2023届江西省抚州市东乡区高三下学期4月一模数学（理）试题含答案

2023届江西省抚州市东乡区高三下学期4月一模

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．已知复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则

A．2 B． C． D．4

3．设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

4．设为两个非零向量的夹角，若对任意实数，，则下列说法正确的是

A．若确定，则唯一确定

B．若确定，则唯一确定

C．若确定，则唯一确定

D．若确定，则唯一确定

5．已知函数，则（    ）

A． B． C．8 D．2

6．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（    ）

A．18 B．36 C．54 D．72

7．设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（    ）

A． B．

C． D．

8．已知，，则=（　　）

A． B．

C． D．

9．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象则）图象的一条对称轴为直线

A． B．

C． D．

10．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为(　　)

A． B． C．4 D．2

11．已知正方体的棱长为1，为上底面的中心，为正方形内部的点，且平面，则的最小值为

A． B． C． D．

12．已知函数，若存在两个极值点，，当取得最小值时，实数的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)

13．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则的值为__________.

14．某商品在家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如下表所示：

由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则=_________．

15．已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________

16．已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，．若三棱锥的体积为，则球的表面积为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 - 21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．等差数列的前项和为，已知，，求

(1)数列通项公式；

(2)的前项和的最小值.

18．中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄（单位：岁）在内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出人，把这人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，并制成如下表格：

（1）填写列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关；

（2）为了进一步了解不同性别的消费者对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这人中选出人进行访谈，最后从这人中随机选出名参与电视直播节目，求其中恰好有一名女性参与电视直播节目的概率．

附：

，．

19．如图，在三棱柱中，，，且，底面，为中点，点为上一点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

20．如图所示，如图所示，已知椭圆，⊙，点是椭圆的左顶点直线与⊙相切于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若⊙的切线与椭圆相交于两点，求面积的取值范围.

21．已知函数，.

(1)当时，试讨论的单调性；

(2)求使得在上恒成立的整数的最小值；

(3)若对任意，当时，均有成立，求实数的取值范围.

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．

23．【选修4-5： 不等式选讲】

若不等式的解集非空.

（1）求实数的取值范围；

（2）设的最大值为，若，且，求的最小值.

1．B

2．B

3．A

4．A

5．A

6．B

7．A

8．D

9．D

10．D

11．B

12．D

13．

14．

15．2

16．或

17．(1)

(2)-30

【分析】（1）根据数列的基本公式求出通项公式，

（2）根据（1）表达出，利用二次函数性质求出的最小值.

【详解】（1）由已知得，

解得，

所以.

（2）.

当或6时，有最小值-30.

18．（1）表格见解析，可以认为；（2）.

【分析】（1）根据题意补全列联表，计算与临界值比较即可判断；

（2）按男女比例抽取男生抽人，女生抽人，求出随机选出名包含的基本事件的个数，以及恰好有一名女性参与包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.

【详解】（1）由题意知，这人中男性的人数为，

女性的人数为，

男性比较关注新能源汽车的人数为，女性比较关注新能源汽车的人数为，

作出列联表如下：

，

因此，在犯错误的概率不超过的前提下可以认为性别与对新能源汽车的关注有关．

（2）由（1）知采用分层抽样从人中拍取人，

抽取的男性人数为，分别记为，，，，

则抽取的女性人数为，分别记为，．

再从这人中随机选出人，总的基本为，，，，，，，，，，，，，，有个，

记“恰好有一名女性参与电视直播节目”为事件，其包含的基本事件有，，，，，，，共个，

所以，

即恰好有一名女性参与电视直播节目的概率为．

19．（1）详见解析；（2）.

【分析】（1）连接 与交于点O，连接OE，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）根据，底面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再根据底面，得到平面一个法向量，然后由求解.

【详解】（1）如图所示：

连接 与交于点O，连接OE，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）由，底面，建立如图所示空间直角坐标系：

则，

所以，

设平面的一个法向量为：，

则，即，

令，则，

因为底面，所以平面一个法向量，

所以，

由图知二面角为钝角，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间向量法求二面角问题，还考查了转化化归思想和逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.

20．（1）；（2）．

【分析】（1）要求椭圆标准方程，就是要求，由在圆上，可得，再求，由与圆相切可得，即，由此可得答案；

（2）设直线方程为，由它与圆相切可得，直线方程与椭圆方程联立，消去，同时设直线与椭圆的交点为，则可得，弦长为，把代入可把表示为的函数，求得弦长的取值范围就可得面积最值范围．

【详解】解：（1）∵在⊙上，∴.

又是⊙的切线，

∴，即，解得.

∴椭圆的方程为.

（2）设直线，∵直线为⊙的切线，∴.

联立方程组，消去得：.

设，则

，

当且仅当时“=”成立.

∴.

21．(1)答案见解析

(2)

(3)

【分析】（1）求得并化简，分、和，三种情况讨论，即可求解函数的单调区间；

（2）根据题意得到，结合导数得到函数的单调性，求得，进而求得答案；

（3）由（1）得到，转化为，根据，求得，即可求解.

【详解】（1）由，可得函数的定义域为，

且，

①当时，恒成立，即在上单调递增；

②若，

当时，；当时，；

当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

③若，

当时，；当时，；

当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）知：当时，在时单调递增，

又因为时，，所以不符合题意，所以，

由（1）知，，当时，，

令，得；令，得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

可得，

所以使得在上恒成立的整数的最小值为1.

（3）由（1）可知，当时，在上单调递增，

所以，

因为恒成立，所以，

所以，

又因为，所以，

又由，所以，所以，

即实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

22．(1)，；

(2).

【分析】（1）消去参数即可求得l的普通方程，再根据直角坐标和极坐标的换算公式即可求出C的直角坐标方程；

（2）结合（1），根据直线与圆相交的弦长公式即可求得答案.

(1)

由（t为参数），消去t，得，

∴直线l的普通方程为．

∵曲线C的极坐标方程为，

∴，根据

可得，∴曲线C的直角坐标方程为．

(2)

由（1）易知曲线C的直角坐标方程为，

∴曲线C是以为圆心，5为半径的圆，∴圆心到直线l的距离，∴．

23．（1）；（2）.

【解析】（1）只需，根据绝对值不等式性质求出，即可求解；

（2）由（1）得，将所求式子化为，利用基本不等式，即可求解.

【详解】（1）

不等式的解集非空，，

，

的取值范围是；

（2）由（1）得，又，

当且仅当时，等号成立,

的最小值为.

【点睛】本题考查运用绝对值三角不等式求最小值，以及利用基本不等式求最值，需要注意考虑最值等号成立的条件，考查计算求解能力，属于中档题.