2023年中考第一次模拟考试卷数学（江苏扬州卷）（全解全析）

这是一份2023年中考第一次模拟考试卷数学（江苏扬州卷）（全解全析），共29页。试卷主要包含了比﹣5小6的数是 　﹣11　等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
C
A
D
A
D
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）-2的倒数是（　　）
A．-2 B．2 C．-22 D．22
【分析】根据倒数定义可知，-2的倒数是-22．
【解答】解：-2的倒数是-22．
故选：C．
【点评】主要考查倒数的定义，解决本题的关键是要求熟练掌握倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）已知点A（x，x﹣2），不论x取何值，点A不会在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限的坐标特点得到四个不等式组x＞0x-2＞0，x＜0x-2＞0，x＜0x-2＜0，x＞0x-2＜0，然后分别解不等式组，通过解集的情况进行判断．
【解答】解：因为x＞0x-2＞0的解集为x＞2，所以点A可能在第一象限；
因为x＜0x-2＞0无解，所以点A不可能在第二象限；
因为x＜0x-2＜0的解集为x＜0，所以点A可能在第三象限；
因为x＞0x-2＜0的解集为0＜x＜2，所以点A可能在第四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标：在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应．
3．（3分）为响应“创新驱动发展”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人．已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元．设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（　　）
A．3x=2y7x+2y=39000 B．3x=2y4x+7y=39000
C．2x=3y7x+4y=39000 D．2x=3y4x+7y=39000
【分析】根据“购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，
∴2x＝3y；
∵购买4架航拍无人机和7个编程机器人共需39000元，
∴4x+7y＝39000．
∴可列方程组为2x=3y4x+7y=39000．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（3分）下列事件中，随机事件的个数为（　　）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④任意买一张电影票，座位号是2的倍数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上，是随机事件；
②13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件；
③某人买彩票中奖，是随机事件；
④任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件．
故选：C．
【点评】本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
5．（3分）一个几何体的正视图如图所示，则这个几何体可能为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据正视图是从正面看到的直接写出结论即可．
【解答】解：∵三视图为矩形，
∴只有圆柱符合要求，
故选：A．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解圆柱的正视图是矩形，比较简单．
6．（3分）一块三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如图所示），假如只带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅切一块与以前一样的玻璃，你认为下列说法正确的是（　　）

A．带其中的任意两块去都可以
B．带1、4或2、3去就可以
C．带1、3或3、4去就可以
D．带1、4或2、4去就可以
【分析】带2、4虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形．
【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，
带1、4可以用“角边角”确定三角形，
带2、4可以延长还原出原三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．
7．（3分）如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，若∠MON＝54°，则∠APB的度数为（　　）

A．153° B．144° C．163° D．162°
【分析】通过证明△AOP∽△POB可得∠OAP＝∠OPB，即可解决问题．
【解答】解：∵OP平分∠MON，
∴∠AOP＝∠BOP＝27°，
∵OA•OB＝OP2，即OAOP=OPBO，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，
∴∠OAP+∠APO＝153°，
∴∠OPB+∠APO＝153°，即∠APB＝153°，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数y1=mx的图象经过点A，反比例函数y2=nx的图象经过点B，若n＝﹣1，则m的值是（　　）

A．1 B．3 C．2 D．3
【分析】根据∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，可求出OA与OB的比，设出点B的坐标，再根据相似三角形的性质，求出点A的坐标，进而求出m的值．
【解答】解：过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，
∴tan30°=OBOA=33，
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∴∠ONB＝∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴AOM＝∠BON，
∴△BON∽△OAM，
∴OBOA=ONMA=BNOM33，
设ON＝a，BN＝b，则MA=3a，OM=3b，
∴B（﹣a，b），A（3b，3a），
∵反比例函数y2=nx的图象经过点B，n＝﹣1，
∴反比例函数y2=nx的解析式为y2=-1x，
∴ab＝1，
∵点A在反比例函数y1=mx的图象上，
∴m=3a•3b＝3ab＝3，
故选：D．

【点评】考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反比例函数图象上点的坐标是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）比﹣5小6的数是 　﹣11　．
【分析】计算﹣5﹣6，即可．
【解答】解：﹣5﹣6＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是关键．
10．（3分）已知y=3-x+2x-3+2．那么x＝　3　．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数求得x＝3．
【解答】解：根据题意知，3﹣x≥0且x﹣3≥0．
所以x＝3．
故答案是：3．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
11．（3分）分解因式：mx2﹣4mx+4m＝　m（x﹣2）2　．
【分析】原式提取公因式m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（x2﹣4x+4）
＝m（x﹣2）2．
故答案为：m（x﹣2）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）已知关于x的方程x2＝m有两个相等的实数根，则m＝　0　．
【分析】将原方程变形为一般式，由根的判别式Δ＝0可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
【解答】解：原方程可变形为x2﹣m＝0．
∵该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝02﹣4×1×（﹣m）＝0，
∴m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
13．（3分）已知：在同一个平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）和一次函数y2＝﹣x+3，若y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），当﹣2≤x≤0时，y1≤y2都成立，则k的取值范围是 　﹣3≤k≤﹣1　．
【分析】求得x＝﹣2时y2的函数值，然后利用待定系数法求得k的值，根据图象即可求得当﹣2≤x≤0时，y1≤y2都成立，k的取值范围．
【解答】解：把x＝﹣2代入y2＝﹣x+3得，y＝2+3＝5，
∴直线y2＝﹣x+3过得（﹣2，5），
∵y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），
∴若y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，5）时，满足当﹣2≤x≤0时，y1≤y2成立，
∴把（﹣2，5）、（﹣1，2）代入y1＝kx+b得-2k+b=5-k+b=2，解得k＝﹣3，
∴当﹣2≤x≤0时，y1≤y2都成立，则k的取值范围是﹣3≤k≤﹣1，
故答案为：﹣3≤k≤﹣1．

【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，结合图象解答此题的关键．
14．（3分）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n的关系为E＝k×101.5n（其中k为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 　1000　倍．
【分析】由题意列出算式：k×101.5×8k×101.5×6，进行计算即可得出答案．
【解答】解：由题意得：k×101.5×8k×101.5×6=1012109=1000，
故答案为：1000．
【点评】本题考查了科学记数法，理解能量E与震级n的关系，掌握同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
15．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，…xn的方差是3，则另一组数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…2xn+3的方差是 　12　．
【分析】先设这组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x，由方差S2＝3，则另一组新数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…2xn+3的平均数为2x+3，方差为S′2，代入公式S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]计算即可．
【解答】解：设这组数据x1，x2，x3，…xn的平均数为x，则另一组新数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，…2xn+3的平均数为2x+3，
∵S2=15[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]
＝3，
∴方差为S′2=15[（2x1+3﹣2x-3）2+（2x2+3﹣2x-3）2+…+（2xn+3﹣2x-3）2]
=15[4（x1-x）2+4（x2-x）2+…+4（xn-x）2]
＝4×3
＝12，
故答案为12．
【点评】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
16．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝4，S△ABC=43，则tan∠ACB＝　 　．
【分析】过点B作BD⊥AC，先利用三角形的面积求出BD，再利用直角三角形的边角关系求出三角形顶角的正切，求出顶角的度数，最后利用等腰三角形的性质求出∠ACB的度数和其正切值．
【解答】解：如图所示：过点B作BD⊥AC，垂足为D．

∵AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C．
∵S△ABC=12AC×BD，S△ABC=43，
∴BD＝23．
在Rt△ABD中，
∵sinA=BDAB=32，
∴∠A＝60°．
∴∠C=12（180°﹣60°）＝60°．
∴tan∠ACB＝tan60°=3．
如图所示：过点B作BD⊥AC，垂足为D.

∵AB＝AC＝4，
∴∠ABC＝∠C．
∵S△ABC=12AC×BD，S△ABC=43，
∴BD＝23．
在Rt△ABD中，
∵sin∠DAB=BDAB=32，
∴∠DAB＝60°．
∴∠ACB＝30°．
∴tan∠ACB＝tan30°=33．
故答案为：3或33．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质及三角形的面积公式是解决本题的关键．
17．（3分）如图，AD∥BC，∠ADC＝120°，∠BAD＝3∠CAD，E为AC上一点，且∠ABE＝2∠CBE，在直线AC上取一点P，使∠ABP＝∠DCA，则∠CBP：∠ABP的值为 　2或4　．

【分析】分两种情况进行解答，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
【解答】解：如图，①当∠ABP1＝∠DCA时，即∠1＝∠2，
∵∠D＝120°，
∴∠1+∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵∠BAD＝3∠CAD，∠ABE＝2∠CBE，AD∥BC，
∴3∠3+3∠EBC＝180°，
∴∠3+∠EBC＝60°，
∴∠EBC＝∠1＝∠2＝∠P1BE，
∴∠CBP1：∠ABP1的值为2，
②当∠ABP2＝∠DCA时，∴∠CBP2：∠ABP2的值为4，
故答案为：2或4．

【点评】考查三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
18．（3分）在△ABC中，∠B＝60°，BC＝3，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE折叠△ABC，使点A落在直线BC上，点A的对应点为A'，若A'C＝1，则AB的长为 　4或8　．
【分析】分∠C为锐角和钝角两种情形，分别画出图形，利用含30°角的直角三角形的性质可解决问题．
【解答】解：①如图，当A的对称点A'在线段BC上时，

则AA'⊥DE，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴AA'⊥BC，
∵BC＝3，
∴BA'＝BC﹣A'C＝3﹣1＝2，
在Rt△ABA'中，∠B＝60°，
∴∠BAA'＝30°，
在Rt△ABA'中，
AB＝2A'B＝2×2＝4；
②如图，当A的对称点A'在线段BC的延长线上时，

由对称性知AA'⊥DE，
∵∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵DE⊥AA'，
∴AA'⊥BC，A'B＝BC+CA'＝3+1＝4，
在Rt△AA'B中，∠B＝60°，
∴∠BAA'＝30°，
∴AB＝2A'B＝2×4＝8，
综上，AB的长为：4或8，
故答案为：4或8．
【点评】本题主要考查了翻折变换，三角形中位线定理等知识，含30°角的直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
三．解答题（共10小题，满分96分）
19．（8分）（1）计算：|3-2|+20100-(-13)-1+3tan30°．
（2）先化简，再求值：(x2+4x-4)÷x2-4x2+2x，其中x＝﹣1．
【分析】（1）此小题为有理数的混合运算，只需按混合运算的运算顺序计算即可；
（2）此小题为求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．
【解答】解：（1）|3-2|+20100-(-13)-1+3tan30°，
＝2-3+1﹣（﹣3）+3×33，
＝2-3+1+3+3，
＝6；

（2）(x2+4x-4)÷x2-4x2+2x，
=(x-2)2x•x(x+2)(x+2)(x-2)，
＝x﹣2；
当x＝﹣1时，原式＝x﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算及分式的化简求值，比较基础，属于中考中常见题型，同学们要牢固掌握．
20．（8分）解不等式组：5x+2＞3(x-1)①x-2≤14-3x②，并写出这个不等式组的所有整数解．
【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，从而可以求得满足不等式组的整数解．
【解答】解：解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴这个不等式组的所有整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
21．（8分）为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 　60　；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中α的值为 　20　，圆心角β的度数为 　144°　；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？

【分析】（1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量；
（2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数；
（3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角；
（4）先算出低于24小时的学生的百分比，再估算出全校低于24小时的学生的人数．
【解答】解：（1）本次抽样的人数610%=60（人），
∴样本容量为60，
故答案为：60；
（2）C组的人数为40%×60＝24（人），
补全统计图如下：

（3）A组所占的百分比为1260×100%＝20%，
∴a的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为：20，144°；
（4）总时间少于24小时的学生的百分比为12+1860×100%＝50%，
∴估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有2000×50%＝1000（名），
答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名．
【点评】本题主要考查统计图形的应用，能看懂统计图是关键，一般求总量所用的公式是一个已知分量除以它所占的百分比，第一问基本都是求总量，所以要记住，估算的公式是总人数乘以满足要求的人数所占的百分比，这两种问题中考比较爱考，记住公式，平时要多加练习．
22．（8分）刘芳和李琴周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，她们可随机选择一个入口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同．
（1）她们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为 　14　；
（2）用树状图或列表法，求她们两人选择不同入口进入植物园的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中刘芳和李琴两人选择不同入口进入植物园的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从B入口处进入的概率为14，
故答案为：14；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中刘芳和李琴两人选择不同入口进入植物园的结果有12种，
∴她们两人选择不同入口进入植物园的概率为1216=34．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，由题意：甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．列出分式方程，解方程即可；
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，由题意：需改造的道路全长为1800米，安排甲、乙两个工程队同时开工，列出一元一次方程，解得m＝18，再求出总费用即可．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：240x-2401.5x=2，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：60m+40m＝1800，
解得：m＝18，
则18×7+18×5＝216（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，DF平分∠BAD交BC于E，DF平分∠ADC交BC于F．
（1）求证：BF＝EC；
（2）若E为BC的三等分点（靠近C点），AE＝23，DF＝2，求直线AB与CD之间的距离．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定即可得结论；
（2）过点B作BG⊥AE于G，过点C作CH⊥DF于H，由AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，可证得AE⊥DF，再证△BGE≌△FHC，根据平行四边形的面积和三角形面积之间的关系即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
同理，CD＝FC，
∴BE＝FC，BF＝EC；
（2）如图，过点B作BG⊥AE于G，过点C作CH⊥DF于H，

∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠EAD=12∠BAD，∠FDA=12∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠EAD+∠FDA＝90°，
∴AE⊥DF，
∴CH∥AE，
∴∠HCF＝∠GEB，
∵∠BGE＝∠FHC＝90°，
∵BE＝FC，
∴△BGE≌△FHC（AAS），
∴BE＝DC，
∵BE＝FC，
∴FC＝DC，
∵CH⊥DF，
∴FH=12DF＝1
同理CH＝EG=12AE=3，
∴FC＝2，
∴S△DFC=12×2×3=3，
∵E为BC的三等分点，
∴S△BCD=32S△DFC=332，
∴S四边形ABCD＝2S△BCD=33
设直线AB与CD的距离为h，
∵CD＝FC＝2，
∴2h=33，
∴h=332．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25．（10分）如图，已知：以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．AF＝5，EF＝10，
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求sin∠CBE的值．

【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EF．
（2）通过证明△EFA∽△BFE，得出EF2＝AF•FB，求出半径．
（3）求sin∠CBE，即求sin∠ABE，由△EFA∽△BFE，得出AE：BE＝EF：BF＝2，在△ABE中由勾股定理求出AE，从而得出结果．
【解答】（本题满分7分）
（1）证明：连接OE，
∵BE是∠B的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．（1分）
∴OE⊥AC．（2分）
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF．
∵E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（3分）

（2）解：∵EF∥AC，
∴∠FEA＝∠EAC．
∵∠EAC＝∠EBC，
又∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠FEA＝∠ABE．
又∵∠F＝∠F，
∴△EFA∽△BFE．（5分）
∴EFAF=FBEF．
∴EF2＝AF•FB＝15．
∴⊙O的半径长7.5．（6分）

（3）解：∵△EFA∽△BFE，
∴EFAF=AEBE=12AEBE．
设AE＝k，BE＝2K，
∵∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2∴k2+4k2＝152k＝35．
∴AE＝35．
∴sin∠ABE=55．
∴sin∠CBE＝sin∠ABE=55．（7分）

【点评】（1）连接半径是证明切线常用的辅助线的作法．
（2）求三角函数值，经常是根据定义，放在直角三角形中去求．
26．（10分）小颖复习尺规作图时，将Rt△ABC（∠ACB＝90°）进行如下操作（如图）：
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；
②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交射线BH于点O；
③作射线CO交AB于点D，且∠CDA＝90°，以点O为圆心，OD为半径作⊙O，交AC于点E，交BC于点F，构成如图所示的阴影部分．
（1）求证：Rt△ABC是等腰直角三角形；
（2）若AC＝2，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）证明CA＝CB，可得结论；
（2）利用面积法求出OD，可得结论．
【解答】（1）证明：由作图可知，OA，OB是∠CAB，∠CBA的角平分线，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝45°，
∵∠CDA＝90°．
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）解：∵AC＝CB＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝22，
由题意，点O是△ABC的内心，
∴S△ABC=12•AC•BC=12•（AC+BC+AB）•OD，
∴OD＝2-2，
∴S阴＝S△ABC﹣S圆O=12×2×2﹣π•（2-2）2＝2﹣（6﹣42）π．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
27．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BCAC=n．
（1）求ADBD；
（2）当n=3时，E为边AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且CFEF=12．若∠EFB＝60°，AC＝4，求BE的长；
（3）如图，延长CA到点G，使AG＝CA，连接GD，则tan∠GDA＝　n2　．

【分析】（1）如图1，利用直角三角形两内角互余，可以证得∠A＝∠DCB，又tan∠A=BCAC=n，所以tan∠A=DCAD=n，tan∠DCB=BDDC=n，设AD＝x，则DC＝nx，BD＝n2x，代入到所求式子中，化简即可求得；
（2）如图2，由（1）可得，当n=3时，∠A＝∠DCB＝60°，由∠EFB＝∠DCB＝60°，可以证得∠DCE＝∠FCB，过F作FN⊥BC于N，可以证得△DCE∽△NBF，由于直角△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，利用勾股定理或三角函数，可以解直角△ABC，直角△ADC，直角△BCD，利用CFEF=12，可以证得△CFN∽△CEQ，且相似比为1：3，从而可以用x表示出FN和BN长，利用△DCE∽△NBF，列出比例式，即可求解；
（3）由于AG＝AC，且题目要求的是tan∠GDA，故可以构造一个“中线倍长”模型，即过G点作AB的垂线于H，先证明△GHA≌△CDA，再利用（1）中结论CDAD=n，设AD＝x，接着分别表示出GH和DH长度，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，
又∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
同理，∠B＝∠ACD，
∵tan∠A=BCAC=n，
∴tan∠BCD＝n，
∴CDAD=n，BDCD=n，
设AD＝x，则CD＝nx，BD＝n2x，
∴ADBD=xn2x=1n2；
（2）如图2，分别过E，F作BC的垂线，垂足分别为N，Q，

过C作CD⊥AB于D，
∵tan∠BAC=BCAC=3，
∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠B＝30°，
过C作CDAB于D，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝4，
∴AD=12AC=2，AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝6，
BC=AB2-AC2=43，
∴CD=12BC=23，
设DE＝x，则BE＝6﹣x，
∵FN⊥BC，EQ⊥BC，
∴∠CNF＝∠CQE＝90°，
∴FN∥EQ，
∴△CFN∽△CEQ，
∵CFEF=12，
∴CFCE=FNEQ=CNCQ=13，
在直角△EQB中，∠B＝30°，BE＝6﹣x，
∴EQ=12BE=3-12x，
∴BQ=BE2-EQ2=33-32x，
∴CQ＝BC﹣BQ=3+32x，
FN=13QE=1-16x，
∴CN=13CQ=33+36x，
∴BN＝BC﹣CN=1133-36x，
∵∠DCB＝90°﹣∠B＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠DCB＝∠EFB，
∴∠DCE+∠ECB＝∠ECB+∠NBF，
∴∠DCE＝∠NBF，
∵∠CDE＝∠BNF＝90°，
∴△CDE∽△BNF，
∴DECD=FNBN，
∴x23=1-16x1133-36x，
解得x＝12±233，
∵DE＝x＜6，
∴DE＝x＝12-233，
∴BE＝6﹣x=233-6；
（3）如图3，过G作GH⊥BA交其延长线于H，

∴∠GHA＝∠CDA＝90°，
在△GHA与△CDA中，
∠GHA=∠CDA∠GAH=∠CADAG=AC，
∴△GHA≌△CDA（AAS），
∴AH＝AD，GH＝CD，
由（1）可得，CDAD=n，
∴设AD＝y，则CD＝ny，
∴GH＝CD＝ny，
DH＝2AD＝2y，
∴tan∠GDA=GHDH=ny2y=n2，
故答案为n2．
【点评】本题是一道三角形综合题目，注意利用已知条件去构造相似三角形，或者全等三角形是解决本题的关键，比如（2）中的线段比为1：2，可以利用此条件去构造相似，（3）中的中点条件，构造“中线”倍长模型，此题对学生的运算能力也有一定要求．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
（3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得a-b+6=09a+3b+6=0，解得a=-2b=4，即可得出结论；
（2）由待定系数法得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，证△OMN≌△HOK（AAS），得MN＝OK，ON＝HK．则H（﹣2m+6，﹣m），再由点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，得﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，解得m=65，即可解决问题；
（3）分两种情况讨论，①当CD为菱形的边时，②当CD为菱形的对角线时，分别求出点Q的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴a-b+6=09a+3b+6=0，
解得：a=-2b=4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
（2）由（1）得，点C（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6），
∴3k+c=0c=6，
解得：k=-2c=6
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），
如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，

则∠MNO＝∠OKH＝90°，
∵OH⊥OM，
∴∠MOH＝90°，
∵∠OMB＝45°，
∴△MOH是等腰直角三角形，
∴OM＝OH．
∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°，
∴∠MON＝∠OHK，
∴△OMN≌△HOK（AAS），
∴MN＝OK，ON＝HK．
∴H（﹣2m+6，﹣m），
∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，
∴﹣2（﹣2m+6）＝﹣m，
解得：m=65，
把m=65代入y＝﹣2x+6得：y=185，
∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（65，185）；
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D，
∴点D的坐标为（1，8），
分两种情况讨论：
①当CD为菱形的边时，
如图2，过C作CE⊥DQ于E

∵C（0，6），D（1，8），
∴CD=(1-0)2+(8-6)2=5，
∴DQ＝CD=5，
∴Q点的坐标为（1，8-5）或（1，8+5）；
②当CD为菱形的对角线时，
如图3，设点Q（1，m），P（0，n），

∵C（0，6），D（1，8），
∴m+n＝6+8＝14，
∴n＝14﹣m，
∴P（0，14﹣m），
∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，
∵CQ=(1-0)2+(m-6)2=1+(m-6)2，PC＝CQ，
∴8﹣m=1+(m-6)2，
解得：m=274，
∴点Q的坐标为（1，274）；
综上所述，点Q的坐标为（1，8-5）或（1，8+5）或（1，274）．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．