北京市东城区广渠门中学2022_2023学年中考二模数学试卷（4月）

这是一份北京市东城区广渠门中学2022_2023学年中考二模数学试卷（4月），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市东城区广渠门中学2022~2023学年中考二模数学试卷（4月）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体是（    ）

A． B． C． D．
2．我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”2021年3月26日，国家航天局发布两幅由天问一号探测器拍摄的南、北半球火星侧身影像．该影像是探测器飞行至距离火星11000公里处利用中分辨率相机拍摄的．将11000用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
3．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．
4．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ）
A． B． C． D．
5．已知关于的方程有两个不相等实数根，则可以取以下哪个数值（   ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．下列冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为（   ）
A．2 B． C．4 D．
8．如图所示是我国现存最完整的古代计时工具——元代铜壶滴漏，该滴漏从上至下通过多级滴漏，使得上层“壶”中的水可以匀速滴入最下层的圆柱形“壶”中，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时辰，如果用表示时间，用表示木箭上升的高度，那么下列图象能表示与的函数关系的是（    ）

A． B．
C． D．

二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．
10．分解因式：__．
11．如图所示，用量角器度量，可以读出的度数为________．

12．若代数式的值为0，则的值为________．
13．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是________．若该中学共有2000名学生，请你估计这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有________名．
14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m．

15．如图，在中，利用尺规在射线，射线上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，在射线上取一点，过点作射线，若，为射线上一动点，则的最小值为________，判断的依据是________________________________．

16．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________．


三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：
19．先化简，再求值：，求代数式的值．
20．下面是证明定理“等腰三角形两底角相等”的三种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
试证明等腰三角形两底角相等．已知：中，．
求证：．

方法一：证明：如图，取中点D，连接．

方法二：证明：如图，过A作垂线段，交于D．

方法三：证明：如图，作的角平分线，交于点D．


21．如图，的对角线，相交于点，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当是________（填“矩形”或“菱形”）时，四边形是菱形，并写出证明过程．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．
(1)求该函数的解析式及点的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
23．电影《长津湖之水门桥》于2022年春节期间在全国公映，该片讲述了伟大的中国人民志愿军抗美援朝保家卫国的故事，为了解该影片的上座串，小丽统计了某影城1月31日至2月20日共三周该影片的观影人数（单位：人），相关信息如下：
a．1月31日至2月20日观影人数统计图：

b．1月31日至2月20日观影人频数统计图：

c．1月31日至2月20日观影人数在的数据为
91，92，93，93，95，98，99
根据以上信息，回答下列问题：
(1)2月14日观影人数在这21天中从高到低排名第________；
(2)这21天观影人数的中位数是________；
(3)记第一周（1月31日至2月6日）观影人数的方差为，第二周（2月7日至2月13日）观影人数的方差为，第三周（2月14日至2月20日）观影人数的方差为，直接写出，，的大小关系．
24．如图，的半径与弦垂直于点，连接．

(1)求证：；
(2)分别延长、交于点E、F，连接，交于，过点作，交延长线于点．若是的中点，求证：是的切线．
25．为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．

小石进行了两次训练．
(1)第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
7
8
竖直高度
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
0
根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；
(2)第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则___________（填“>”，“=”或“＜”）．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当时，y的最小值是－2，求当时，y的最大值；
（3）抛物线上的两点 P（，），Q（，），若对于，，都有，直接写出t的取值范围．
27．如图，在中，，．是边上一点，交的延长线于点．

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)连接，延长至，使．连接，，．
①依题意补全图形；
②判断的形状，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于点和线段，若点到点或点的距离，不超过线段的长度，则称点为线段的近合点．

(1)已知，，
①在点，，中，线段的近合点是________；
②若直线上存在线段的近合点，求的取值范围；
(2)已知的半径为5，，，直线过点，记线段AB关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的近合点，直接写出的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案．
【详解】解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将11000用科学记数法表示为1.1×104．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．D
【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误；
点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；
b在a的右边，故b>a，故C选项错误；
由数轴得：2 故选：D．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
4．A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
5．D
【分析】方程有两个不相等的实数根，则有，据此即可得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：，
要使方程有两不相等实数根，则有，
；
∴m可以取0，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的关系．
6．B
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形可直接进行求解．
【详解】解：A选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
7．D
【分析】联立两个函数表达式得：，即，则，故，即可求解．
【详解】解：联立两个函数表达式得：，即，
则，
点在直线上，则，
故，
故选D．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，利用根与系数的关系是本题解题的关键．
8．A
【分析】根据最下层的“壶”是圆柱形，可得最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，进而即可判断求解．
【详解】解：∵最下层的“壶”是圆柱形，
∴最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，即y与x的函数图象是正比例函数图象，
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键正确解读题意和函数图象．
9．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：由题意可得：，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
10．．
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
【详解】原式，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
11．
【分析】由图形可直接得出．
【详解】
解：由图形所示，的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
12．
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
13． 小时 200
【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算；再用2000乘以8小时所占样本的比例即可．
【详解】解：．
∴这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是小时，
，
∴这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有200名，
故答案为：小时，200．
【点睛】此题考查了加权平均数，样本估计总体，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．
14．5.5
【详解】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点睛】考点：相似三角形
15． 1 垂线段最短
【分析】过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于．

由作图可知，平分，
，，
，
根据垂线段最短可知，的最小值为1，
故答案为：1，垂线段最短．
【点睛】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．3
【分析】根据与1相邻的面的数字有2、3、4、6判断出1的对面数字是5，与4相邻的面的数字有1、3、5、6判断出4的对面数字是2，从而确定出3的对面数字是6，再根据图2可得结果．
【详解】
解：由图1可知，与1相邻的面的数字有2、3、4、6，
的对面数字是5，
与4相邻的面的数字有1、3、5、6，
的对面数字是2，
的对面数字是6，
由图2可知：6的对面数字是x，
∴x的值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键．
17．
【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：

．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
18．
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集为：；
【点睛】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握解不等式的方法进行解题．
19．，．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：原式

∵，
∴，
原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．见解析
【分析】方法一：取中点D，连接．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论；
方法二：过A作垂线段，交于D．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论；
方法三：作的角平分线，交于点D．利用证明，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】解：方法一，
证明：如图，取中点D，连接．则，

∵，，
∴，
∴；
方法二：
证明：如图，过A作垂线段，交于D．

∵，，
∴，
∴；
方法三：
证明：如图，作的角平分线，交于点D．

∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)矩形，证明见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，结合可得，即可证明；
（2）根据矩形的性质得到，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
【详解】（1）解：在中，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）矩形，
当是矩形时，，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握特殊四边形的判定和性质定理．
22．(1)，
(2)

【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解．
（2）根据题意结合解出不等式即可求解．
【详解】（1）解：将，代入函数解析式得，
，解得，
∴函数的解析式为：，
当时，得，
∴点A的坐标为．
（2）由题意得，
，即，
又由，得，
解得，
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．
23．(1)7；
(2)91；
(3)

【分析】（1）根据图表由大到小数即可得出结论；
（2）根据中位数的定义，可以得到结论；
（3）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论；
【详解】（1）2月14日观影人数是99人，在这21天中从高到低排名第7；
故答案为：7；
（2）∵抽取的日期天数为奇数，
∴中位数为最中间的一个数；
∵30≤x＜60，60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180的数据分别为：2，8，7，3，1；
∴中位数是第11个数，在90≤x＜120这组数据：91，92，93，93，95，98，99，
里面的第一个数据，
∴中位数为91，
故答案为：91；
（3）∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
从图中数据波动幅度可知，第一周（1月31日至2月6日）观影人数数据波动最大，第二周（2月7日至2月13日）观影人数数据波动最小，
∴；
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，涉及中位数，方差，用样本估计总体等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）连接，可知，根据圆周角定理即可证明；
（2）连接，根据垂径定理的推论，可知，可证，根据同弧所对圆周角相等可知，再证即可知，进而可证明是的切线．
【详解】（1）
连接，
∵
∴
∵
∴
∵、
∴
（2）
连接，
∵点是的中点，且位于上
∴于点G
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴即
∴是的切线．
【点睛】本题考查了垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论、等腰三角形的判定及性质、平行线的判定、切线的判定等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
25．(1)；小石此次训练的成绩m
(2)

【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出、的值，训练高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出的值即可得出函数解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出铅球落地点的水平距离和，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
，，
即该运动员竖直高度的最大值为，
根据表格中的数据可知，当时，，代入得：
，
解得：，
函数关系式为：，
由表格数据可知：第一次训练时的水平距离为8m；
（2）解：根据表格可知，第一次训练时的水平距离，
第二次训练时，当时，，解得
，（舍）
水平距离，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，得出和是解题的关键．
26．（1）A（0，2）；对称轴是x＝2；（2）7；（3）或．
【分析】（1）把x＝0代入抛物线解析式，即可求出点A坐标，将抛物线配方成顶点式，即可求出对称轴；
（2）根据抛物线开口向上，当时，y的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2，即可求出a=1，根据抛物线性质即可求出当x＝5时，y有最大值，；
（3）根据已知条件分点P、Q都在对称轴x=2左侧、右侧、P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧三种情况分类讨论，综合比较即可求解．
【详解】解：（1）令x＝0则y＝2，
∴．点A坐标为（0，2）．
∵＝＝，
∴二次函数图象的对称轴是x＝2；
（2）∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵当时，y的最小值是－2，抛物线对称轴为x＝2，
∴2－4a＝－2，
解得a＝1.
∴二次函数表达式为，
∴在时，当x＝5时，y有最大值，；
（3）∵点 P（，），Q（，），且，，都有，
∴①当点P、Q都在对称轴x=2左侧时，，此时t+3≤2，解得t≤-1；
②当点P、Q都在对称轴x=2右侧时，，此时t≥2；
③当点P在对称轴x=2左侧，点Q在对称轴x=2右侧时，且，
此时2-（t+1）≥（t+3）-2或2-t≤（t+2）-2，解得t≤0,或t≥1，
综上所述，或．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键．
27．(1)，理由见解析；
(2)①如图；②结论：是等边三角形，理由见解析．

【分析】（1）根据，可知，，利用含角的直角三角形性质：角所对直角边等于斜边的一半，可得．
（2）①根据题意补全图形即可；
②延长至点使，连接，，根据可知，由，得是等边三角形，，， 根据，，可知，，得，，，由，得，由，可证明，可得，，，从而可证明是等边三角形．
【详解】（1）解：线段与的数量关系：．
证明： ，
．
，

；
（2）解：①补全图形，如图．

②结论：是等边三角形．
证明：延长至点使，连接，，如图．

，
．
，
是等边三角形．
，．
，，
，．
．
．
，  
，
．
，
（）
，．
．
是等边三角形．
【点睛】此题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合掌握相关知识点是解题关键．
28．(1)①；②
(2)或

【分析】（1）①根据近合点的定义进行求解即可；②根据题意可知线段的近合点在以A为圆心，半径为2的圆形区域和以B为圆心，半径为2的圆形区域内，据此求解即可；
（2）由题意可得，则线段的运动轨迹即为以T为圆心，以，为半径的两个圆组成的圆环上，进而得到如图2-1所示，当时，则线段的近合点在以T为圆心，，为半径的两个圆组成的圆环上，然后求出当外圆与内切时，当内圆与外切时，两种临界情况下的m的值，同理求出时，临界情况下的m的值即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴是线段的近合点，
故答案为：；
②由题意得，线段的近合点在以A为圆心，半径为2的圆形区域和以B为圆心，半径为2的圆形区域内，
∵直线上存在线段的近合点，
∴

（2）解：∵线段AB关于的对称线段为，且点T在直线l上，
∴，
∴线段的运动轨迹即为以T为圆心，以，为半径的两个圆组成的圆环上，
如图2-1所示，当时，则线段的近合点在以T为圆心，，为半径的两个圆组成的圆环上，
当外圆与内切时，
∴，即，
∴，
解得（正值舍去）；

如图2-2所示，当内圆与外切时，
∴，即，
∴，
解得（正值舍去）；
∴当时，满足题意；
同理当，可求得；
综上所述，或

【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，坐标与图形，正确确定对应线段的近合点的轨迹是解题的关键．