湖南省怀化市2023届高三数学二模试题（Word版附答案）

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷

2023年上学期高三第二次模拟考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则的真子集共有（    ）

A.3个    B.6个    C.7个    D.8个

2.若复数是的根，则（    ）

A.    B.1    C.2    D.3

3.科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在1903年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.己知某实验用的单级火箭模型结构质量为，若添加推进剂，火箭的最大速度为，若添加推进剂，则火箭的最大速度约为（    ）（参考数据：，）

A.    B.    C.    D.

4.如图，在平面四边形中，，.若点为边上的动点，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.2

5.若，则被8整除的余数为（    ）

A.4    B.5    C.6    D.7

6.设，若将函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知球的半径为，球面上有不共面的四个点，且，则四面体体积的最大值是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论中，正确的有（    ）

A.数据的第60百分位数为5

B.已知随机变量服从二项分布，若，则

C.已知回归直线方程为，且，则

D.对变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握性越大

10.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（    ）

A.过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点

B.若为上的动点，则的最小值为5

C.直线与抛物线相交所得弦长为8

D.抛物线与圆交于两点，则

11.数列满足，数列的前项和为，且，则下列正确的是（    ）

A.

B.数列的前项和

C.数列的前项和

D.

12.函数，下列说法正确的是（    ）

（参考数据：）

A.存在实数，使得直线与相切也与相切

B.存在实数，使得直线与相切也与相切

C.函数在区间上不单调

D.函数在区间上有极大值，无极小值

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.点到直线距离的最大值为__________.

14.信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了解学生利用学习机学习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机，并安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种学习机的相关数据（不重复统计），则不同的安排方法有__________.

15.如图，分别是双曲线的右顶点和右焦点，过作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为为坐标原点，若，则的离心率为__________.

16.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知为数列的前n项和，，；是等比数列，，，公比.

（1）求数列，的通项公式；

（2）数列和的所有项分别构成集合A，B，将的元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求.

18.（本小题满分12分）

如图，三棱柱中，面面，.过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点.

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）若到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知

（1）求角A；

（2）若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围.

20.（本小题满分12分）

某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人赢取“购书券”的游戏.游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有个号码分别为､､､､的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）.每局由甲､乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）.若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除个积分，乙增加个积分；若号码之差为偶数，则甲增加个积分，乙被扣除个积分.游戏开始时，甲､乙的初始积分均为零，游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励.

（1）设游戏结束后，甲的积分为随机变量，求的分布列；

（2）以（1）中的随机变量的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记正整数的最小值为.

①求的值，并说明理由；

②当时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率.

21.（本小题满分12分）

如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.

（1）求该椭圆的离心率；

（2）设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.

22.（本小题满分12分）

设函数，.

（1）若对任意，都有，求a的取值范围；

（2）设，.当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由.

高三二模数学答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C     2.B     3.C    4.A    5.B    6.D    7.C    8.B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.BC     10.CD     11.BCD    12.AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.1560    15.    16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.（1）由，可得，又，即，

∴，故.

∵是等比数列，由，，，

∴，，解得，，即.

（2）由（1）知：，令，则，

所以，，在新数列的前20项，

因为与为公共项，所以前20项中有18项数列中的项以及，.

.

18.（1）在三棱柱中，，平面，平面，则平面，

又平面平面，平面，于是得，

而平面平面，平面平面，平面平面，则，

所以四边形为平行四边形.

（2）在平面内过点A作，因平面平面，平面平面，

于是得平面，又，以点A为原点，建立如图所以的空间直角坐标系，

因，，则，

，

，

设平面的法向量，则，

令，得，

点B到平面的距离，解得，

因此，，而，设直线与平面所成角为，

于是得，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

19.（1），所以，

所以，

又，所以，

因为，所以.

（2）由（1）可知，.

则.

因为锐角三角形，所以，整理得.

因为，所以.

令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，

故的取值范围为.

20.（1）解：记“一局游戏后甲被扣除个积分”为事件，“一局游戏后乙被扣除个积分”为事件，

由题可知，则，

当三局均为甲被扣除个积分时，，

当两局为甲被扣除个积分，一局为乙被扣除个积分时，，

当一局为甲被扣除个积分，两局为乙被扣除个积分时，，

当三局均为乙被扣除个积分时，，

所以，，

，

，

，

所以，随机变量的分布列为

（2）解：①由（1）易得，

显然甲､乙双方的积分之和恒为零，

当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，

则需，

所以，，即正整数的最小值；

②当时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件，则，

由题设可知若甲获得“购书券”奖励则甲被扣除积分的局数至多为，

记“甲获得“购书券”奖励”为事件，易知事件为“甲恰好有一局被扣除积分”，

则，所以，，

即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，

甲仍获得“购书券”奖励的概率为.

21.（1）设，则根据椭圆性质得

而，所以有，即，，

因此椭圆的离心率为.

（2）由（1）可知，，

椭圆的方程为.

根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，

并设则由消去并整理得

从而有，

所以.

因为，所以，.

由与相似，所以

.

令，则，从而

，即的取值范围是.

22.（1）的定义域是，.

①若，则当时，，在单调递增，等价于，即，由得.

设，.，

故在单调递减，在单调递增，而，所以的解集为.

②若，则在单调递减，在单调递增，等价于，即，即，矛盾，故a的取值范围是.

（2）.

.

同理可得，

.

所以.

下面证明.

，且由（1）知，

所以只需证明时，.

令，即证.

设，，，

所以.

设，，故在（0，1）单调递减，.