为：514．若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.【答案】（答案不唯一）【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.可取，则满足条件的抛物线方程为.故答案为：（答案不唯一）15．已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.【答案】【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解作答.【详解】数列的前n项和为，，，当时，，两式相减得：，即，而，解得，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，，所以.故答案为：16．已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】先将命题转化为在上恒成立，令，运用二阶求导法讨论的单调性及最值，对a分类讨论，利用最小值列不等式求解即可.【详解】由，令，令，则在上单调递增，.（1）当时，恒成立，即函数在上单调递增，则有，解得；（2）当时，则存在使得，则时，，在上单调递减；时，，在上单调递增.∴，又，∴.∵，令，，则，∴在上单调递减.则，故.综上，.故答案为：【点睛】含参不等式恒成立问题，一般构建函数，利用导数研究函数的单调性及最值，对参数分类讨论，将问题转化为函数最值的不等式求解. 四、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，，则，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.【详解】（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理的变形得，又，所以.（2）由得，且，所以，所以，因为，从而，所以，从而.即的取值范围为.18．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，为棱靠近点的三等分点. (1)证明：平面；(2)求与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1) 记为棱靠近点的三等分点，连接，证明，根据线面平行判定定理证明平面；(2)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，根据向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由此可得与平面所成的角的正弦值.【详解】（1）记为棱靠近点的三等分点，连接又为棱靠近点的三等分点.所以，且，又且，所以且，即四边形ADEF为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）在BC上取一点G，使得，所以，又，知四边形AGCD为矩形，从而，又底面ABCD，所以AG，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，从而，，，设平面的法向量为，则，即，取，可得，为平面PBC的一个法向量，则，设与平面所成的角为，则，即与平面所成的角的正弦值为.19．在数列中，，且.(1)令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求.【答案】(1)证明见解析，(2)297 【分析】(1)由递推关系结合等差数列定义证明数列为等差数列，再由等差数列通项公式求数列的通项；(2)由递推关系证明，利用等差数列求和公式和组合求和法求.【详解】（1）因为，所以，即，又，所以，又，所以，数列为以1为首项，4为公差的等差数列，所以.（2）因为，所以，即所以.20．宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.(1)求n的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)4(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型计算公式可得，即可解得；（2）易知随机变量X的可能取值，利用超几何分布可求得其对应概率即可得分布列和期望值.【详解】（1）由题知，共有个机房，抽取2个机房有种方法，其中全是小机房有种方法，因此全是小机房的概率为，解得.即n的值为4.（2）X的可能取值为0，1，2，3.，，，.则随机变量X的分布列为X0123P 则X的数学期望.21．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得，即可得出椭圆C的标准方程；（2）易知的轨迹是以OM为直径的圆与圆的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆方程联立根据弦长公式求得的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，的周长为，离心率联立，解得，，所以，即椭圆C的标准方程.（2）设点，又为切点，可知，所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，则以OM为直径的圆的方程为，又在圆上，两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：设，，由，消去y整理后得，，，所以，又点O到直线PQ的距离，设的面积为S，则，其中，令，则，设，，则，所以在区间上单调递增，从而得，于是可得，即的面积的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据过点M的两条切线求出切点所在的直线方程，并与椭圆联立利用韦达定理和弦长公式求出面积的表达式，再通过构造函数利用导数研究单调性求面积取值范围即可.22．已知函数（e为自然对数的底数），a，.(1)当时，讨论在上的单调性；(2)当时，若存在，使，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）对a分类讨论，由导数法求函数单调性；（2）法一，由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；法二，将函数拆分为前后两个函数，对a分类讨论，由导数法分别研究两函数单调性及最值，得出结论；【详解】（1）当时，，的定义域为，，当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；当时，方程有两不等正根，结合定义域由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，方程有一负根和一正根，结合定义域由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上可知：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）法一：分离变量可得：，令，，则，易得当时，，且，从而，所以在单调递减，于是.即a的取值范围为.法二：当时，，令，，则，即为，而在上单调递减，所以当时，，又，i. 当，即时，，符合题意；ii. 当时，由（1）知在上是增函数，恒有，故不存在，使；iii. 当时，由于时，，所以，令，则，所以在上是增函数，最大值为，又，所以，此时恒有，因此不存在，使.综上可知，，即a的取值范围为.【点睛】函数不等式恒成立或可能成立问题，一般可用分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；或采用分类讨论法，由导数法研究函数单调性及最值，得出结论；