2023届陕西省商洛市高三下学期一模数学（理）试题含解析

这是一份2023届陕西省商洛市高三下学期一模数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省商洛市高三下学期一模数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接解一元二次不等式得集合，解一元一次不等式的集合，从而可得并集.【详解】因为，解得或，所以或，又，所以或．故选：A.2．若复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数运算法则和模长的求法可直接求得结果.【详解】，.故选：C.3．已知等差数列满足，，则的公差为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据等差数列的性质求解.【详解】设的公差为d，因为，解得.故选:C.4．某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图1，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，四居室住户占.如图2，这是用分层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取20%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（    ）A．B．被调查的所有市民中四居室住户共有150户C．用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户D．用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户【答案】D【分析】根据饼图、直方图分析样本总量及四居室住户数，结合分层抽样的性质分析二居室、三居室住户数及满意度即可.【详解】因为被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，所以，四居室住户有户，三居室住户有200户，故A，B正确；用分层抽样的方法抽取的二居室住户有户，故C正确；用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有户，故D错误.故选：D5．已知函数的图象经过点，则的图象在处的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数所过的点得，应用导数的几何意义求的切线方程即可.【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得，则，，所以，，所求切线方程为.故选：B6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到函数的图象，再把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据图象平移依次写出、的解析式，结合正弦型函数的性质求对称中心，判断各项是否满足要求即可.【详解】因为，且，令，则，即图象的对称中心的坐标为，，显然A、B、C不符合，而时符合.故选：D7．如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取的中点F，连接EF，CF，，易知，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为，，所以由余弦定理得.故选：C 8．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由焦距可得，根据半通径长和长可构造等式求得.【详解】焦距为，即，；，，又，，，即，，解得：.故选：B.9．若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”.现有一个黄金圆锥，则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意以及勾股定理可得，进而根据圆锥的侧面积以及表面积公式即可求解.【详解】设该黄金圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，高为h，则.因为，所以，所以.因为该圆锥的侧面积，表面积，所以，则.故选：A10．某医院安排甲､乙等名医生到个社区去义诊，每个社区至少安排名医生，且每名医生只到个社区义诊，则甲､乙被安排在同一个社区义诊的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将名医生分配到个社区分为两种情况，分别计算出两张情况的分配方案数，加和可得总体方案数；确定甲、乙被安排在同一社区的方案数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】将名医生分配到个社区有两种情况：第一种情况是个社区分配名医生，另个社区分配名医生，有种不同的分配方案；第二种情况是每个社区分配名医生，有种不同的分配方案；将名医生分配到个社区去义诊，共有种不同的分配方案；其中甲､乙被安排在同一个社区义诊的方案有种，所求概率．故选：D.11．已知直线经过椭圆的左焦点，且直线与轴交于点，与椭圆在第一象限内交于点．若，则椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线可得，从而确定，利用余弦定理与椭圆定义可得，即可求得椭圆的离心率.【详解】如图，设椭圆的右焦点为．因为直线的斜率是，所以，所以．因为，所以．在中，由余弦定理可得，则．由椭圆的定义可得，则椭圆的离心率．故选：C.12．若函数满足：，且，则（    ）A．2953 B．2956 C．2957 D．2960【答案】A【分析】法一：利用特殊函数法与待定系数法，求得满足题意的一个函数，代入即可得解.法二：利用赋值法，得到与，进而利用换元法与作差法得到，由此得解.【详解】法一：取，易验证满足．由，得，解得，故．法二：因为，令，则，；令，则，；两式相减得，由的任意性，令，得，所以．故选：A. 二、填空题13．设、满足约束条件，则的最小值为___________.【答案】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立可得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.14．请写出一个同时满足以下三个条件的函数：___________.（1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的最小值是2.【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定的函数性质写出一个满足要求的函数解析式即可.【详解】由为偶函数，在上单调递增，最小值为，满足要求.故答案为：（答案不唯一）15．公比的等比数列满足，，则__________．【答案】【分析】由等比数列下标和性质可构造方程组求得，结合等比数列通项公式可求得结果.【详解】由等比数列性质知：，解得：或，又，，，.故答案为：.16．已知是内部的一点，且和的面积分别是，若，则__________．【答案】3【分析】分别在边上取点，使得，可得，根据三角形面积关系可得点位置，结合平面向量基本定理与共线定理，列方程可得的值.【详解】如图，分别在边上取点，使得．由，可得，所以，又因为，所以点在线段上（不包含端点），则．因为三点共线，所以，即，所以．因为，所以，所以．故答案为：3. 三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得，再由三角形内角性质、诱导公式得，进而确定角的大小；（2）根据余弦定理求c，再应用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）因为，结合正弦定理边角关系，所以，整理得，因为，所以，又，所以.（2）因为，所以，即，解得，所以的面积为.18．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定从部门的11人中随机选派5人到相关单位进行宣讲，其中部门可选派的人数分别为．(1)求选派的5人中恰有1人来自部门的概率；(2)选派的5人中来自部门的人数分别为，记，求的分布列和数学期望．注.【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用古典概型公式求解即可；（2）写出随机变量的所有取值，再求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【详解】（1）记“选派的5人中恰有1人来自部门”为事件，则；（2）由题意可知的所有可能取值为，，，，则的分布列为234 故．19．如图，正方形对角线的交点为，四边形为矩形，平面平面为的中点，为的中点．(1)证明：平面．(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据面面垂直的性质证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接，因为分别是的中点，所以，且，因为是正方形的中心，所以，因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面；（2）因为正方形对角线的交点为，所以，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则,设平面的法向量为，因为，所以，令，得，设平面的法向量为，因为，所以，令，得，设所求二面角为，则为锐角，，所以二面角的余弦值为．20．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，，以为直径的圆与轴相切于点，且．(1)求抛物线的方程；(2)是直线上的动点，过点作抛物线的切线，切点分别为，证明：直线过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据垂直关系可得，结合圆的半径可求得，由此可得抛物线方程；（2）结合导数几何意义可利用，得到等量关系，，由此可得直线方程，由直线过定点的方法可求得结果.【详解】（1）由抛物线方程知：，连接，为切点，，又，，，．，，解得：，则抛物线的方程为．（2）设，，，由得：，，则，化简整理可得：，即，同理：由得：，则点都在直线上，即直线的方程为，令得：，直线过定点，该定点坐标为．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的定点问题的求解；本题求解定点的关键是能够结合导数的几何意义，利用切线斜率构造等量关系得到所满足的二元一次方程，即直线的方程.21．已知函数，其中为自然对数的底数．(1)求在上的值域；(2)函数，证明：有且仅有两个零点．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的值域；（2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）解：因为，所以．当时，，当时，，从而在上单调递减，在上单调递增，故．因为，所以．故在上的值域为．（2）证明：因为，则，设，则，故在上单调递增．因为，，所以存在唯一，使得．故当时，；当时，．即在上单调递减，在上单调递增．因为，，又因为，则，所以，，由零点存在定理可知，函数在、上各存在一个零点，综上所述，有且仅有两个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与y轴的交点为D，与曲线C的交点为A，B，求的值.【答案】(1)直线方程，曲线C的直角坐标方程；(2). 【分析】（1）消参法写出直线方程，公式法写出曲线方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到，结合方程两根的几何意义及韦达定理求目标式的值.【详解】（1）将直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程，得，因为，所以，所以，即曲线C的直角坐标方程为.（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，得，化简得.设A，B对应的参数分别为，则，，所以.23．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式解集即可；（2）将问题转化为在时恒成立，即可求参数范围.【详解】（1）当时，.所以等价于或或，解得，所以不等式的解集为.（2）因为，所以等价于，所以，即，所以在时恒成立.所以，解得，即实数a的取值范围是.