2023届陕西省安康市高三下学期二模数学（文）试题含解析

2023届陕西省安康市高三下学期二模数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简集合A，利用并集定义计算即可.

【详解】，∴.

故选：D．

2．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数除法法则计算后，根据复数定义可得．

【详解】，所以的虚部为，

故选：B．

3．某校动漫社团成员共6人，其中社长2人，现需要选派3人去参加动漫大赛，则至少有1名社长人选的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】6人编号后，用列举法写出任选3人有所有基本事件，并得出至少有1名社长人选的基本事件，计数后可计算出概率．

【详解】记社长为A，，其他成员为，，，，所以从6人中任选3人，

共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，20种，

其中至少含一个社长的有16种，所以概率为，

故选：D．

4．如图，在矩形中，是的中点，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出，进而得出.

【详解】，∴，，∴，

故选：C．

5．已知直线：，：，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】斜率相等且截距不同的两条直线平行，或不存在斜率的两个不同直线也平行，由此利用条件的充分性和必要性定义即可得出答案.

【详解】当时，：，：，所以，充分性成立；

当时，，即，可得或，必要性不成立

故选：A．

6．已知，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据题意，由约束条件画出可行域，结合图形即可得到结果.

【详解】

画出可行域如图所示，联立，解得，

由可得，，平移目标函数直线，

结合图形可知当直线过点时，直线在轴上的截距最小，则有最大值，

故选:D．

7．已知三棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将三棱锥补成直三棱柱， 为所求异面直线与所成角，然后在中，应用余弦定理求解即可.

【详解】由平面，将三棱锥补成直三棱柱（如图），

∵，∴为所求异面直线与所成角．

∵平面，，，，

∴在中，，，，

∴.

故选：C.

8．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由诱导公式和平方关系求解．

【详解】∵，

∵，∴，且，

∴，

故选：C．

9．已知定义在上的奇函数满足，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2．

【答案】B

【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，

【详解】由及是奇函数得，，

所以，所以是周期函数，周期为4，

，

故选：B．

10．若，，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由基本不等式可判断A、B、C；因为，再由二次函数的性质可判断D.

【详解】对于A：，

故A正确；

对于B：∵，∴，故B错误；

对于C：，

当且仅当时取等号，故C错误；

对于D：，故D错误．

故选：A．

11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，且，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】联立直线和抛物线的方程，由韦达定理结合向量的运算得出斜率，进而写出方程.

【详解】，经分析，直线斜率必存在，设直线方程为，，.

∴，.

由韦达定理得，．

∵，

∴代入韦达定理消元得，∴，故直线方程为，

故选：A．

12．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.

【详解】设，，

所以函数在上为增函数．

由的定义域为可知，得，

将不等式整理得，即，

可得在上恒成立，即在上恒成立；

令，其中，所以

，令，得．

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减；

所以，即

故选：B．

二、填空题

13．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为______．

【答案】

【分析】直接根据圆锥的侧面积公式计算即可.

【详解】.

故答案为：.

14．某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：

若与线性相关，其线性回归方程为，则______．

【答案】96

【分析】利用样本中心点一定在回归方程上，列方程求解即可.

【详解】由已知，可得，代入回归方程，得，

∴，

∴．

故答案为：96.

15．已知，，为平面内一动点，（不与、重合），且满足，则的面积的最大值为______．

【答案】12

【分析】根据题意写出点轨迹方程，根据轨迹方程找出距离线段最远时的点坐标即可求出答案.

【详解】设点坐标为，则，化简可得，

由此可得在以为圆心，4为半径的圆上运动，所以当坐标为时，面积最大为

故答案为：12

16．中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．

【答案】

【分析】已知式变形后由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，然后由余弦定理求得，再由面积公式计算．

【详解】∵，，

∴，

∴，展开得，

∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故，

∴，

∴，，

所以的面积.

故答案为：．

三、解答题

17．已知公比大于1的等比数列满足，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据等比数列的通项公式列方程求解的值，即可得数列的通项公式；

（2）求得，直接按照错位相减法的步骤计算的前项和即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为，则，又，，

所以，两式相除得，解得或（舍），则，

所以的通项公式为

（2）由（1）可得，所以

则

两式相减

∴

18．某公司进行工资改革，将工作效率作为工资定档的一个重要标准，大大提高了员工的工作积极性，但也引起了一些老员工的不满．为了调查员工的工资与工龄的情况，人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况，结果如下：

经计算得，，，，其中表示工龄为年的年薪，．

(1)求年薪与工龄的相关系数，并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系（若，则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系）．

(2)在抽取的16名员工中，如果年薪都在之内，则继续推进工资改革，同时给每位老员工相应的补贴，如果有员工年薪在之外，该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整，且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差，由于人力资源部需要安抚老员工的情绪，工作繁重，现请你帮忙计算留下的员工年薪的均值和标准差．（精确到0.01）

附：样本的相关系数，，，，．

【答案】(1)，可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系

(2)均值为万元，标准差为

【分析】(1)由样本数据得相关系数, 可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系;

(2) 由样本数据可以看出工龄为13年的员工年薪在以外，留下15名员工，求剩下员工年薪的均值和标准差即可.

【详解】（1）由样本数据得的相关系数为，

，因此可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系．

（2）由于，，由样本数据可以看出工龄为13年的员工年薪在以外，

因此会被约谈并进行岗位调整，所以留下15名员工，剩下员工年薪的均值为万元，

余下员工年薪的方差为

所以标准差的估计值为

19．在三棱锥中，，，，，为中点，为上一点，且

(1)证明：平面；

(2)求到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)4

【分析】（1）由，得出面，进而由，得出平面；

（2）求出，，根据等体积法得出，进而得出到平面的距离．

【详解】（1）证明：∵，为中点，∴

∵，∴是等腰直角三角形，

∵，∴．

中，∵，，，

∴，∴．

∵，面，面，，

∴面，

∵面，

∴

∵面，面，

∴面．

（2）∵面，为上一点，且.

∴到平面的距离.

中，，，.

∴中，，

∴．

∵面，面，∴.

∴，∴.

∴，∴，

∴

故到平面的距离为.

20．设椭圆：过点，为直线：上不同于原点的任意一点，线段的垂直平分线为，椭圆的两焦点，关于的对称点都在以为圆心，为半径的圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于，两点，为椭圆的右顶点，求四边形的面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据垂直平分线性质可知两焦点，关于的对称点距离等于线段的长度，且对称点所连线段为圆P的直径，由此可得焦距长，继而求出椭圆方程解析式；

（2）利用韦达定理，找出，两点坐标关系，根据弦长公式求出长度，根据点到直线距离公式求出，两点到的距离，列式即可得出四边形的面积表达式，根据直线斜率范围即可得出面积范围.

【详解】（1）设，关于的对称点分别为，，为线段的中点，

∴是的中点，

∴是圆的直径，∴，

∴

由已知，所以椭圆的方程为

（2）设点，，其中

联立

∴，

点、到直线的距离分别为，

∵当且仅当时取等号．

∴，∴，

∴

21．已知，

(1)讨论的单调性；

(2)当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论，根据导函数的符号即可得出答案；

（2）由题意，则不等式在上恒成立，即，再结合（1）可得，分离参数，再构造新的函数，利用导数求出函数的最值，即可得解.

【详解】（1），

当时，，所以在上单调递增，

当时，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）当时，，

由，得，

∴，

由已知，由（1）可得在上单调递增，

∴，即，

∴，∴，

令，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，

∴，∴.

【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键在于，从而可得，再结合函数的单调性，分离参数，构造新的函数即可.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上一点．

(1)求到直线距离的最大值；

(2)若点为直线与曲线在第一象限的交点，且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）消参得出直线的普通方程，由得出曲线的普通方程，再由距离公式结合圆的对称性得出到直线距离的最大值；

（2）联立直线与曲线的方程，求出，再由的几何意义，结合面积公式求出的面积．

【详解】（1）∵直线的参数方程为（为参数），两式相加得

∴直线的普通方程为，

又∵曲线的极坐标方程为，所以，

所以曲线的普通方程为，即，

又因为在圆上，圆心到直线的距离为，

所以到距离的最大值为

（2）因为

或，又∵在第一象限，∴

点，在曲线上，设，．

代入曲线的极坐标方程得，

∴，

故的面积为

23．已知，

(1)当时，解关于的不等式；

(2)若对，都有成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）分类讨论的值，再解不等式；

（2）将问题转化为，由绝对值三角不等式以及二次函数的性质得出，再解不等式得出的取值范围．

【详解】（1）当时，

当时，，∴

当时，，无解．

当时，，∴

综上不等式的解集为

（2）由已知

∵，

∴

∴等价于或，

解得或．