必刷卷02-2023年中考数学考前信息必刷卷（浙江杭州专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷02
数 学（浙江杭州专用）

2023年杭州中考数学稳中有变，满分120分，试卷结构10（选择题）+6（填空题）+7（解答题），但考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学课改的要求，课程内容的学习，不会单纯考查学生死记硬背的机械记忆力，重视学生的数学活动，发展学生的情感、符号感、空间观念、统计观念以及推理能力。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，探究规律，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，直线型的相关性质，仍将是考试的重点。对于函数侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现。此外，统计与概率也是必考内容。对圆的知识考查，尤其是切线的性质、圆与相似三角函数的综合，强化数学意识的转化和应用能力。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度..同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 考点预测：基础性选择题，以实数的大小、不等式的性质、二次根式的性质与计算、方程的应用、平移与坐标、整式与分式的计算、数据的收集整理与统计图，后三道选择题，一般具有一定的综合性，主要涉及特殊三角形的性质，四边形与相似、三角函数相结合问题，二次函数的性质的综合应用问题。本套试卷的填空题，主要涉及实数的有关定义、锐角三角函数、树状图求概率、圆中阴影部分面积的计算、方程组与不等式的参数问题，第16题是四边形问题，涉及矩形的性质、相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质；对于解答题，第17题考查了二次根式的混合运算；第18题涉及考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体；第19题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质；第20题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力；第21题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质；第22题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握一次函数及二次函数的性质．；第23题是圆的压轴综合大题，主要涉及圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质.

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在实数﹣2，0，1，中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．
【分析】利用实数大小比较的法则将各数排列后即可得出结论．
【详解】解：将各数按从小到大的顺序排列如下：
﹣2＜0＜1＜，
∴四个数中最小的是：﹣2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，利用实数大小比较的法则将各数排列是解题的关键．
2．已知x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，b的值可以是（　　）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【分析】将x＝1代入不等式求出b的取值范围即可得出答案．
【详解】解：∵x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，
∴2﹣b＜0，
∴b＞2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3．算式×（﹣）之值为何？（　　）
A．6 B．2 C．2 D．4﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式＝×（4﹣2）
＝×2
＝2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为（　　）
A．x（x+2）＝195 B．（2x+1）（2x﹣1）＝195
C．x（x+1）＝195 D．x（x﹣2）＝195
【分析】设较大的奇数为x，那么较小的奇数为x﹣2，则这两个数的积是x（x﹣2）即可列出方程求得这两个奇数．
【详解】解：设较大的奇数为x，根据题意得x（x﹣2）＝195，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产值是解题关键．
5．线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣3，4）的对应点为C（1，7），则点B（﹣2，﹣1）的对应点D的坐标为（　　）
A．（﹣6，﹣4） B．（﹣6，2） C．（2，﹣4） D．（2，2）
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：由点A（﹣3，4）的对应点为C（1，7）知平移方式为向右平移4个单位、向上平移3个单位，
∴点B（﹣2，﹣1）的对应点C′的坐标为（2，2），
故选：D．
【点睛】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
6．下列各式的变形中，正确的是（　　）
A．x÷（x2+x）＝+1 B．＝
C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2
【分析】根据单项式除多项式、分式的减法、配方法的应用、平方差公式计算，判断即可．
【详解】解：x÷（x2+x）＝＝，故A选项计算错误；
﹣x＝，故B选项计算错误；
x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，故C选项计算错误；
（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，故D选项计算正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是单项式除多项式、分式的减法、配方法的应用、平方差公式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
7．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予权之比为6：4．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（　　）
候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩
（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据表格中的数据，可以计算甲乙丙丁的成绩，然后比较大小即可．
【详解】解：由题意可得，
甲的成绩为：＝87.6（分），
乙的成绩为：＝88.4（分），
丙的成绩为：＝87.2（分），
丁的成绩为：＝86.6（分），
∵86.6＜87.2＜87.6＜88.4，
∴乙将被录取，
故选：B．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法，求出甲乙丙丁的成绩．
8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（　　）

A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°
【分析】根据AB＝AD＝DC，∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，再根据三角形外角的性质得出∠AED＝β+γ，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得结论．
【详解】解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①AF⊥DE；②AE＝EG；③AM＝MF；④．其中正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】先由E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点得到AE＝BE＝BF、∠DAE＝∠ABF＝90°、AD＝AB，从而得证△DAE≌△ABF，进而利用全等三角形的性质得到∠BAM+∠AEM＝90°判定①；用反证法判断即可②；由BF＝AE＝BE得到AF＝BF＝AE，然后证明△AEM∽△AFB，进而利用相似三角形的性质得到AM＝MF判定③；先证明△AEM∽△DAM，然后利用AD＝2AE得到判定④．
【详解】解：∵E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，
∴AE＝BE＝BF，∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAM+∠AEM＝90°，
∴∠AME＝90°，故①正确，符合题意
假设AE＝EG．则AE＝EG＝BE，
∴∠AGB＝90°，显然不可能，故②错误，不符合题意；
∵BF＝AE＝BE，AB＝2AE，
∴AF＝BF＝AE，
∵∠EAM+∠AEM＝90°，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠AEM＝∠AFB，
∵∠AME＝∠ABF＝90°，
∴△AEM∽△AFB，
∴，即，
∴AM＝AE，
∴MF＝AF﹣AM＝AE﹣AE＝AE，
∴AM＝MF，故③正确，符合题意；
∵∠AEM+∠EAM＝90°，∠EAM+∠DAM＝90°，
∴∠AEM＝∠DAM，
∵∠EMA＝∠AMD＝90°，
∴△AEM∽△DAM，
∴＝（）2＝，故④正确，符合题意；
故选：B．

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是过点E作EH∥AF交BD于点H判定AE≠EG．
10．已知二次函数y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，x1，x2为常数），若1＜x1＜x2＜2，记t＝a+b，则（　　）
A． B．﹣2＜t＜0 C． D．﹣1＜t＜0
【分析】由二次函数解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）；然后由二次函数解析式与一元二次方程的关系以及根的判别式得到a2﹣4b＞0；结合根与系数的关系知：x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b；最后根据限制性条件1＜x1＜x2＜2列出相应的不等式并解答．
【详解】解：∵y＝x2+ax+b＝（x﹣x1）（x﹣x2），二次项系数1＞0，
∴抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），1＜x1＜x2＜2，
∴x＝1时，y＝1+a+b＞0，即1+t＞0，
∴t＞﹣1．
又对称轴x＝﹣，
此时y＝b﹣＜0．
∴a+b＜+a＝（a+2）2﹣1．
∵1＜﹣＜2，
∴﹣4＜a＜﹣2，
∴﹣1＜（a+2）2﹣1＜0．
综上所述，t的取值范围是﹣1＜t＜0．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的根本依据．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．﹣8的立方根等于　﹣2　．
【分析】利用立方根的定义解答．
【详解】∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
12．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则tanB＝　　．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义计算即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC＝＝3，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．
13．在一个布袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色相同的概率是　　．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色相同的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色相同的结果有4个，
∴摸到的两个球颜色相同的概率为＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
14．如图，C、D为半圆O的三等分点，直径AB＝3，连接AD、BC交于点E，则图中阴影部分周长为 　　．

【分析】根据圆周角定理和弧长的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，连接CD，AC，OD
∵C、D为半圆O的三等分点，
∴＝＝，
∴∠BOD＝＝60°，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝30°，
∴EC＝ED，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，
∴BC＝AB＝，
由弧长公式可得，弧BD的长为＝，
∴阴影部分的周长为+＝，
故答案为：．

【点睛】本题考查弧长的计算，求出弧BD的长以及BC的长是正确解答的前提．
15．已知x，y，m满足，若x＜5，则m的取值范围是 　m＜4　．
【分析】方程组消去y表示出x，代入已知不等式求出m的范围即可．
【详解】解：，
①+②得：2x＝2m+2，
解得：x＝m+1，
代入x＜5得：m+1＜5，
解得：m＜4．
故答案为：m＜4．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝8，DF＝3FC，则BC＝　6　．

【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．
【详解】解：延长EF和BC，交于点G，

∵DF＝3FC，
∴，
∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝8，
∴直角三角形ABE中，BE＝＝8，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝8，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
∴△EFD∽△GFC，
∴，
设CG＝x，DE＝3x，则AD＝8+3x＝BC，
∵BG＝BC+CG，
∴8+3x+x＝8．
解得x＝2．
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
三、解答题（本题有7小题，共66分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算：+（）﹣1﹣|1﹣|+（1901﹣）0．
【分析】根据二次根式的除法法则、负整数指数幂、绝对值的意义和零指数幂的意义计算．
【详解】解：原式＝+4+（1﹣）+1
＝+4+1﹣+1
＝6．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并绘制成两幅不完整的统计图，如图：

根据以上信息，解答下列问题：
（1）小明一共抽样调查了 　40　名同学；
（2）小明说，他的睡眠时间是所抽查同学的睡眠时间的中位数，据此推测他的睡眠时间落在的“组别”是 　B　组；
（3）在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为 　18°　；
（4）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有 　140　名学生睡眠时长不足8小时．
【分析】（1）根据B组的人数和所占的百分比，可以计算出抽取的学生人数；
（2）根据统计图中的数据，可以写出中位数落在哪一组，本题得以解决；
（3）根据直方图中的数据和（1）中的结果，可以计算出D组对应的扇形圆心角的度数；
（4）根据直方图中的数据，可以计算出该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时．
【详解】解：（1）小明一共抽样调查了：22÷55%＝40（名），
故答案为：40；
（2）由统计图可知，中位数落在B组，
故小明的睡眠时间落在的“组别”是B组，
故答案为：B；
（3）360°×＝18°，
即在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为18°，
故答案为：18°；
（4）1400×＝140（名），
即估计该校最近一周大约有140名学生睡眠不足8小时，
故答案为：140．
【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：BD＝BC．
（2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数．

【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB，从而可得BD＝BC；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA），
∴BD＝BC；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠ADB＝∠CBD＝40°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝图象于A（，4），B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b＞的解集．

【分析】（1）把点A（，4）代入y＝中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表达式；
（2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为（0，a），根据S△AOB＝S△EOB得到关于a的方程，解方程求得a，从而求得E点的坐标；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）把点A（，4）代入y＝中，得：n＝×4＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点B（3，m）代入y＝得m＝＝2；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A（，4），B（3，2）代入得，
解得
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6，
∴D点的坐标为（0，6），
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝6×3﹣6×＝，
设E点的坐标为（0，a），
∵S△AOB＝S△EOB，
∴|a|×3＝，
解得：|a|＝3，
∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
（3）不等式kx+b＞的解集是x＜0或＜x＜3．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
21．如图，矩形ABCD中，点E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在BC边上，连接AF交DE于点G，连接BG．
（1）求证：△GBF∽△DAF．
（2）若BF•AD＝15，cos∠BGF＝，求矩形ABCD的面积．

【分析】（1）利用轴对称的性质和矩形的性质，直角三角形的斜边上的性质可得△DAF和△GBF为等腰直角三角形，再利用同角的余角相等，相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用（1）的结论和相似三角形的性质定理求得AF，BG，利用四点共圆的性质可得cos∠BEF＝，利用直角三角形的边角关系定理可得，设BE＝2x，则EF＝3x，AE＝3x，BF＝x，AB＝AE+BE＝5x，再利用勾股定理列出方程求得x值，则AB可得；利用相似三角形对应边成比例求得AD，则利用矩形的面积公式即可求得结论．
【详解】（1）证明：由题意得：△ADE≌△FDE，DE垂直平分AF，
∴DA＝DF，AG＝GF，
∴∠DAF＝∠DFA．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABF＝90°，
∴BG＝AG＝FG＝AF．
∴△AGB和△GBF为等腰三角形，
∴∠GBF＝∠GFB，∠GAB＝∠GBA．
∵∠GAB+∠DAF＝90°，∠GAB+∠AFB＝90°，
∴∠DAF＝∠GFB，
∴∠DAF＝∠GFB，∠DFA＝∠GBF，
∴△GBF∽△DAF；
（2）解：∵△GBF∽△DAF，
∴，
∴BG•AF＝BF•AD＝15，
∵BG＝AG＝FG＝AF，
∴AF2＝30，
∴AF＝，
∴BG＝．
由（1）知：DE垂直平分AF，
∴∠EGF＝90°，AE＝EF．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠EGF＝180°，
∴点E，B，F，G四点共圆，
∴∠BEF＝∠BGF．
∵cos∠BGF＝，
∴cos∠BEF＝，
∵cos∠BEF＝，
∴，
设BE＝2x，则EF＝3x，AE＝3x，
∴BF＝x，AB＝AE+BE＝5x．
∵AB2+BF2＝AF2，
∴，
解得：x＝1．
∴AB＝5，BF＝．
∵，
∴，
∴AD＝3，
∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝15．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，直角三角形的边角关系定理，充分利用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．已知A（a，p），B（a﹣2，q）（a，p，q为实数）是平面直角坐标系中的两点，二次函数y1＝﹣x2+（m﹣3）x+3m（m为常数）的图象经过点A，B．
（1）当a＝﹣2，m＝2时，求p，q．
（2）当p＝q时，请用含a的代数式来表示m．
（3）若一次函数y2＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象也经过点A，B．试说明：当m＜2a+1时，y2随着x的增大而减小．
【分析】（1）由m＝2可得抛物线解析式，由a＝﹣2可得点A，B坐标，将点A，B坐标代入解析式求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴，由p＝q可得点A，B关于对称轴对称，进而求解．
（3）将A，B坐标代入二次函数解析式，用含a及m代数式表示q﹣p，通过q﹣p＞0求证．
【详解】解：（1）∵m＝2，
∴y1＝﹣x2﹣x+6，
∵a＝﹣2，
∴点A坐标为（﹣2，p），点B坐标为（﹣4，q），
将（﹣2，p）代入y1＝﹣x2﹣x+6得p＝﹣4+2+6＝4．
将（﹣4，q）代入y1＝﹣x2﹣x+6得q＝﹣16+4+6＝﹣6．
（2）∵y1＝﹣x2+（m﹣3）x+3m，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
当p＝q时，点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴＝，
∴2a﹣2＝m﹣3，
∴m＝2a+1．
（3）将B（a﹣2，q）代入y1＝﹣x2+（m﹣3）x+3m得q＝﹣a2+4a﹣4+（a﹣2）（m﹣3）+3m，
∴q﹣p＝﹣a2+4a﹣4+（a﹣2）（m﹣3）+3m﹣[﹣a2+a（m﹣3）+3m]＝﹣2（m﹣3）+4a﹣4＝4a﹣2m+2，
当m＜2a+1时，2m＜4a+2，
∴4a﹣2m+2＞0，即q＞p，
∵a＜a﹣2，q＞p，
∴y2随着x的增大而减小．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握一次函数及二次函数的性质．
23．如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．
（1）求证：CE2＝AE•AF；
（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；
（3）若FG＝2，求AF的长．

【分析】（1）先判断出∠ACE＝∠AFC，进而判断出△ACE∽△AFC，得出AC2＝AE•AF，即可得出结论；
（2）先求出∠CAE＝∠CEA＝67.5°，进而求出∠BAF＝∠DCF＝22.5°，即可得出结论；
（3）过点G作GH⊥CF交AF于H，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴，
∴AC2＝AE•AF，
∵AC＝CE，
∴CE2＝AE•AF；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC＝45°，
∴∠AFC＝∠AOC＝45°，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣∠ACO）＝67.5°，
∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5°，
∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45°+∠DCF＝67.5°，
∴∠DCF＝22.5°，
∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∠BAF；

（3）解：如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，

∴∠FGH＝90°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠FHG＝45°，
∴HG＝FG＝2，
∴FH＝2，
∵∠BAF＝22.5°，∠FHG＝45°，
∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5°＝∠BAF，
∴AH＝HG＝2，
∴AF＝AH+FH＝2+2．
【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求出AF是解本题的关键．