2023年广东省珠海市第十中学中考数学一模试卷
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这是一份2023年广东省珠海市第十中学中考数学一模试卷,共24页。试卷主要包含了﹣2的倒数是,已知点P,下列运算正确的是,不等式组的解集在数轴上表示为等内容,欢迎下载使用。
2023年广东省珠海十中中考数学一模试卷
一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.﹣2的倒数是( )
A.2 B. C.﹣2 D.
2.已知点P(x,﹣2)与点Q(4,y)关于原点对称点,则x+y的值是( )
A.2 B.﹣2 C.﹣4 D.4
3.下列运算正确的是( )
A.2x2+3x3=5x5 B.(﹣2x)3=﹣6x3
C.(x+y)2=x2+y2 D.(3x+2)(2﹣3x)=4﹣9x2
4.如图,AB∥CD,CE⊥AD,垂足为E,若∠A=40°,则∠C的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.90°
5.某家书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表:
书名
《西游记》
《水浒传》
《三国演义》
《红楼梦》
销售量/本
180
120
125
85
依据统计数据,为了更好地满足读者需求,该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》,你认为最影响该书店决策的统计量是( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
6.如图,三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=8,则BD的长为( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
7.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是( )
A. B.
C. D.
8.不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
9.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深两寸,锯道长八寸,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深2寸(ED=2寸),锯道长8寸”,问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是( )
A.5寸 B.8寸 C.10寸 D.12寸
10.如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上,第二象限的点B在反比例函数y=的图象上,且OA⊥OB,tanA=2,则k的值为( )
A.4 B.8 C.﹣4 D.﹣8
二.填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.分解因式:4a2﹣1= .
12.五边形的内角和为 度.
13.分式方程的解是 .
14.若一次函y=3x﹣7的图象过点(m,n),则n﹣3m+2= .
15.定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.例:如图1,四边形内接于⊙O,AB=AD.则四边形ABCD是等补四边形.
探究与运用:如图2,在等补四边形ABCD中,AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F,若CD=10,AF=5,则DF的长为 .
三.解答题一(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
16.计算:.
17.先化简,再求值:(1+)÷,其中a=﹣3.
18.如图,点E是▱ABCD的CD边的中点,AE、BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,求▱ABCD的周长.
四.解答题二(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
19.小李在某网店选中A,B两款玩偶,决定从该网店进货并销售,两款玩偶的进货价和销售价如表:
类别
价格
A款
B款
进货价(元/个)
40
30
销售价(元/个)
56
45
(1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玩偶分别购进了多少个?
(2)第二次进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半,小李计划购进两款玩偶共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
20.2020年,新冠肺炎疫情突如其来,各大中小幼学校延期开学,实行“停课不停教不停学”,网络直播教学成为其中最常见的教学方式,某区为了解九年级老师使用线上授课软件情况,在4月份某天随机抽查了若干名老师进行调查,其中A表示“一起中学”,B表示“腾讯会议”,C表示“腾讯课堂”,D表示“QQ群课堂”,E表示“钉钉”,现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表:
组别
使用人数(人)
占调查人数的百分率
A
3
5%
B
12
20%
C
a
35%
D
15
c
E
b
15%
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)b= ,并将频数分布直方图补充完整;
(2)已知该区共有九年级老师500人,请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人?
(3)该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况,已知A组有理科老师2人,文科老师1人,请用列举法求出抽取两名老师都是理科的概率.
21.如图,在⊙O中,AB是直径,弦CD⊥AB,垂足为H,E为上一点,F为弦DC延长线上一点,连接FE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,若FE=FP.
(1)求证:FE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为8,sinF=,求BG的长.
五.解答题三(本大题共2小题,每小题12分,共24分)
22.如图,点A(m,3)为函数图象上一点,连接OA,点B在线段OA上,且OA:OB=3,C是x轴的正半轴上一点,连接AC,S△ABC=6.
(1)求点B的坐标;
(2)若M是线段AC上一点,且∠AOM=15°,求△OCM的面积.
23.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)和B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)如图1,连接BC,动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动,同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动,连接DE,当点E到达点C的位置时,D、E同时停止运动,设运动时间为t秒.当△BDE为直角三角形时,求t的值.
(3)如图2,在抛物线对称轴上是否存在一点Q,使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.﹣2的倒数是( )
A.2 B. C.﹣2 D.
【分析】根据倒数的定义即可求解.相乘等于1的两个数互为倒数.
解:﹣2的倒数是,
故选:D.
【点评】本题考查了倒数的定义,掌握倒数的定义是解题的关键.
2.已知点P(x,﹣2)与点Q(4,y)关于原点对称点,则x+y的值是( )
A.2 B.﹣2 C.﹣4 D.4
【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得x=﹣4,y=2,再计算x+y即可.
解:∵点P(x,﹣2)与点Q(4,y)关于原点对称点,
∴x=﹣4,y=2,
∴x+y=﹣4+2=﹣2.
故选:B.
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握坐标的变化规律.
3.下列运算正确的是( )
A.2x2+3x3=5x5 B.(﹣2x)3=﹣6x3
C.(x+y)2=x2+y2 D.(3x+2)(2﹣3x)=4﹣9x2
【分析】根据合并同类项,积的乘方,完全平方公式,平方差公式计算即可.
解:A选项,2x2与3x3不是同类项,不能合并,故该选项计算错误,不符合题意;
B选项,原式=﹣8x3,故该选项计算错误,不符合题意;
C选项,原式=x2+2xy+y2,故该选项计算错误,不符合题意;
D选项,原式=22﹣(3x)2=4﹣9x2,故该选项计算正确,符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查了合并同类项,积的乘方,完全平方公式,平方差公式,注意完全平方公式展开有三项.
4.如图,AB∥CD,CE⊥AD,垂足为E,若∠A=40°,则∠C的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.90°
【分析】根据平行线的性质,可得∠A=∠D=40°.根据垂直的定义,得∠CED=90°.再根据三角形内角和定理,可求出∠C的度数.
解:∵AB∥CD,∠A=40°,
∴∠D=∠A=40°.
∵CE⊥AD,
∴∠CED=90°.
又∵∠CED+∠C+∠D=180°,
∴∠C=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣90°﹣40°=50°.
故选:B.
【点评】本题考查了平行线的性质、垂直的定义和三角形内角和定理,熟练掌握两直线平行,内错角相等推断出∠D=∠A以及运用三角形内角和定理是解决本题的关键.
5.某家书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表:
书名
《西游记》
《水浒传》
《三国演义》
《红楼梦》
销售量/本
180
120
125
85
依据统计数据,为了更好地满足读者需求,该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》,你认为最影响该书店决策的统计量是( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量;方差、标准差是描述一 组数据离散程度的统计量.既然想要了解哪个货种的销售量最大,那么应该关注那种货种销的最多,故值得关注的是众数.
解:由于众数是数据中出现次数最多的数,故应最关心这组数据中的众数.
故选:B.
【点评】此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.
6.如图,三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=8,则BD的长为( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得BC的长,再据含30°角的直角三角形的性质可得BD的长.
解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=8,
∴BC=AB=4,∠B=60°,
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=30°,
∴BD=BC=2,
故选:B.
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质,熟练掌握这个性质是解题的关键.
7.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功地找到三角形内心的是( )
A. B.
C. D.
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断.
解:三角形内心为三角形内角平分线的交点,选项B中作了两个角的平分线.
故选:B.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质.
8.不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分确定出不等式组的解集,表示在数轴上即可.
解:,
由①得:x>﹣3;
由②得:x≤2,
∴不等式组的解集为﹣3<x≤2,
表示在数轴上,如图所示:
故选:C.
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集,以及解一元一次不等式组,求出不等式组的解集是解本题的关键.
9.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深两寸,锯道长八寸,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深2寸(ED=2寸),锯道长8寸”,问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是( )
A.5寸 B.8寸 C.10寸 D.12寸
【分析】设⊙O的半径为r.在Rt△AEO中,AE=4,OE=r﹣2,OA=r,则有r2=42+(r﹣2)2,解方程即可.
解:设⊙O的半径为r.
在Rt△AEO中,AE=4,OE=r﹣2,OA=r,
则有r2=42+(r﹣2)2,
解得r=5,
∴⊙O的直径为10寸,
故选:C.
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
10.如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上,第二象限的点B在反比例函数y=的图象上,且OA⊥OB,tanA=2,则k的值为( )
A.4 B.8 C.﹣4 D.﹣8
【分析】作BC⊥x轴于C,AD⊥x轴于D,如图,利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD=1,再根据正切的意义得到tanA==2,接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC,利用相似三角形的性质得S△OBC=2S△AOD=4,所以•|k|=4,然后根据反比例函数的性质确定k的值.
解:作BC⊥x轴于C,AD⊥x轴于D,如图,则S△AOD=×2=1,
在Rt△AOB中,tanA==2,
∵∠AOD+∠BOC=90°,∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠BOC=∠OAD,
∴Rt△AOD∽Rt△OBC,
∴=()2=4,
∴S△OBC=4S△AOD=4,
∴•|k|=4,
而k<0,
∴k=﹣8.
故选:D.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了相似三角形的判定与性质.
二.填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.分解因式:4a2﹣1= (2a+1)(2a﹣1) .
【分析】有两项,都能写成完全平方数的形式,并且符号相反,可用平方差公式展开.
解:4a2﹣1=(2a+1)(2a﹣1).
【点评】本题考查了公式法分解因式,符合平方差公式的特点(平方差的形式),直接运用平方差公式因式分解即可.
12.五边形的内角和为 540 度.
【分析】n边形内角和公式为(n﹣2)180°,把n=5代入可求五边形内角和.
解:五边形的内角和为(5﹣2)×180°=540°.
故答案为:540.
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式,解答时要会根据公式进行正确运算和数据处理.
13.分式方程的解是 x=3 .
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
解:去分母得:2x=x+3,
解得:x=3,
检验:把x=3代入得:x(x+3)≠0,
∴分式方程的解为x=3.
故答案为:x=3.
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
14.若一次函y=3x﹣7的图象过点(m,n),则n﹣3m+2= ﹣5 .
【分析】根据一次函y=3x﹣7的图象过点(m,n),可得3m﹣7=n,再整体代入n﹣3m+2求解即可.
解:∵一次函y=3x﹣7的图象过点(m,n),
∴3m﹣7=n,
∴n﹣3m+2
=3m﹣7﹣3m+2
=﹣5,
故答案为:﹣5.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
15.定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.例:如图1,四边形内接于⊙O,AB=AD.则四边形ABCD是等补四边形.
探究与运用:如图2,在等补四边形ABCD中,AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F,若CD=10,AF=5,则DF的长为 5﹣5 .
【分析】连接AC,先证∠EAD=∠BCD,推出∠FCA=∠FAD,再证△ACF∽△DAF,利用相似三角形对应边的比相等可求DF的长.
解:如图所示,连接AC,
∵四边形ABCD是等补四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
又∠BAD+∠EAD=180°,
∴∠EAD=∠BCD,
∵AF平分∠EAD,
∴∠FAD=∠EAD,
∵四边形ABCD是等补四边形,
∴A,B,C,D四点共圆,
∵AB=AD,
∴=,
∴∠ACD=∠ACB,
∴∠FCA=∠BCD,
∴∠FCA=∠FAD,
又∠AFC=∠DFA,
∴△ACF∽△DAF,
∴=,
即=,
∴DF=5﹣5.
故答案为:5﹣5.
【点评】本题考查了新定义等补四边形,圆的有关性质,角平分线的判定,相似三角形的判定与性质等,解题关键是要能够通过自主学习来进行探究,运用等.
三.解答题一(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
16.计算:.
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值即可.
解:
=5﹣2+(2﹣)﹣4×
=5﹣2+2﹣﹣2
=5﹣3.
【点评】此题主要考查了实数的运算,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.
17.先化简,再求值:(1+)÷,其中a=﹣3.
【分析】分式的混合运算,先算小括号里面的,然后算括号外面的,最后代入求值.
解:原式=
=,
当a=﹣3时,原式=.
【点评】本题考查分式的混合运算及二次根式的混合运算,掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键.
18.如图,点E是▱ABCD的CD边的中点,AE、BC的延长线交于点F,CF=3,CE=2,求▱ABCD的周长.
【分析】先证明△ADE≌△FCE,得到AD=CF=3,DE=CE=2,从而可求平行四边形的周长.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠ECF.
又ED=EC,
∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴AD=CF=3,DE=CE=2.
∴DC=4.
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+DC)=14.
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是借助全等转化线段.
四.解答题二(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
19.小李在某网店选中A,B两款玩偶,决定从该网店进货并销售,两款玩偶的进货价和销售价如表:
类别
价格
A款
B款
进货价(元/个)
40
30
销售价(元/个)
56
45
(1)第一次小李用1100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玩偶分别购进了多少个?
(2)第二次进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半,小李计划购进两款玩偶共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
【分析】(1)设A款玩偶购进x个,B款玩偶购进(30﹣x)个,由用1100元购进了A,B两款玩偶建立方程求出其解即可;
(2)设A款玩偶购进a个,B款玩偶购进(30﹣a)个,获利y元,根据题意可以得到利润与A款玩偶数量的函数关系,然后根据A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半,可以求得A款玩偶数量的取值范围,再根据一次函数的性质,即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润.
解:(1)设A款玩偶购进x个,B款玩偶购进(30﹣x)个,
由题意,得40x+30(30﹣x)=1100,
解得:x=20.
30﹣20=10(个).
答:A款玩偶购进20个,B款玩偶购进10个;
(2)设A款玩偶购进a个,B款玩偶购进(30﹣a)个,获利y元,
由题意,得y=(56﹣40)a+(45﹣30)(30﹣a)=a+450.
∵A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.
∴a≤(30﹣a),
∴a≤10,
∵y=a+450.
∴k=1>0,
∴y随a的增大而增大.
∴a=10时,y最大=460元.
∴B款玩偶为:30﹣10=20(个).
答:按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润,最大利润是460元.
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的运用,解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键.
20.2020年,新冠肺炎疫情突如其来,各大中小幼学校延期开学,实行“停课不停教不停学”,网络直播教学成为其中最常见的教学方式,某区为了解九年级老师使用线上授课软件情况,在4月份某天随机抽查了若干名老师进行调查,其中A表示“一起中学”,B表示“腾讯会议”,C表示“腾讯课堂”,D表示“QQ群课堂”,E表示“钉钉”,现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表:
组别
使用人数(人)
占调查人数的百分率
A
3
5%
B
12
20%
C
a
35%
D
15
c
E
b
15%
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)b= 9 ,并将频数分布直方图补充完整;
(2)已知该区共有九年级老师500人,请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人?
(3)该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况,已知A组有理科老师2人,文科老师1人,请用列举法求出抽取两名老师都是理科的概率.
【分析】(1)由A的人数除以所占百分比得出本次调查的人数,即可解决问题;
(2)由该区九年级老师总人数乘以使用“QQ群课堂”的九年级老师所占的比例即可;
(3)画树状图,共有6中等可能的结果,其中抽取两名老师都是理科的结果有2种,再由概率公式求解即可.
解:(1)本次调查的人数为:3÷5%=60(人),
∴a=60×35%=21(人),b=60×15%=9(人),
故答案为:9,
将频数分布直方图补充完整如下:
(2)500×=125(人),即估计该区使用“QQ群课堂”有125人;
(3)把理科老师记为M,文科老师记为N,
画树状图如图:
共有6中等可能的结果,其中抽取两名老师都是理科的结果有2种,
∴抽取两名老师都是理科的概率为=.
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和频数分布直方图.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
21.如图,在⊙O中,AB是直径,弦CD⊥AB,垂足为H,E为上一点,F为弦DC延长线上一点,连接FE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,若FE=FP.
(1)求证:FE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为8,sinF=,求BG的长.
【分析】(1)由等腰三角形的性质可得∠A=∠AEO,∠FPE=∠FEP,由余角的性质可求∠FEP+∠AEO=90°,可得结论;
(2)由余角的性质可求∠F=∠EOG,由锐角三角函数可设EG=3x,OG=5x,在Rt△OEG中,利用勾股定理可求x=2,即可求解.
解:(1)如图,连接OE,
∵OA=OE,
∴∠A=∠AEO,
∵CD⊥AB,
∴∠AHP=90°,
∵FE=FP,
∴∠FPE=∠FEP,
∵∠A+∠APH=∠A+∠FPE=90°,
∴∠FEP+∠AEO=90°=∠FEO,
∴OE⊥EF,
∴FE是⊙O的切线;
(2)∵∠FHG=∠OEG=90°,
∴∠G+∠EOG=90°=∠G+∠F,
∴∠F=∠EOG,
∴sinF=sin∠EOG==,
设EG=3x,OG=5x,
∴OE===4x,
∵OE=8,
∴x=2,
∴OG=10,
∴BG=10﹣8=2.
【点评】本题考查了切线的性质和判定,圆的有关性质,锐角三角函数,勾股定理等知识,由余角的性质求出∠F=∠EOG是解题的关键.
五.解答题三(本大题共2小题,每小题12分,共24分)
22.如图,点A(m,3)为函数图象上一点,连接OA,点B在线段OA上,且OA:OB=3,C是x轴的正半轴上一点,连接AC,S△ABC=6.
(1)求点B的坐标;
(2)若M是线段AC上一点,且∠AOM=15°,求△OCM的面积.
【分析】(1)由OB:OA=OH:ON,得到OH=1,进而求解;
(2)由S△ABC=6=S△ACO﹣S△AOB,得到CO=6,设点M(m,﹣m+6),由tan∠MON===,进而求解.
解:(1)将点A的坐标代入反比例函数表达式得:k=3m=9,
解得:m=3,即点A(3,3);
分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为N、H,
∴OB:OA=OH:ON,
即OB:OA=3:1=OH:ON=OH:3,
即OH=1,同理可得,BH=1,
即点B(1,1);
(2)∵S△ABC=6=S△ACO﹣S△AOB=CO×(yA﹣yB)=CO×(3﹣1),
解得:CO=6,
由A、C的坐标得,直线AC的表达式为:y=﹣x+6,
设点M(m,﹣m+6),
∵OH=HB=1,则∠AOH=45°,
∵∠AOM=15°,则∠MON=30°,
则tan∠MON===,
解得:m=9﹣3,
则点M(9﹣3,3﹣3),
则△OCM的面积=CO×yM=6×(3)=9.
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用,涉及到三角形的面积计算、一次函数的基本性质、解直角三角形等,有一定的综合性,难度适中.
23.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)和B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)如图1,连接BC,动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动,同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动,连接DE,当点E到达点C的位置时,D、E同时停止运动,设运动时间为t秒.当△BDE为直角三角形时,求t的值.
(3)如图2,在抛物线对称轴上是否存在一点Q,使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案;
(2)由题意得:AD=t,BE=t,BD=4﹣t,分两种情况:当∠BED=90°时,=cos∠DBE=cos45°=,即4﹣t=×t,可求得t=;当∠BDE=90°时,=cos∠DBE=cos45°=,即t=(4﹣t),可求得t=2.
(3)运用待定系数法求得直线AC的解析式为y=3x﹣3,可得出:H(﹣1,0),K(﹣1,﹣6),如图2,作∠BAC的平分线AQ1交直线x=﹣1于点Q1,过点Q1作Q1F⊥AC于点F,设Q1(﹣1,n),利用角平分线性质可得出:Q1H=Q1F=﹣n,AF=AH=2,再运用三角函数定义可得tan∠AKH==,建立方程求解即可;过点A作AQ2⊥AQ1交直线x=﹣1于点Q2,过点Q2作Q2G⊥AC于点G,设Q2(﹣1,m),如图2,利用角平分线性质可得出:Q2H=Q2G=m,AG=AH=2,再运用三角函数定义可得tan∠AKH==,建立方程求解即可得出答案.
解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)和B(﹣3,0),
∴,
解得:,
∴该二次函数的表达式为y=x2+2x﹣3.
(2)∵抛物线y=x2+2x﹣3与y轴交于点C,
∴C(0,﹣3),
由题意得:AD=t,BE=t,
∴BD=4﹣t,
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,
∴∠CBO=∠BCO=45°,BC=OB=3,
∵3÷=3,
∴0<t≤3,
∵△BDE为直角三角形,∠DBE=45°,如图1,
∴∠BED=90°或∠BDE=90°,
当∠BED=90°时,=cos∠DBE=cos45°=,
∴BD=BE,
∴4﹣t=×t,
解得:t=;
当∠BDE=90°时,=cos∠DBE=cos45°=,
∴BE=BD,
∴t=(4﹣t),
解得:t=2;
综上所述,当△BDE为直角三角形时,t的值为或2.
(3)存在.
设直线AC的解析式为y=kx+d,把A(1,0),C(0,﹣3)代入,
得:,
解得:,
∴直线AC的解析式为y=3x﹣3,
∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,设直线x=﹣1与x轴交于点H,与直线AC交于点K,
则H(﹣1,0),K(﹣1,﹣6),
如图2,作∠BAC的平分线AQ1交直线x=﹣1于点Q1,过点Q1作Q1F⊥AC于点F,设Q1(﹣1,n),
∵AQ1平分∠BAC,Q1H⊥AB,Q1F⊥AC,
∴Q1H=Q1F=﹣n,AF=AH=2,
∵AH=2,HK=6,∠AHK=90°,
∴AK==2,
∴FK=2﹣2,
∵tan∠AKH==,
∴=,
解得:n=,
∴Q1(﹣1,);
过点A作AQ2⊥AQ1交直线x=﹣1于点Q2,过点Q2作Q2G⊥AC于点G,设Q2(﹣1,m),如图2,
则∠BAQ1+∠BAQ2=90°,∠CAQ1+∠GAQ2=90°,
∵AQ1平分∠BAC,
∴∠BAQ1=∠CAQ1,
∴∠BAQ2=∠GAQ2,
∵Q2H⊥AB,Q2G⊥AG,
∴Q2H=Q2G=m,AG=AH=2,
∴KG=AK+AG=2+2,
∵tan∠AKH==,
∴=,
解得:m=,
∴Q2(﹣1,);
综上所述,点Q的坐标为(﹣1,)或(﹣1,).
【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数的解析式、动点问题,直角三角形的性质、角平分线性质、三角函数定义等知识点,运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键.
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