2023年黑龙江省大庆市肇源县中考数学一模试卷

这是一份2023年黑龙江省大庆市肇源县中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省大庆市肇源县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（　　）
A．1.2×10﹣7 B．0.12×10﹣6 C．12×10﹣8 D．1.2×10﹣6
4．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．|a|＞|b| B．a＞b C．ab＞0 D．a+b＞0
5．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．则DE的长为（　　）

A．4 B．5 C． D．3.5
7．（3分）小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（　　）

A．6，7 B．7，7 C．5，8 D．7，8
8．（3分）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为（　　）

A． B． C．或 D．或
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为（　　）

A．1 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：a3•a﹣2＝　 　．
12．（3分）分解因式：8a﹣2a3＝　 　．
13．（3分）如图，在网格中，小正方形的边均1，点A、B、O在格点上，则∠OAB正弦是 　 　．

14．（3分）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　 　．

15．（3分）如图所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积为　 　．

16．（3分）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为 　 　．
17．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 　 　．

18．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2），有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b≥m（am+b）（m为常数）；④a＜﹣；⑤x＝﹣5和x＝7时函数值相等；⑥若（2，y1），，（﹣2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1，其中错误的结论是 　 　（填序号）．

三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|．
20．（4分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
21．（6分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
22．（6分）如图是某种自动卸货汽车卸货时的示意图，AC是水平汽车底盘，OB是液压举升杠杆，汽车卸货时车厢AB与底盘AC的夹角为30°，举升杠杆OB与底盘AC的夹角为64°，已知举升杠杆上顶点B离支撑点A的距离为6米．求汽车卸货时举升杠杆OB的长（结果精确到0.1米．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，≈1.73）．

23．（7分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了　 　人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
24．（7分）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C，D两点，点D（2，﹣3），B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）①求△COD的面积；
②当k1x+b﹣≥0时，直接写出自变量x的取值范围．

25．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．

26．（8分）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？

27．（8分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠ABD＝30°，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：2AD2＝DE•AB；
（3）若BC＝1，求BF的长．

28．（9分）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．


2023年黑龙江省大庆市肇源县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
解：﹣2023的相反数是2023．
故选：A．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．是轴对称图形，共有1条对称轴；
B．不是轴对称图形，没有对称轴；
C．不是轴对称图形，没有对称轴；
D．是轴对称图形，共有2条对称轴．
故选：D．
3．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（　　）
A．1.2×10﹣7 B．0.12×10﹣6 C．12×10﹣8 D．1.2×10﹣6
解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：A．
4．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．|a|＞|b| B．a＞b C．ab＞0 D．a+b＞0
解：A．由数轴可知|a|＞|b|，故符合题意；
B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意；
C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故不符合题意；
D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故不符合题意．
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：因为正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，
所以k＜0，
所以﹣k＞0，
所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，
故选：B．
6．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．则DE的长为（　　）

A．4 B．5 C． D．3.5
解：如右图所示，

∵四边形EDCF折叠后得到四边形EBCF，
∴∠1＝∠2，BE＝DE，
∵四边形ABCDE是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BF＝BE，
设AE＝x，那么BE＝9﹣x，
在Rt△BAE中，AB2+AE2＝BE2，
即32+x2＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
∴BE＝DE＝5，
故选：B．
7．（3分）小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（　　）

A．6，7 B．7，7 C．5，8 D．7，8
解：八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列如下：
3，3，5，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，
这次比赛成绩的中位数是＝7，众数是7，
故选：B．
8．（3分）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝2，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．
故选：C．

9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为（　　）

A． B． C．或 D．或
解：由题意可得，
当△CDE∽△CBA时，
则，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4﹣CE，
∴，
解得CE＝；
当△CDE∽△CAB时，
则，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4﹣CE，
∴，
解得CE＝；
由上可得，CE的长为或，
故选：D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为（　　）

A．1 B． C． D．
解：连接OC，如图，

∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝＝5，
∵⊙O的半径为2，
∴A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD＝90°，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MH＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝．
∴点C到直线DE的最小距离为．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：a3•a﹣2＝　a　．
解：a3•a﹣2＝a3﹣2＝a．
故答案为：a．
12．（3分）分解因式：8a﹣2a3＝　2a（2+a）（2﹣a）　．
解：原式＝2a（4﹣a2）
＝2a（2+a）（2﹣a）．
故答案为：2a（2+a）（2﹣a）．
13．（3分）如图，在网格中，小正方形的边均1，点A、B、O在格点上，则∠OAB正弦是 　　．

解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO＝＝＝2，
∴sin∠OAB＝＝＝．
故答案为：．

14．（3分）如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域．向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　　．

解：设正六边形的边长为a，
总面积为a2×6＝a2，其中阴影部分面积为×（a）2＝a2，
则飞镖落在阴影部分的概率是＝．
故答案为：．
15．（3分）如图所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积为　24　．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴四边形ABCD是中心对称图形，
∴△CON≌△AOM，
∴S△AOD＝4+2＝6，
又∵OB＝OD，
∴S△AOB＝S△AOD＝6；
∴▱ABCD的面积＝4×6＝24．
故答案为：24．
16．（3分）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为 　　．
解：依题意，得：．
故答案为：．
17．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 　﹣6　．

解：连接OA，如图所示：

∵＝，△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥OC，
∴△ABD∽△COD，
∴＝（）2＝，
∴S△ABD＝1，
∵＝，
∴S△AOD＝2，
∴S△AOB＝3，
∵S△ABO＝|k|，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
18．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2），有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b≥m（am+b）（m为常数）；④a＜﹣；⑤x＝﹣5和x＝7时函数值相等；⑥若（2，y1），，（﹣2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1，其中错误的结论是 　①④⑥　（填序号）．

解：①抛物线的开口向下，a＜0，对称轴为直线：，b＝﹣2a＞0，图象过（0，2），c＝2＞0，所以abc＜0；故①错误；
②抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，故②正确；
③由图象可知，当x＝1时，函数取得最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（am+b）（m为常数），故③正确；
④由图可知：当x＝2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∵b＝﹣2a，c＝2，
∴4a﹣2b+c＝4a+4a+2＞0，
∴a＞﹣；故④错误．
⑤∵，
∴x＝﹣5和x＝7关于直线x＝1对称，
∴x＝﹣5和x＝7时函数值相等，故⑤正确；
⑥∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴y3＜y1＜y2，故⑥错误．
综上，错误的是①④⑥；
故答案为：①④⑥．

三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|．
解：原式＝1+4×﹣（﹣1）
＝1+2﹣+1
＝+2．
20．（4分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣3＝0．
解：原式＝[﹣]•（x﹣1）
＝•（x﹣1）
＝x2﹣2x﹣1，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴原式＝3﹣1＝2．
21．（6分）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元？
（2）若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
解：（1）设每支钢笔x元，依题意得：
，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元；
（2）设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
22．（6分）如图是某种自动卸货汽车卸货时的示意图，AC是水平汽车底盘，OB是液压举升杠杆，汽车卸货时车厢AB与底盘AC的夹角为30°，举升杠杆OB与底盘AC的夹角为64°，已知举升杠杆上顶点B离支撑点A的距离为6米．求汽车卸货时举升杠杆OB的长（结果精确到0.1米．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，≈1.73）．

解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，

在Rt△ABD中，∠A＝30°，AB＝6米，
∴BD＝AB＝3（米），
在Rt△BDO中，∠BOD＝64°，
∴BO＝≈≈3.3（米），
∴汽车卸货时举升杠杆OB的长约为3.3米．
23．（7分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了　200　人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：

学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率＝＝．
24．（7分）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C，D两点，点D（2，﹣3），B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）①求△COD的面积；
②当k1x+b﹣≥0时，直接写出自变量x的取值范围．

解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2＝﹣；
作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
∴，
解得k1＝﹣，b＝﹣，
∴y1＝﹣x﹣；
（2）由，解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；
（3）当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．

25．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，OC＝5，
∴∠BAD＝90°，BD＝AC＝2OC＝10．
在Rt△ABD中，AB＝8，BD＝10，
∴AD＝＝＝6，
∵∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的平分线，EG⊥BD，
∴EG＝EA，∠EGB＝90°．
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△GDE（HL），
∴AD＝GD＝6，
∴BG＝BD﹣GD＝10﹣6＝4，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：BE2＝EG2+BG2，
即（8﹣AE）2＝AE2+42，
解得：AE＝3．

26．（8分）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？

解：（1）由图可得，
小王的骑车速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小时），
点C的横坐标为：1﹣9÷18＝0.5；
（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵A（0.5，9），B（2.5，27），
∴，
解得：，
∴线段AB对应的函数表达式为y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；
（3）当x＝2时，y＝18+4.5＝22.5，
∴此时小李距离乙地的距离为：27﹣22.5＝4.5（千米），
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．
27．（8分）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠ABD＝30°，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：2AD2＝DE•AB；
（3）若BC＝1，求BF的长．

（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OD⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线BD是⊙O的切线；

（2）由（1）知，∠ADO＝∠ABD，
∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ABD，
∴，
∴AD2＝AO•AB，
∵DE是⊙O的直径，
∴DE＝2OA，
∴2AD2＝DE•AB；

（3）解：设OD＝OC＝r，
在Rt△BDO中，sin30°＝＝，
解得：r＝1，
即OD＝1，OB＝OC+BC＝1+1＝2，
由勾股定理得：BD＝＝，
∴BE＝＝，
连接DF，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DFE＝90°，
即∠DFB＝∠BDE＝90°，
∵∠DBF＝∠DBE，
∴△BFD∽△BDE，
∴＝，
∴＝，
解得：BF＝．

28．（9分）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．

解：（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）对直线y＝x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，﹣6），
过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则D（x，x﹣6），
∴PD＝x2﹣2x﹣3﹣（x﹣6）＝x2﹣3x+3，
∴S△PAB＝S△PBD+S△PAD＝•x•PD+•（6﹣x）•PD＝3（x2﹣3x+3）＝3（x﹣）2+，
∴x＝时，S△PAB有最小值，
∴△PAB的面积最小时，点P的横坐标为．
（3）由题意可设，E（m，m2﹣2m﹣3），F（m，m﹣6），
∴EF＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣6）＝m2﹣3m+3，
由y＝x2﹣2x﹣3可知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上，
∴点C的横坐标为1，m≠1，
当点E为直角顶点时，CE＝EF，C（1，m2﹣2m﹣3），
∴CE＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
解得：m＝2，
∴点C的纵坐标为22﹣2×2﹣3＝﹣3；
当点F为直角顶点时，CF＝EF，C（1，m﹣6），
∴CF＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
解得：m＝2，
∴点C的纵坐标为2﹣6＝﹣4；
综上所述，点C的纵坐标为﹣3或﹣4．

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