湖北省武汉市武昌区八校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份湖北省武汉市武昌区八校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省 武汉市武昌区八校联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．要使二次根式意义，则x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．用下列长度的线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（    ）
A．1.5，2，3， B．8，15，17 C．6，8，10 D．7，24，25
5．如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端4米处，大树折断之前的高度为（）

A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
6．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为5和11，则c的面积为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．5.5
7．如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（    ）

A．8 B． C． D．
8．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交，于、两点．若，，则的长度为（    ）

A．1 B．2 C． D．
9．如图，在平行四边形中，于点H，E是的中点，F是的中点，已知，，则的长为（    ）

A． B． C． D．
10．将等边折叠，使得顶点A与上的D重合，F为折痕，若，则（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题
11．化简：_______；________；___________．
12．已知是正整数，是整数，则的最小值为___________．
13．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、、是小正方形的顶点，则的度数为________．

14．点P是矩形的对角线的延长线上一点，，，则________度．

15．已知矩形中，，，，则矩形的面积为_________．

16．中，于E，于F，，，若点F刚好是CD的中点，则_____．


三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知，求下列各式的值：
（1）；     （2）．
19．已知：如图，点E，F分别为的边BC，AD上的点，且．求证：．

20．如图，小彭同学每天乘坐地铁上学，他观察发现，地铁D出口和学校O在南北方向的街道的同一边，相距80米，地铁A出口在学校的正东方向60米处，地铁B出口离D出口100米，离A出口米．

(1)求∠ABD的度数；
(2)地铁B出口离学校O的距离为_________米．
21．正方形网格中的每个小正方形的边长都是一个单位，每个小正方形的顶点叫做格点．已知均为格点，仅用无刻的直尺作出符合下列问题的图形．

(1)在图1中，线段________，__________度；
(2)在图1中，在上作出点使得；
(3)在图2中，交其中一条网格线于点，在平面中作一个点，使得，
(4)在图3中，点是格点，点在网格线上，将线段向左平移三个单位得线段．
22．已知，，，，动点P从点A出发，在线段上，以每秒1个单位的速度向点D运动：动点Q从点C出发，在线段上，以每秒2个单位的速度向点B运动，点P、Q同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t（秒）．

(1)当_______秒时，平分线段；
(2)当_______秒时，轴；
(3)当时，求t的值．
23．问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．
如图①，两条长度相等的线段和相交于O点，，直线与直线的夹角为，求线段、、满足的数量关系．
分析：考虑将、和集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：
如图②，作且，则四边形是平行四边形，从而；
由于，，所以是等边三角形，故；
通过平行又求得．
在中，研究三条线段的大小关系就可以了．
如图②，若，，，请直接写出线段的长__________；
问题解决：
如图③，矩形中，E、F分别是、上的点，满足，，求证：；
拓展应用：
如图④，中，，D、E分别在、上，、交于点O，，，若，，则____________．

24．矩形的边、在坐标轴上，点，其中a、b、c满足．
(1)求出a、b、c的值；
(2)如图，E是上一点，将沿折叠得，交x轴于点D，若，求的长；

(3)如图，点Q是直线上一动点，以为边作等腰直角，其中，O、Q、P按顺时针排列，当Q在直线上运动时，的最小值为____________．
  

参考答案：
1．C
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解∶根据题意，得，
解得．
故选∶C．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．D
【分析】根据最简二次根式的定义判定即可．
【详解】解：A、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题关键是熟练掌握最简二次根式的必须满足两个条件：（1）被开方数不含有开的尽方的因数或因式，（2）被开方数不含有分母．
3．B
【分析】根据二次根式的四则运算法则求解即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．A
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．B
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．
【详解】解∶如图，

米，米，，
折断的部分长为，
折断前高度为(米)．
故选：B
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
6．C
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积的面积的面积．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴b的面积的面积的面积，
∴c的面积的面积的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
7．D
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE= CE=AC= 2，利用勾股定理求出AB、 BC的长度，进而可得EF= AB=2， CF=BC=，即可得出答案．
【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵ AB= BC，
BE⊥AC， AE= CE=AC = 2，
由勾股定理得，
AB= BC=，
∵点F为BC的中点，
∴EF=AB=， CF=BC=，
∴∆CEF的周长为：+2= 2+ 2．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
8．A
【分析】根据邻补角求出∠DEO的度数，根据余角的定义求出∠ADO的度数，再根据平行四边形的性质及等边对等角可求出∠EAO和∠AOE的度数，根据等角对等边得出AE=EO，然后勾股定理可求得AE的值，最后根据中心对称的性质即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设OE=x,则DE=2x
在中，
即
解得：（负值已舍去）
∴，
∵矩形关于对角线交点中心对称，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
9．B
【分析】取的中点，连接，交于点O，连接，，，先证明≌，可得，，进而得出点A，O，C三点共线，可知是的中位线，再根据中位线的性质得，结合已知条件得出，然后根据三角形中位线的性质得，进而得出，可知是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出，接下来根据勾股定理求出，然后根据中位线的性质求出，可得答案．
【详解】解：取的中点，连接，交于点O，连接，，，

∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴．
∵点E是的中点，点G是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴≌，
∴，，
∴点A，O，C三点共线，  
∴．
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
∵点O是的中点，点G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，  
∴．
在中，．
∵点F是的中点，点G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理等，构造辅助线是解题的关键．
10．A
【分析】设，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用k表示即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，




故选：A
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，翻折变换，利用相似三角形的周长比等于相似比，再适当的用k表示边是关键．
11．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】；；
故答案为：；；．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质，会用二次根式的性质进行化简．
12．
【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，由此可以确定满足条件的最小正整数．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴的最小正整数值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的定义和乘法法则．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式；二次根式的乘法运算法则：．解题关键是把被开方数分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
13．
【分析】连接根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，由题意可得，

，，，
∴，，
∴，
∴ ，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理及等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据勾股定理求出，，，得到．
14．12
【分析】利用矩形的性质和可知，利用等边对等角、三角形内角和定理可求、的度数，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用矩形的性质证明是解题的关键．
15．20
【分析】连接，相交于点M，过A作轴，过C作轴，过B作轴，交于点G，交于点F，利用中点坐标公式关键方程组，可求a，b的值，然后利用割补法求矩形的面积即可．
【详解】解∶连接，相交于点M，过A作轴，过C作轴，过B作轴，交于点G，交于点F，
，
∵矩形，
∴M为，的中点，
又，，，
∴，
解得，
∴，，
∴矩形的面积为．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，中点坐标公式等知识，利用中点坐标公式求出a，b的值是解题的关键．
16．
【分析】利用等面积法求出，然后在中，利用勾股定理可得，最后解方程即可求解．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ，，
∴，，
又，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，即，
解得（负值舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，利用等面积法求出是解题的关键．
17．(1)；
(2)

【分析】（1）先化为最简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）将括号内的每一项与后面的相除即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（1）12；（2）．
【分析】先求出 ， ，
（1）然后利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
（2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ， ，
∴（1）；
（2）．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．见解析
【分析】先根据平行四边形的性质可得ADBC，进而可得AFEC、∠2=∠BCF,由可得∠1=∠BCF，即AECF,可得四边形AECF是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等即可证明结论．
【详解】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴ADBC
∴AFEC、∠2=∠BCF
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCF，
∴AECF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AF=CE．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，灵活运用平行四边形的性质和判定定理是解答本题的关键．
20．(1)
(2)米

【分析】（1）先由勾股定理求出米，再由勾股定理的逆定理判定出是等腰直角三角形，即可求解；
（2）过点B作交延长线于E，先证明得出米，米，从而求得米，然后在中，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴
由勾股定理得：(米)，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵(米)
∴．
（2）解：如图，过点B作交延长线于E，

由（1）知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴(米)，(米)，
∴(米)，
在中，由勾股定理得：
(米)．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
21．(1)，
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)见解析；

【分析】（1）根据网格上的单位长度求出，再利用勾股定理的逆定理即可解答；
（2）根据题意可知作的垂直平分线即可得到点；
（3）根据网格的单位长度计算出，再利用平移即可得到解答；
（4）根据题意平移即可解答．
【详解】（1）解：由图可知：，，，
∵，，
∴是直角三角形，，
故答案为：，；
（2）解：如图所示即可所求，
∵，
∴作线段的垂直平分线与线段相交于点，点即为所求．

（3）解：如图所示即为所求，
∵，
∴将点平移到点即可得到点，

（4）解：∵线段向左平移三个单位得线段，
∴如图即为所求；

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，平移的性质，学会运用勾股定理是解题的关键．
22．(1)7
(2)4
(3)秒

【分析】（1）设与相交于E，，得到，则，解之即可求解；
（2）过点D作于E，四边形是矩形，四边形是矩形，则，，所以，又因为，，所以，即可求解；
（3）作的平分线交于E，利用平行线性质与等腰三角形的判定、勾股定理，求得，再证明四边形是平行四边形，得，则，即可求解．
【详解】（1）解：如图，设与相交于E，

∵， ，
∴，
当平分线段时，则，
∵， ，
∴,，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴当 秒时，
（2）解：如图，过点D作于E，

当轴，即，
则四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
解得: ,
∴当秒时，轴；
（3）解：如图，作的平分线交于E，

则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
当时，则，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，  
∴
∴，
∴当时，秒．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质定理、矩形的判定与性质定理、勾股定理．
23．问题提出：；问题解决：见解析；拓展运用：
【分析】问题提出：过E作于点F，过点C作且，则四边形是平行四边形，从而；由于，，所以是等边三角形，故；通过平行又求得，分别在和中，利用勾股定理求解即可；
问题解决：作交于G，证明，再证是等腰直角三角形即可；
拓展运用：作且，然后类似“问题提出”求解即可．
【详解】问题提出：过E作于点F，过点C作且，

∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴ ，
在中，，，，
∴，，
∴，
中，，，，
∴；
问题解决：作交于G，连接，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
拓展应用：
作且，连接，过F作于M，

∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
中，，，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
24．(1)，，
(2)
(3)

【分析】（1）根据所给式子，结合二次根式有意义条件和非负数相加和为0,则两加数均为0进行求解即可；
（2）过点作交于点，根据折叠性质和矩形性质求出，，再根据“”证，得到，，设，得出，，，最后根据勾股定理列方程求解即可；
（3）过点作轴于，过点做轴，先根据等腰直角三角形性质得出，再根据“”证，得到，，根据，两点坐标求出直线的解析式，设，结合图象得出，从而得到点在直线上，作出直线与轴交于点，与轴交于点，过点作关于直线的对称点，连接，，，，与直线交于点，根据对称性质可知，则时，值最小，根据条件求出点即可得出的长，此题得解．
【详解】（1）∵，
∴，解得，
∴，
∴，解得，
∴，，；
（2）过点作交于点，则，

∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵沿折叠得到，
∴，，，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴；
（3）如图，当点在线段上时，过点作轴于，过点做轴，
  
∵是等腰直角三角形，且，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（1）知，，，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵，，且点在第二象限，点在第一象限，
∴点的横坐标和点的纵坐标相等为，
点的纵坐标和点的横坐标互为相反数为，
∴，则，
∴点在直线上（当点在延长线或延长线时，同理也得出相同结论）；
如图，作出直线与轴交于点，与轴交于点，过点作关于直线的对称点，连接，，，，与直线交于点，

令代入得，
解得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点和点关于直线对称，且点在对称轴上，
∴，
∴，
∴当时，值最小，
又∵点，都在对称轴上，
易证得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合，涉及到了有二次根式有意义的条件，非负数和为0的条件，折叠问题，矩形的性质全等三角形的性质与判定，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，线段最短问题，综合性较强，正确作出合适的辅助线是解题的关键．