2023届河北省保定市高三一模数学试题含解析

这是一份2023届河北省保定市高三一模数学试题含解析，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省保定市高三一模数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式再求交集.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．已知复数，则（    ）
A． B．8i C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.
【详解】因，有,则，
所以.
故选：A
3．设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案.
【详解】
如图，长方体中，平面.
在平面内，除直线外，其他所有与平行的直线，都与平面平行，但是平面与平面不平行；
若，根据面面平行的定义可知，平面内的直线都与平面平行.
所以，“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，打算改建成矩形花圃，中间划分出直角三角形区域种玫瑰，直角顶点在边上，且距离点，距离点，且、两点分别在边和上，已知，则玫瑰园的最小面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设根据直角三角形的性质可将，，进而可得，再根据、两点分别在边，和上，可得，进而可得最小值.
【详解】如图所示，

设，则，，
所以，，
所以，
又、两点分别在边和上，
所以，，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
即的最小值为，
故选：A.
5．函数的大致图像为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】函数是由函数向左平移1个单位得到的，而是偶函数，所以得的图像关于直线对称，再取值可判断出结果.
【详解】解：因为是由向左平移一个单位得到的，
因为，
所以函数为偶函数，图像关于轴对称，
所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；
又当或时，，，
所以，故可排除C选项
.故选：B.
【点睛】此题考查函数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.
6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是正三角形，平面平面，且，则与平面所成角的正切值为（    ）


A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，为的中点，结合面面垂直性质定理证明平面，根据锥体体积公式求，再由面面垂直性质定理证明平面，根据线面角的定义证明PC与平面PAD所成角的平面角为，解三角形求其正切值.
【详解】取的中点，连接，
由已知为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
设，则，，又，
所以矩形的面积，
所以四棱锥的体积，
所以，所以，
所以，
因为平面平面，，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
所以为直角三角形，斜边为，
因为平面，
所以与平面所成角的平面角为，
在中，，，
所以，
与平面所成角的正切值为.
故选：B.

7．函数，（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆C的半径为，则函数的解析式为
【答案】D
【分析】根据函数的图象，求得的最小正周期，可判定A错误；利用五点作图法，求得，结合三角函数的性质，可判定B错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为，进而判定C错误；利用，求得的值，可判定D正确.
【详解】解：由函数图象，可得点的横坐标为，
所以函数的最小正周期为，所以A不正确；
又由，且，即，
根据五点作图法且，可得，解得，
因为，可得，
结合三角函数的性质，可得函数在是先减后增的函数，所以B错误；
将函数的图象向左平移个单位后，得到，
可得对称轴的方程为，即，
所以不是函数的对称轴，所以C错误；
当时，可得，即,
若圆的半径为，则满足，即，
解得，所以的解析式为，所以D正确.
故选：D.
8．已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用构造函数法，结合导数，先判断的关系，然后判断的关系，从而确定正确答案.
【详解】构造函数，
在上单调递增，
所以，即，
也即，则.
，
设，
，设，
，所以在上递增，
，即，在上单调递增，
所以，即，
构造函数，
，在上递增，
所以，即，
即.
综上所述，.
故选：D
【点睛】利用导数来比较代数式的大小，主要是通过构造函数法，然后利用导数研究所构造函数的单调性，由此来比较出代数式的大小.在比较大小的过程中，如果无法一次比较出大小关系，可通过多次比较大小（放缩法）来进行比较.

二、多选题
9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为
D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】BC
【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB选项，根据投影向量定义可得判断C选项，由 可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.
【详解】解：已知平面向量，，，
对于A，若，可得，即，解得，所以A选项错误；
对于B，若，根据平面向量共线性质，可得，即，所以B选项正确；
对于C，若，则，
由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，
所以C选项正确；
对于D，若，则，所以；
但当时，，
此时向量与的夹角为，所以D选项错误；
故选：BC.
10．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（    ）
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】ACD
【分析】根据已知，光线自出发，可以沿方向传播，也可以沿方向传播，也可以不沿轴传播.根据椭圆的光学性质，分别得出光线传播的路径，结合椭圆的定义，即可得出答案.
【详解】设抛物线左焦点为，右焦点为，左顶点为，右顶点为.
由已知可得，，，所以.

①当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为，故A项正确；
②当光线从出发，沿方向传播，到达后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播第一次经过，此时所经过的路程为，故C项正确；
③当光线从出发后，不沿轴传播，如图2

光线开始沿传播，到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，过点后，继续传播到达点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿方向传播，第一次经过，此时所经过的路程为.
根据椭圆的定义可知，，，
所以，故D项正确.
故选：ACD.
11．沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（    ）

A．沙漏的侧面积是
B．沙漏中的细沙体积为
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是837秒
【答案】BD
【分析】A选项，求出圆锥的母线长，从而利用锥体体积公式求出沙漏的侧面积；B选项，根据细沙形成的圆锥的高度得到此圆锥的底面半径，得到细沙的体积；C选项，由B选项求出的体积公式得到细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度；D选项，利用细沙的体积和沙漏漏下的速度求出时间.
【详解】A选项，设下面圆锥的母线长为，则cm，
故下面圆锥的侧面积为，故沙漏的侧面积为，故A错误；
B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的，
所以细沙形成的圆锥底面半径为cm，高为cm，
故底面积为，所以沙漏中的细沙体积为，B正确；
C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为，其中此锥体的底面积为，故高度为cm，C错误；
D选项，秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确.
故选：BD
12．如图所示的三角数阵，其中第m行（从上到下），第n列（从左到右）的数表示为，且，当时，有，则下列说法正确的是（    ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】运用累和法，结合组合数公式、裂项相消法、二项式系数和公式逐一判断即可.
【详解】因为,
所以有
，
所以A对，B错，
而，
，所以

因此C对

，因此D对.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：运用累和法、逆用组合数公式、裂项相消法是解题的关键.

三、填空题
13．二项式展开式中常数项是________．（填数字）
【答案】240
【分析】根据二项式的展开通项公式求解即可.
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为，
故答案为:240.
14．写出过抛物线上的点且与圆相切的一条直线的方程________．
【答案】或或（写出其中一个即可）
【分析】由已知求出点或.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.
【详解】由题意可知，，解得，
所以，点或.
又圆的圆心，半径.
①当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为，
即.
因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，
整理可得，，解得，
代入直线方程整理可得，直线方程为.
②当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为，
即.
因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，
整理可得，，解得，
代入直线方程整理可得，直线方程为.
综上所述，直线方程为或或.
故答案为：.
15．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．
【答案】96
【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可.
【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，
则有：种情况，
剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：
①2名同学选择1个学科竞赛则有：种情况，
②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况，
所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：
种情况，
故答案为：96.
16．已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为________．
【答案】1
【分析】（1）首先根据条件等式，变形得到函数，再变形得到，通过构造函数得到，参变分离后，转化为求函数的值域，即可求的取值范围.
【详解】在中，，
∴，
∴
∴（c为常数），
由，解得：，
∴，
若在区间内存在零点，
整理可得：，
设，，
令，得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，，
所以，当时，等号成立，
所以
当且仅当时，上式取等号
即存在，使，
设，，
令，得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，，
所以，故m最小值为1,
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，零点，不等式的综合问题，本题的关键一是利用导数的等式，通过构造得到函数的解析式，关键二是利用同构得到等式，再构造函数求得，参变分离后即可求解.

四、解答题
17．已知的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求角B的大小以及的取值范围．
【答案】(1)0
(2)，

【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，结合公式计算可得，即可求解；
（2）由正弦定理和诱导公式可得，即可求出角B；进而，结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）∵
，
由函数的最小正周期为．即，得，
∴，
故；
（2）∵，∴由正弦定理得，
∴．
∵，∴．∵，则.
∵，∴，∴，
∴，
∴.
18．已知，，，…，是以1为首项，1为公差的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列前2n项的和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意和等差数列前n项求和公式可得当时，，验证符合该式即可；
（2）由（1）可得，，结合等差数列前n项求和公式计算即可求解.
【详解】（1）当时，，
又，符合上式，
∴；
（2）由（1）知，，
，
∴
.
19．如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．

(1)若为中点，求证：；
(2)若平面，求线段长度的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由条件先求，，，再证明，由此完成证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，求平面的法向量和直线的方向向量，由条件列方程确定的关系，再求的最小值即可.
【详解】（1）由已知，，，，
所以，
，
，
因为为中点，
所以，
又，
所以，
所以
所以

（2）连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
连接，
由正方形的性质可得三点共线，为的中点，
所以，
由第一问，
平面，，
所以平面，
以为坐标原点， 所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
、、、、

，
设平面法向量为，，
则，所以，    
∴，
令，则，．
∴为平面的一个法向量，
因为点在平面内，
故设点的坐标为，
因为，
所以，
，则，
所以，
所以当时，有最小值，最小值为.

20．在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药．初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．
(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以表示选取的人中服药后有效的人数，求的分布列和数学期望；
(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，32%，28%，服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为80%，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)

【分析】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，分别求出相应的概率，进而求解；
（2）由全概率公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，，
所以随机变量的分布列如下表所示：

0
1
2
3
P





所以，.
（2）设“任取一人新药对其有效”，“患者来自第i组”（，2，3，分别对应甲，乙，丙），
则，且，，两两互斥，根据题意得：
，，，
，，，
由全概率公式，得
，
任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率
，
所以，任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为.
21．如图，双曲线的中心在原点，焦距为，左、右顶点分别为A，B，曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得（其中，为点P，T的横坐标），若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)双曲线方程：，椭圆方程为：
(2)存在，

【分析】（1）设双曲线方程为，椭圆方程，根据焦距和离心率求出可得答案；
（2）设，，， 根据P、A、N三点共线，P、B、M三点共线可得，令得直线的方程，与椭圆方程联立利用韦达定理代入上式化简可得，若存在，即代入可得答案；
法二：，，设直线AP：与椭圆方程联立可得，、，若存在，则可得答案.
【详解】（1）由已知可设双曲线方程为，椭圆方程，

所以双曲线方程：，
椭圆方程为：；
（2）设，，，，，
P、A、N三点共线，，
P、B、M三点共线，，
相除：，
令，则设：，
联立椭圆方程：，
易得，所以，
∴，

，
若存在，即，
，得，
又P在第一象限，所以，；
法二：，，，，，
直线AP：，
，显然，
由，又因为P在双曲线上，满足，即，
所以，
即，
同理BP：，可得，所以，
若存在，即，
而P在第一象限，所以，即.
【点睛】思路点睛：本题第二问主要是利用韦达定理代入进行化简运算，考查了学生的思维能力和运算能力.
22．已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）法一：求导后利用放缩法得到，故；
法二：多次求导，结合隐零点，得到先增后减，结合端点值的符号，得到在上恒成立，求出；
（2）法一：构造，变形后结合，，，且在处取等号，得到时，符合题意，时，结合函数单调性及零点存在性定理得到矛盾，求出答案；
法二：构造，求导后考虑，利用放缩法及函数单调性可证，再考虑，由在单调递增，且，分与两种情况，进行求解，得到答案.
【详解】（1）法一：首先证明，，理由如下：
构造，，
则恒成立，故在上单调递减，
故，所以，，
，，
，
故在上恒成立，
所以在单调递增，故
法二：，，
，且，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以单调递减，
又，其中，故，
故，使得，且当时，，当时，，
所以先增后减，又，，
∴在上恒成立，
所以单调递增，；
（2）法一：，
，
下证：，，，且在处取等号，
令，则，故单调递增，
故，且在处取等号，
在（1）中已证明；
令，则，故单调递增，
故，且在处取等号，
当时，，
当时，即时，符合题意，
当时，，
，，
其中当时，，，，
故，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，使得，在单调递减，
故与矛盾，舍去；
综上：a的取值范围为；
法二：，，，
①当时，，，
在单调递增，且符合题意，
②当时，在单调递增，，
③当时，即时，
  在单调递增，符合题意，
②当时，即时，，
，，
其中当时，，，，
故，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，使得，在单调递减，
故与矛盾，舍去；
综上：a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.