2023届上海市嘉定区高三下学期4月质量调研（二模）数学试卷含答案

  2022学年第二学期高三年级质量调研

数学试卷

（本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟）

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.

1.已知复数，其中是虚数单位，则        .

2.双曲线的离心率为        .

3.已知,，则        .

4. 函数的最小正周期为        .

5.△是边长为的等边三角形，点为边的中点，则        .

6. 已知函数，定义域为，则该函数的最小值为        .

7. 已知，若，则        .

8.已知数列的通项公式为前项和为，则        .

9.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为. 若点在圆柱的一个底面圆周上，点在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为        ．

10.已知某产品的一类部件由供应商和提供，占比分别为和，供应商提供的部件的良品率为. 若该部件的总体良品率为，则供应商提供的部件的良品率为        .

11. 如图，线段的长为，点在线段上，. 点为线段上任意一点，点绕着点顺时针旋转，点绕着点逆时针旋转. 若它们恰重合于点，则△的面积的最大值为________.

12.若关于的函数在上存在极小值（为自然对数的底数），则实数的取值范围为        .

二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.

13.设，则“”是“”的（   ）

充分非必要条件；       必要非充分条件 ；       

充要条件；             既非充分也非必要条件.

14.函数是（   ）

奇函数；   偶函数；   奇函数也是偶函数；   非奇非偶函数

15.已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为,与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ）

；   ；

；             .

16.有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为万.该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为、、.据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为

则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（    ）

存银行；   房产投资；   商业投资；    房产投资和商业投资均可.

三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．

如图，正四棱柱中，，点分别是棱和的中点.

（1）判断直线与的关系，并说明理由；

（2）若直线与底面所成角为，求四棱柱的全面积.

18．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

已知向量，，

（1）求函数的最大值及相应的值；

（2）在△中，角为锐角，且，，，求边的长．

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．

李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共个记录：

上班时间       下班时间

（1）求出这个通勤记录的中位数，并完成下列列联表：

（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由.

附：，

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．

若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点. 已知抛物线和，其中. 与在第一象限内的交点为. 和在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角.

（1）求点的坐标；

（2）若、的夹角为，求的值；

（3）若直线既是也是的切线，切点分别为、，当△为直角三角形时，求出相应的的值.

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．

已知，等差数列的前项和为，记.

（1）求证：函数的图像关于点中心对称；

（2）若是某三角形的三个内角，求的取值范围；

（3）若，求证：. 反之是否成立？并请说明理由.

参考答案

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.第六题有两空，每空2分.

1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  11.

 12.

二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.

13.B  14.B  15.C  16.C

三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17.(1)解：连结、、,

因为点是中点，所以且，

因为正四棱柱，所以四边形是矩形，则且

于是且,则四边形是梯形，

所以直线与是相交直线.

(2)解：连结，因为，点是中点，所以在直角三角形中，，

因为正四棱柱，所以面，则是直线与底面 所成角，所以，于是.

所以全面积为.

18．（1）解：，

         所以函数的最大值为，此时.

（2）解：因为，所以，又角为锐角，则，

         因为，所以.

         由正弦定理，则，即.

19.解： ，

填表

（2）解：假设上下班的通勤时间没有显著差异，

由，则，不能拒绝原假设，

所以，上下班的通勤时间没有显著差异.

20．（1）解：设点，联立方程，解得即.

（2）解：设和的斜率分别为和，因为在第一象限内，对于考虑函数，求导，代入点横坐标，得，

对于，考虑函数，求导，代入点横坐标，得，

因为、的夹角为，所以和的夹角为，由夹角公式得：，

化简为，即，得.

（3）因为显然不与坐标轴平行，所以其方程设为，

因为和只有一个公共点，所以方程组有两个相同的解，所以的判别式，即，.

同理方程组有两个相同的解，所以的判别式，即，.

联立方程，解得，又点纵坐标为、点横坐标为，所以

、.

设，则，，，

若为直角，则，，，;

若为直角，则，，，;

若为直角，则，，无解，

综上，或为所求.

21．（1）证：在函数的图像上任取一点，点关于点的对称点为，而，

所以点在函数图像上，所以函数的图像关于点中心对称.

（2）解：若是某三角形的三个内角，则，又为等差数列，则，

，

，

不妨设，则，于是，

所以.

（3）证：

若，又，则，

因为为等差数列且，所以当时，，于是

.故，

所以，得证.

若,则,

反之不成立.

考虑存在等差数列，满足，则,于是与关于对称，所以.

下面证明，存在可以使得且.

不妨设，又，所以.

，考虑函数，,其中

因为，，所以存在使得，

所以存在，使得即，但是.所以反之不成立.

注：反例不唯一