必刷卷02-2023年中考数学考前信息必刷卷（浙江宁波专用）

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2023年中考数学考前信息必刷卷02
数 学（浙江宁波专用）

2023年宁波中考数学结构和分值没有变化，满分150分，题型仍然是10（选择题）+6（填空题）+8（解答题），但考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学
课改的要求，课程内容的学习，不会单纯考查学生死记硬背的机械记忆力，重视学生的数学活动，发展学生的情感、符号感、空间观念、统计观念以及推理能力。从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，探究规律，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，直线型的相关性质，仍将是考试的重点。对于函数侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现。此外，统计与概率也是必考内容。对圆的知识考查，尤其是切线的判定，强化数学意识的转化和应用能力。

通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度..同时应加强学生的画图能力、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力，注重数学思维方法的训练.对于创新型试题要增加思维的含量，重点考查学生将新知识转化为旧知识的能力。在教学中应引导学生弄清算理来提高运算能力. 选择题1-5题分别考查是相反数、科学计数法、圆与直径所对的弦、树状图求概率、幂的运算；第6-10题分别考查了垂径定理与圆周角的性质、二次函数的图象与系数的关系、锐角三角函数与解三角形、二次函数性质的综合判定、正方形综合性质；填空题主要涉及了无理数、因式分解、概率、解方程、圆中阴影部分面积的计算、反比例函数与几何问题；解答题第17题考查分式的化简求值、实数的运算；第18题主要考查了作图﹣应用与设计作图，涉及矩形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定；第19题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、中位数；第20题考查的是解直角三角形和分式方程的应用；第21题考查一次函数与反比例函数综合问题；第22题考查二次函数，一次函数和不等式组的应用；第23题是四边形综合问题，
考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质；第24题是圆与函数压轴问题，考查圆的有关性质、一次函数的应用、勾股定理、待定系数法、垂线段最短等知识

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2023的相反数是（　　）
A． B． C．﹣2023 D．2023
【分析】利用相反数的定义判断．
【详解】解：2023的相反数是﹣2023，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2．陕北大红枣是驰名中外的陕西特产，目前陕北地区红枣的种植面积约有420000亩，数据420000用科学记数法可以表示为（　　）
A．4.2×104 B．42×104 C．4.2×105 D．0.42×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：420000＝4.2×105，
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．
【详解】解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4．有四张正面分别标有数字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记下后放回，再任取一张，则两次取出的卡片上的数字和为正数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【详解】解：所有可能出现的结果情况如下：

共有16种可能出现的结果情况，其中两次取出的卡片上的数字和为正数的有10种，
所以两次取出的卡片上的数字和为正数的概率为＝，
故选：C．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．
5．下列计算错误的是（　　）
A．a3•a2＝a5 B．a3+a3＝2a3 C．（2a）3＝6a3 D．a8÷a4＝a4
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、a3•a2＝a5，故A不符合题意；
B、a3+a3＝2a3，故B不符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故C符合题意；
D、a8÷a4＝a6，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为E，连接BD，则∠CBD的大小为（　　）

A．50° B．60° C．25° D．30°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到E是边BC的中点，由垂直平分线的性质得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵OD⊥BC，
∴E是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠CDB）＝（180°﹣130°）＝25°，
故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线（即连接CD）构造等腰△BCD是解决本题的关键．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0
【分析】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．
【详解】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故本选项错误；
B．∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；
C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），
∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），
把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；
D．∵当x＝3时，y＝0，
∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，并且是一道比较容易出错的题目．
8．如图△ABC中，tan∠C＝，DE⊥AC，若CE＝5，DE＝1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是（　　）

A． B． C． D．
【分析】作辅助线BF⊥AC，根据题目中的数据利用三角形相似和勾股定理可以分别求得BF、EF、BE的长度，本题得以解决．
【详解】解：作BF⊥AC于点F，如右图所示，
∵CE＝5，DE＝1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，DE⊥AC，
∴，
即，
解得，BF＝2AE，
设AE＝a，则BF＝2a，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴△ADE∽△ABF，
∴，
即，得AF＝2a2，
∴EF＝2a2﹣a，
∵tan∠C＝，tanC＝，BF＝2a，
解得，CF＝4a，
∵CE＝CF+EF，CE＝5，
即5＝4a+2a2﹣a，
解得，a＝1或a＝﹣2.5（舍去），
∴BF＝2，EF＝1，
∴BE＝，
故选：C．

【点睛】本题考查直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理解答．
9．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＞0），当0≤x≤m时，y有最小值﹣4a+5和最大值5，则m的取值范围为（　　）
A．m≥2 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．2≤m≤4
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．
【详解】解：二次函数对称轴为x＝﹣＝2，
由题意得，二次函数经过点（0，5），（2，﹣4a+5），（4，5），
结合图象可知：①当0＜m≤2时，最小值为x＝m时y的值，最大值为5；
②当2≤m≤4时，最小值为﹣4a+5，最大值为5；
③当m≥4时，最小值为﹣4a+5，最大值为x＝m时y的值；
∴m的取值范围是2≤m≤4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．现给出下列命题：①若点P与点C重合时，S△PED＝S正方形ABCD；②BF＝PE．则（　　）

A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
【分析】①若点P与点C重合时，在OC上截取OH＝OE，连接EH，设OH＝OE＝a，证△OEH是等腰直角三角形，得EH＝OH＝a，∠OHE＝45°，再证∠CEH＝22.5°＝∠OCE，则CH＝EH＝a，得OC＝OH+CH＝a+a，然后求出S正方形ABCD＝（6+4）a2，S△PED＝（4+3）a2，求解即可．
②过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM＝PE，BF＝BM，即可得出结论．
【详解】解：①若点P与点C重合时，在OC上截取OH＝OE，连接EH，如图1所示：
设OH＝OE＝a，
∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB＝OP＝OD，∠BOC＝90°，∠ACB＝45°，△POD的面积＝S正方形ABCD，
∴∠BPE＝∠ACB＝22.5°，△OEH是等腰直角三角形，
∴∠OCE＝45°﹣22.5°＝22.5°，EH＝OH＝a，∠OHE＝45°，
∵∠OHE＝∠OCE+∠CEH，
∴∠CEH＝22.5°＝∠OCE，
∴CH＝EH＝a，
∴OC＝OH+CH＝a+a，
∴S正方形ABCD＝4S△POD＝4××（a+a）2＝（6+4）a2，
∵S△PED＝S△POD+S△OPE＝×（a+a）2+×a×（a+a）＝（4+3）a2，
∴＝＝，
∴S△PED＝S正方形ABCD，故①正确，是真命题；
②过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，如图2所示：
∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB．
∵∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠NBP＝∠NPB．
∴NB＝NP，
∵∠MBN＝90°﹣∠BMN，∠NPE＝90°﹣∠BMN，
∴∠MBN＝∠NPE，
在△BMN和△PEN中，
，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM＝PE，
∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，
∴∠BPF＝∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP＝∠MFP＝90°．
在△BPF和△MPF中，
，
∴△BPF≌△MPF（ASA），
∴BF＝MF，
∴BF＝BM，
∴BF＝PE，故②正确，是真命题；
故选：A．


【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11．写出一个大小在﹣2和2之间的无理数　（答案不唯一）　．
【分析】直接写出符合条件的无理数即可．
【详解】解：∵≈1.414，
∴在﹣2与2之间．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，此题属开放性题目，答案不唯一．
12．因式分解：x2﹣4xy+4y2＝　（x﹣2y）2　．
【分析】运用完全平方公式因式分解即可得出答案．
【详解】解：x2﹣4xy+4y2＝x2﹣4xy+（2y）2＝（x﹣2y）2，
故答案为：（x﹣2y）2
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练利用记忆完全平方公式是解题关键．
13．某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是 　　．
【分析】直接根据概率求解即可．
【详解】解：∵共有50人，男生有26人，
∴随机抽取1人，恰好抽中男生的概率是＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率的求法．通过所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件结果数目m，然后根据概率公式P＝求出事件概率．
14．定义新运算：a*b＝，则方程1*（2x+1）＝1*（x﹣2）的解为 　x＝﹣3　．
【分析】由定义可得＝，再解分式方程即可．
【详解】解：∵1*（2x+1）＝1*（x﹣2），
∴＝，
∴x﹣2＝2x+1，
解得x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是方程的解，
∴方程的解为x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
【点睛】本题考查新定义，分式方程的解，理解定义的内容，根据定义列出分式方程，并能准确求解分式方程是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一点O，以点O为圆心，OA长为半径的半圆与边BC相切于点D，交AC边于点E，则图中阴影部分的面积为 　﹣π　．

【分析】先利用三角函数定义可知∠B＝30°，得∠CAB＝60°，证明△AOE是等边三角形，利用切线的性质得直角△BOD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2OD＝4，最后根据面积差可得答案．
【详解】解：如图，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，
∴tan∠B＝＝＝，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
∴AB＝2AC＝6，
∵OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∵OA为半径的半圆与BC边相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴∠BDO＝90°，
∴OB＝2OD＝2OA＝4，
∴OA＝2，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOE﹣S扇形OEF
＝﹣×22﹣
＝﹣﹣π
＝﹣π．
故答案为：﹣π．
【点睛】本题考查了切线的性质、扇形的面积计算，知道切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形的性质．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D，E是CO的两个三等分点，过点D，E作x轴的平行线分别交AB于点F，G，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点G，分别交BC，DF于点Q，P，分别过点Q，P，作x轴的垂线，垂足分别为H，K．图中阴影部分的面积分别为S1，S2，S3．若OE＝HK＝1，则点G的坐标为 　（6，1）　；若S1+S3＝25，则S2＝　5　．

【分析】若OE＝HK＝1，根据题意Q（，3），P（，2），G（k，1），进而求得Q（2，3），P（3，2），代入反比例函数y＝（x＞0）求得k的值，即可求得点G的坐标；
若S1+S3＝25，由反比例函数系数k的几何意义可知，3S1＝2S1+2S2＝S1+S2+S3＝k，即可得出S1＝2S2，2S1＝S2+S3，由S1+S3＝25，得出S3＝25﹣S1，经过变形得到6S2＝S2+25，求得S2＝5．
【详解】解：若OE＝HK＝1，
∵点D，E是CO的两个三等分点，
∴OC＝3，PK＝2，AG＝1，
∴Q（，3），P（，2），G（k，1），
∴＝＝，
∵HK＝1，
∴OH＝2，OK＝3，
∴Q（2，3），P（3，2），
∵点Q，P，G在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴G（6，1）；
若S1+S3＝25，
由反比例函数系数k的几何意义可知，3S1＝2S1+2S2＝S1+S2+S3＝k，
∴S1＝2S2，2S1＝S2+S3，
∵S1+S3＝25，
∴S3＝25﹣S1，
∴2S1＝S2+25﹣S1，
∴3S1＝S2+25，
∴6S2＝S2+25，
∴S2＝5．
故答案为：（6，1），5．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（1）计算：﹣2﹣2+﹣|﹣|．
（2）先化简÷（+1﹣x），然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤x＜3中选择一个使得原分式有意义的值代入即可．
【详解】解：（1）﹣2﹣2+﹣|﹣|
＝﹣+﹣|3﹣2|
＝﹣+﹣（3﹣2）
＝﹣+﹣3+2
＝﹣+；
（2）÷（+1﹣x）
＝÷
＝•
＝
＝，
∵x+1≠0，（2+x）（2﹣x）≠0，
∴x≠﹣1，±2，
∴﹣2≤x＜3中x可以取得整数为0或1，
当x＝0时，原式＝＝1．
【点睛】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握它们各自的计算方法是解答本题的关键．
18．如图，点A，B，C是6×6的网格上的格点，连结点A，B，C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．（画图时保留画图痕迹）
（1）在图①中，在BC上找一点D，使；
（2）在图②中，在△ABC内部（不含边界）找一点E，使S△BCE＝S△ABC．


【分析】（1）如图所示，取格点G、H，连接GH交BC于D，点D即为所求；
（2）如图所示，取格点M、T、H、N，连接MN交AB于P，连接TH交AC于Q，连接PQ，在线段PQ上任取一点E（不包括端点）即为所求；
【详解】解：（1）如图所示，取格点G、H，连接GH交BC于点D，则点D即为所求．
∵四边形BGCH是矩形，
∴点D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC．

（2）如图所示，取格点M、T、H、N，连接MN交AB于点P，连接TH交AC于点Q，连接PQ，在线段PQ上任取一点E（不包括端点）即为所求；

由图知AB＝BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴S△ABC＝AB•BC，
∵MA∥BN，
∴△MNE∽△PQE，
∴，
∴BP＝，AP＝，
同理可证CQ＝AC，AQ＝，
∴，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠APQ＝∠ABC，
∴PQ∥BC，
∴S△BCE＝＝S△ABC，
即：S△BCE＝S△ABC．
【点睛】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，掌握矩形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19．舟山人文积淀丰厚，历史文化悠久，是典型的港口城市．为了增进学生对舟山文化的了解，学校开展了一次普及宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校决定从全校1000名学生中随机抽取200名学生进行一次知识测试（注：测试满分100分，分数取整数），并根据这200人的测试成绩，制作了如下统计图表．
（1）m＝　50　，n＝　0.15　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数会落在 　70≤a＜80　分数段；
（4）如果80分以上为“优秀”，请估计全校1000名学生中，成绩为“优秀”的有几人．
成绩a（分）
频数（人）
频率
50≤a＜60
10
0.05
60≤a＜70
30
n
70≤a＜80
70
0.35
80≤a＜90
m
0.25
90≤a≤100
40
0.20

【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出m和n的值；
（2）根据（1）中m的值，即可将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以得到这200名学生成绩的中位数会落在哪一分数段；
（4）根据频数分布表中的数据，可以估计全校1000名学生中，成绩为“优秀”的有几人．
【详解】解：（1）m＝200×0.25＝50，n＝30÷200＝0.15，
故答案为：50，0.15；
（2）由（1）知m＝50，
补全的频数分布直方图如右图所示：

（3）由表格中的数据可得，
这200名学生成绩的中位数会落在70≤a＜80分数段；
故答案为：70≤a＜80；
（4）1000×（0.25+0.20）
＝1000×0.45
＝450（人），
答：估计全校1000名学生中，成绩为“优秀”的有几人．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M，N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α＝31°，观测渔船N的俯角β＝45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．
（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH的坡度为i＝1：1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）

【分析】（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；
（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE＝45°，
∴EN＝PE＝30（米），
在Rt△PEM中，∠PME＝31°，
tan∠PME＝，
∴ME＝≈50（米），
∴MN＝EM﹣EN＝20（米）；
（2）过点F作FM∥AD交AH于点M′，过点F作FN⊥AH交直线AH于点N′，
则四边形DFM′A为平行四边形，
∴∠FM′A＝∠DAB，DF＝AM＝3（米），
由题意得，tan∠FM′A＝tan∠DAB＝4，tan∠H＝，
在Rt△FN′H中，N′H＝＝36（米），
在Rt△FN′M′中，M′N′＝＝6（米），
∴HM′＝30，AH＝33，
梯形DAHF的面积为：×DN′×（DF+AH）＝432（平方米），
所以需填土石方为432×100＝43200（立方米），
设原计划平均每天填x立方米，由题意得，
12x+（﹣12﹣20）×1.5x＝43200，
解得，x＝600，
经检验x＝600是方程的解，
原计划平均每天填筑土石方600立方米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．
21．如图，在平面直角坐标系中，有函数y1＝（x＞0），y2＝（k＜0，x＞0），y3＝kx+6．
（1）若y2与y3相交于点A（2，m），
①求k与m的值；
②结合图象，直接写出y2＜y3时x的取值范围；
（2）在x轴上有一点P（a，0）且a＞0，过点P作y轴平行线，分别交y1、y2、y3于点B、C、D，经计算发现，不论k取何值，BC﹣BD的值均为定值，请求出此定值和点B的坐标．

【分析】（1）①将点A分别代入y2＝和y3＝kx+6，建立二元一次方程组，求解即可得m，k的值．
②由①可得，y3＝﹣4x+6，A（2，﹣2），则根据图象即可得出y2＜y3时x的取值范围．
（2）由已知条件，分别表示出点B，C，D的坐标，可得出BC﹣CD，进而可列方程求得a的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）①∵y2与y3图象相交于点A（2，m），
∴把A（2，m）分别代入y2＝和y3＝kx+6，
得，
解得．
∴m的值为﹣2，k的值为﹣4．
②，y3＝﹣4x+6，A（2，﹣2），
根据图象可知，y2＜y3时，0＜x＜2．
（2）∵P（a，0），a＞0，
∴B（a，），C（a，），D（a，ak+6），
∴BC＝，BD＝|﹣ak﹣6|．
①当点D在点B下方时，
BC﹣BD＝﹣（﹣ak﹣6）＝﹣+ak+6＝ak﹣+6＝k（a﹣）+6．
∵不论k取何值，BC﹣BD的值均为定值，
∴a﹣＝0，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去）．
∴此定值为6，点B的坐标为（1，3）．
②当点D在点B上方时，
BC﹣BD＝﹣（ak+6﹣）＝+﹣ak﹣6＝k（﹣a﹣）﹣6．
∵不论k取何值，BC﹣BD的值均为定值，
∴﹣a﹣＝0，
此方程无解，
③当C与D重合时，则，
∴BC﹣BD＝0，随着k的变化，BC﹣BD必为定值，
∴k＝a2k+6a，解得k＝，
又∵a≠±1且a＞0，
∴当C与D重合时，此定值为0，点B的坐标为（a，），其中a＞0且a≠1，
，综上所述：此定值为6或0，点B的坐标为（1，3）或（a，）．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
22．2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供应量y1（个）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（个）
220
229
…
245
…
220
…
164
（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，设y2＝ax2+bx+c，用待定系数法可得y2＝﹣x2+12x+209；
（2）求出前9天的总供应量为（1350+36m）个，前10天的供应量为（1500+45m）个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），可得，而m为正整数，即可解得m的值为20或21；
（3）m最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为y1＝210，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为y2＝209，销售额为20900元．
【详解】解：（1）根据题意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，
设y2＝ax2+bx+c，将（1，220），（2，229），（6，245）代入得：
，
解得，
∴y2＝﹣x2+12x+209；
（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2m）+......+（150+8m）＝（1350+36m）个，
前10天的供应量为1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）个，
在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，
∵前9天的总需求量为2136个，
∴前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），
∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
∴，
解得19≤m＜21，
∵m为正整数，
∴m的值为20或21；
（3）由（2）知，m最小值为20，
∴第4天的销售量即供应量为y1＝4×20+150﹣20＝210，
∴第4天的销售额为210×100＝21000（元），
而第12天的销售量即需求量为y2＝﹣122+12×12+209＝209，
∴第12天的销售额为209×100＝20900（元），
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
【点睛】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题．
23．如图①，在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，P为对角线BD上的一点，连接AE交BD于点F，连接PA、PE、PC．
（1）求证：PA＝PC；
（2）若PE＝PC，求证：PE2＝PF•PB；
（3）如图②，若△ADP≌△ABF，AB＝6，求PE的长．

【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ABP＝∠CBP，AB＝CB，进而证明△ABP≌△CBP，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△EPF∽△BPE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）过点P作PH⊥BC于H，根据全等三角形的性质证明∠CPF＝∠AFP，得到AE∥PC，根据相似三角形的性质分别求出PH、EH，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABP＝∠CBP，AB＝CB，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC；
（2）证明：由（1）可知：△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∵PE＝PC，
∴∠PEC＝∠BCP，
∵∠BEP+∠PEC＝180°，
∴∠BAP+∠BEP＝180°，
∴∠APE＝180°﹣∠ABE＝90°，
∵PA＝PC，PE＝PC，
∴PA＝PE，
∴∠PEA＝45°，
∴∠PEA＝∠OBE，
又∵∠EPF＝∠BPE，
∴△EPF∽△BPE，
∴＝，
∴PE2＝PF•PB；
（3）解：过点P作PH⊥BC于H，
同（1）的方法可知：△ADP≌△CDP，
∵△ADP≌△ABF，
∴△CDP≌△ABF，
∴∠CPD＝∠AFB，DP＝BF，
∴∠CPF＝∠AFP，
∴AE∥PC，
∵BE＝EC，
∴BF＝FP＝PD，
∵PH⊥BC，DC⊥BC，
∴PH∥CD，
∴△BPH∽△BDC，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
解得：PH＝4，BH＝4，
∴EH＝4﹣3＝1，
∴PE＝＝＝，
答：PE的长为．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．已知：如图1，在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），以M（﹣1，0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B，连接BM并延长交⊙M于点C，动点P在线段BC上运动，长为的线段PQ∥x轴（点Q在点P右侧），连接AQ．

（1）求⊙M的半径长和点B的坐标；
（2）如图2，连接AC，交线段PQ于点N，
①求AC所在直线的解析式；
②当PN＝QN时，求点Q的坐标；
（3）点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值．
【分析】（1）如图1中，过点A作AE⊥x轴，分别在Rt△AEM和Rt△NOM中利用勾股定理即可解决问题．
（2）①设解析式为设yAC＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题．②可求yBC＝3x+3，设点P（x，3x+3）．由题意得点N为（x+，3x+3），因为点N落在AC上，所以3x+3＝（ x+）﹣2，列方程即可解决问题．
（3）当点P与C重合时，Q（﹣，﹣3），此时AQ′＝，过点Q平行BC的直线的解析式为y＝3x﹣2，过点A垂直BC的直线的解析式为y＝﹣x﹣，与直线y＝3x﹣2的交点为Q′，此时AQ′最小，当点P与点B重合时，Q″（，3），此时AQ″＝＝，由此即可判断PQ的最大值．
【详解】解：（1）如图1中，过点A作AE⊥x轴，

则AE＝1，ME＝3，
∴AM＝＝，即半径为，
所以BM＝，
∵OM＝1，
∴OB＝＝3，即点B（0，3）．

（2）如图2中，

①设解析式为设yAC＝kx+b，
由题意得点C与点B关于点M成中心对称，
∴点C（﹣2，﹣3）（也可以通过构造全等三角形说明），
又点A（2，﹣1），
即当x＝2时，y＝﹣1；当x＝﹣2时，y＝﹣3，
解得k＝，b＝﹣2
∴yAC＝x﹣2，

②可求yBC＝3x+3，设点P（x，3x+3）．
由题意得点N为（x+，3x+3）
∵点N落在AC上，所以3x+3＝（ x+）﹣2
解得x＝﹣
所以点Q坐标为（﹣，﹣）．

（3）如图3中，

当点P与C重合时，Q（﹣，﹣3），此时AQ′＝，过点Q平行BC的直线的解析式为y＝3x﹣2，
过点A垂直BC的直线的解析式为y＝﹣x﹣，与直线y＝3x﹣2的交点为Q′，此时AQ′最小（垂线段最短），
由，解得，
∴Q′（，﹣），
∴AQ的最小值为＝．
当点P与点B重合时，Q″（，3），此时AQ″＝＝，
∴AQ最大值为．
【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、勾股定理、待定系数法、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．