上海市徐汇区2023届高三二模数学试题

上海市徐汇区2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，，则_________.

2．若角的终边过点，则的值为_____________.

3．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163  165  161  157  162  165  158  155  164  162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.

4．命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.

5．在正项等比数列中，，则______．

6．设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为___________.

7．如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________.

8．若，，则_________.

9．已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________.

10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则_________.

11．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.

12．已知数列满足：对于任意有，且，，其中.若，数列的前项和为，则_________.

二、单选题

13．设，则是为纯虚数的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

14．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

15．设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（    ）

A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题

16．如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（    ）

①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为.

A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题

17．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.

(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；

(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.

参考数据：

参考公式：

18．已知向量，，函数.

(1)设，且，求的值；

(2)在中，，，且的面积为，求的值.

19．如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别在，，且，.设.

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；

（2）当平面平面时，求的值.

20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E.

(1)当时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求的周长；

(2)当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；

(3)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值.

21．已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.

(1)函数，是否为函数﹖请说明理由；

(2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；

(3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.

参考答案：

1．/

【分析】首先求集合，再求.

【详解】，，

所以.

故答案为：

2．

【分析】由题意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得 ，由诱导公式化简，代入即可求解．

【详解】解：∵角α的终边过点P（4，﹣3），则 x＝4，y＝﹣3，r＝5，，

．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．

3．

【分析】计算，确定从小到大第个数即可.

【详解】，第25百分位数是从小到大第个数为.

故答案为：

4．

【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围.

【详解】由可得：，解得：或，

“若，则”是真命题，则能推出或成立，

则.故实数的取值范围是.

故答案为：

5．10

【分析】利用等比数列性质，将，转化为求解.

【详解】因为，

所以，

即，

因为数列是正项数列，

所以，

故答案为：.

6．

【分析】根据方差的性质，若，，，的方差为，则，，的方差为，计算即得答案.

【详解】根据题意，一组样本数据，，，的方差，

则数据，，，的方差为；

故答案为：.

7．/

【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.

【详解】设圆锥的母线长为，

所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，

所以，所以圆锥的高.

故圆锥的体积为：.

故答案为：.

8．

【分析】赋值，和，即可求解.

【详解】令，，

令，，

所以.

故答案为：

9．/

【分析】取，解得，根据面积得到，解得渐近线方程，再根据点到直线的距离公式计算得到答案.

【详解】取，则，解得，故，

即，解得或（舍），，

不妨取渐近线方程为，即，到渐近线的距离为.

故答案为：

10．

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】，，故.

故答案为：

11．

【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围.

【详解】①当时，在上单调递增，

所以，因此满足题意；

②当时，在上单调递增，在上单调递减

（i）当时，在上单调递增，

所以，则，

，

所以，，，

，，

，

或或

；

（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以

，即，

；

综上，的取值范围为.

故答案为：

12．

【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出.

【详解】因为，则，

由，，可得，

，所以是以为首项，1为公差的等差数列，

所以，，，则，

所以，

所以

.

故答案为：

13．B

【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果.

【详解】对于复数，若，则不一定为纯虚数，可以为；

反之，若为纯虚数，则，

所以是为纯虚数的必要非充分条件.

故选：B.

14．B

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为,所以错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为，

讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.

故选:B.

15．C

【分析】首先画出函数的图象.根据二次函数的对称性得，根据得，从而求得的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出的根，再对根的大小分类讨论，并结合的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假.

【详解】当时，，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和；

当时，，图象过，如图所示.

对于①，当方程有四个不同的实根、、、时，不妨假设，

则，，且，，

所以，所以.

因此，，

所以，故①为真命题.

对于②，方程等价于且，所以或.

当时，，由的图象得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根；

当时，，由的图象得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；

当时，，由的图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根；

当时，，由的图象得有1个实根，故原方程有1个实根；

当且时，且，由的图象得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根；

综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6.

故②为假命题.

故选：C

16．D

【分析】①当点为中点时，证明平面；②当点与重合时，在平面上，在平面外，说明不成立；③点是线段的中点，利用弦长公式求弦长；④当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，利用③的结果求圆的面积.

【详解】当为中点时，， ，

平面，平面，

平面平面，平面，，同理，，平面,

所以平面，即平面，故①正确；

当与重合时，在平面上，在平面外，故②不正确；

如图，点是线段的中点，由对称性可知，

由勾股定理可知易知，

球心到距离为，

则被球截得的弦长为

故③正确；

当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是，

面积为，故④正确.

故选：D.

17．(1)列联表、答案见解析

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据表格数据，完成列联表，并计算，并和参考数据，比较后即可判断；

（2）根据二项分布求概率，再求分布列和数学期望.

【详解】（1）完成列联表如下，

提出原假设年龄与所持态度无关，

确定显著性水平，

，，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相关性.

（2）依题意，服从二项分布，

故，,

,,

,

所以分布列如下表，

所以.

18．(1)或

(2)

【分析】（1）化简得到，代入数据得到，得到，根据范围得到答案.

（2）确定，根据面积公式得到，根据余弦定理得到，得到，再根据正弦定理得到答案.

【详解】（1）.

，得，

故，，故或.

（2）， 由（1）知，

在中，设内角、的对边分别是，则，故.

由余弦定理得，故.

解得 或，于是，

由正弦定理得 ，故.

19．（1）60°（2）

【分析】（1）推导出平面ABC，AC，建立分别以AB，AC，为轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE与所成角．

（2）推导出平面的法向量和平面的一个法向量，由平面平面，能求出的值．

【详解】解：因为直三棱柱，

所以平面，

因为平面，

所以，，

又因为，

所以建立分别以，，为轴的空间直角坐标系.

（1）设，则，，

各点的坐标为，，，.

，.

因为，，

所以.

所以向量和所成的角为120°，

所以异面直线与所成角为60°；

（2）因为，，

，

设平面的法向量为，

则，且.

即，且.

令，则，.

所以是平面的一个法向量.

同理，是平面的一个法向量.

因为平面平面，

所以，

，

解得.

所以当平面平面时，.

【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20．(1)

(2)证明见解析，

(3)；

【分析】（1）的周长为，计算得到答案.

（2）确定椭圆和直线方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据向量的关系得到，代入化简得到答案.

（3）根据离心率得到椭圆方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据和为定值得到，计算点到直线的距离，根据面积公式结合均值不等式计算得到最值.

【详解】（1）当时，椭圆：，的周长为；

（2）当且直线过点时，椭圆：，直线斜率存在，，

联立，消去得：，

恒成立，

设，，则 ，

由，点的横坐标为0，

考虑向量横坐标得到，， 从而，

，所以为定值3；

（3），解得，故椭圆方程，联立，

消元得，

，即，

设，，则，，

则

，

当 为定值时，即与无关，故，得，

此时，

又点到直线的距离，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

经检验，此时成立，所以面积的最大值为1 .

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定值问题，面积的最值的问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方法是考试的常考方法，需要熟练掌握.

21．(1)是，理由见解析

(2)

(3)，

【分析】（1）根据函数的定义，即可证明；

（2）分为在区间上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据函数的性质，列式求解；

（3）首先根据函数是函数，构造函数，再求函数的导数，参变分离后转化为求函数的值域，并求.

【详解】（1）是函数，理由如下，

对任意，，

，故

（2）（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减，

由，即，得，

又，，则，（构造时，等号成立），

所以；

（ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增，

由，同理可得，

又，，则，（构造时，等号成立），

所以；

综上所述：所求取值范围为；

（3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设，

此时，

由为函数，得恒成立，即

恒成立，

设，则为上的减函数，，得对恒成立，

易知上述不等号右边的函数为上的减函数，

所以，所以的取值范围为，

此时，

法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数，

法2：，

因为，当，，所以为上的增函数，

由题意得，，.

【点睛】本题考查函数新定义，以及理由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解函数的定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证.