2023届陕西省榆林市高三上学期一模数学（理）试题含解析

2023届陕西省榆林市高三上学期一模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先解出集合,再求.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：D

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，化简式子，利用复数相等求出复数，然后求复数的模即可

【详解】设，则，则，故.

故选：A

3．若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可

【详解】解：对于A，若，则或，故A不正确；

对于B，若，则或，故B不正确；

对于C，若，则或，故C不正确；

对于D，若，则，故D正确.

故选：D.

4．已知，则（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】由两角和的正切公式变形后求得，由诱导公式变形后，利用商数关系变形可得．

【详解】由，解得，则.

故选：C．

5．已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案.

【详解】解：因为，所以.

又的图象在处的切线方程为，

所以，解得，

则，所以，代入切线方程得，解得，

故.

故选：B.

6．为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数（满分100分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为（    ）

A．70 B． C． D．60

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图所有小长方形面积是1可得，根据中位数的定义即可求得结果.

【详解】由题意可得，解得.

因为成绩在的频率为，

成绩在的频率为，

故市民生活幸福指数的中位数在内.

设市民生活幸福指数的中位数为，则，

解得.

故选：C

7．如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线的一部分，为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】写出焦点坐标，设，由得出点坐标，根据焦半径公式得，再由求得．

【详解】由题意知，设，则，

由抛物线的几何性质知，则，

所以，

所以，

解得.

故选：A．

8．的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦、余弦定理可得，结合即可求解.

【详解】因为，由正弦定理得.又，

所以.因为，

所以，故.

故选：A.

9．在平行四边形中，，则（    ）

A．4 B． C． D．3

【答案】B

【分析】根据题意，以向量为基底分别表示出向量，再利用向量数量积公式即可求得结果.

【详解】如下图所示：

在平行四边形中，

因为，

所以，

因此.

又，

所以，

故.

故选：B

10．已知，函数在上恰有3个极大值点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合正弦函数的图象性质，由于在上恰有3个极大值点，则可列不等式，即可求得的取值范围.

【详解】解：，

因为在上恰有3个极大值点，由，得，

又函数的极大值点满足，

所以，解得.

故选：C.

11．已知，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，根据导数得出其单调性，则结合已知得出，即，即可得出.

【详解】构造函数，

则，

故在上单调递增.

因为，

所以，

故.

故选：D.

12．在直三棱柱中，，且分别为和的中点，为线段（包括端点）上一动点，为侧面上一动点，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断出取得最小值时为点在侧面的投影.把将平面与平面展开到同一平面，作于点，交于点,此时达到最小值，解三角形求出即可.

【详解】当为某确定点时，要使取得最小值，则必须为最小值，此时，为点在侧面的投影.

取的中点.

因为分别为的中点，所以为的中位线，所以.

因为所以，所以.

在直三棱柱中，面，所以.

因为面，面， ,

所以侧面，故在侧面的投影为.

作于点，此时满足题意.

.

在中，，.

在中，

因为,所以，所以为直角三角形.

所以，.

将平面与平面展开到同一平面，如图所示，

所以.

作于点，交于点,此时达到最小值，

则

故选：B

【点睛】立体几何中的最值问题一般涉及到距离、角度、面积、体积等四个方面，解决此类问题一般从三个方面思考：

（1）利用传统方法转化为空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；

（2）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况取得最值；

（3）将几何体平面化，如利用展开图，在平面图形中直观求解.

二、填空题

13．设满足约束条件则的最小值为__________.

【答案】

【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．

【详解】作出可行域如图所示.

把转化为，当经过点时，

纵截距最低，最小.

当直线经过点时，取得最小值.

故答案为：.

14．自然对数的底数，也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和一样是无限不循环小数，的近似值约为.若用欧拉数的前6位数字设置一个六位数的密码，则不同的密码共有__________个.

【答案】180

【分析】利用排列的定义直接求解.

【详解】因为2出现2次，8出现2次，

所以不同的密码共有个.

故答案为：180.

15．已知函数是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】根据函数单调性和对称性以及不等式的特征，可构造函数，利用函数单调性和奇偶性即可解出不等式.

【详解】令函数，

因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，

故是定义在上的奇函数；

因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数，

由，得，

则，则，解得，

故不等式的解集为.

故答案为：

16．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.

【答案】2

【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得的长.

【详解】解：如图，由题可知，的坐标为，设，

联立方程组，可得，

则，.

因为为线段的中点，所以的坐标为.

又以为直径的圆与相交于两点，所以，所以，

解得，又，所以，

所以，故.

故答案为：2.

三、解答题

17．第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛.某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，得到如下列联表.

已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为.

(1)完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，判断能否有的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)没有

【分析】（1）根据已知得出世界杯足球赛的高中生人数，不关注世界杯足球赛的高中生人数，即可完成列联表；

（2）根据已知公式得出，查表即可得出答案.

【详解】（1）由题可知，关注世界杯足球赛的高中生有人，

不关注世界杯足球赛的高中生有人.

故完成的列联表如下：

（2），

因为，

所以没有的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用和之间的关系式可得，再利用累乘即可求得的通项公式；

（2）写出数列的通项公式利用裂项求和即可得出结果.

【详解】（1）当时，，解得.

当时，由，得，

两式相减得，即，

利用累乘可得，

即，因为，所以；

所以的通项公式为.

（2）由（1）可知，裂项可得，

则.

所以数列的前项和

19．如图，在四棱锥中，平面底面，且.

(1)证明：.

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，然后利用线面垂直证明线线垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦值

【详解】（1）证明：取的中点，连接.

因为，所以.

又，所以.

又，所以为正三角形，所以.

因为在平面内相交，所以平面.

又平面，所以.

（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

设平面的法向量为，

则令，得.

由题可知，平面的一个法向量为.

设平面和平面所成的锐二面角为，

则.

20．已知是椭圆的一个顶点，圆经过的一个顶点.

(1)求的方程；

(2)若直线与相交于两点（异于点），记直线与直线的斜率分别为，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意确定的值，即可求得答案；

（2）设，联立直线和椭圆方程，得到根与系数关系，结合化简求值，可得k的值，验证即得答案.

【详解】（1）因为是的一个顶点，所以.

又圆与坐标轴交于两点，

圆经过的一个顶点,则顶点为，故，

故的方程为.

（2）设，

联立方程组，

消去整理得，，

则，

，

因为，

所以，

整理得，

则，

则，即，

解得或，

当时，在上，不符合题意，时，符合题意，

故.

【点睛】方法点睛：解答关于直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般方法是联立方程，结合根与系数的关系进行化简，要注意的是化简过程计算量较大，比较复杂，要注意计算准确.

21．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性，分和分别求解；

（2）作差后，定义新函数，分和两种情况，利用导数讨论单调性，求最值，即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为.

因为，所以.

当时，恒成立，故在上单调递增.

当时，令，解得.

当时，，当时，.

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）令函数，则.

当时，则.

令函数，则.

因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数.

而，从而在上恒成立，

所以在上为增函数，所以，则在上单调递增，故，符合题意.

当时，，则，当时，单调递减，故，不符合题意.

综上所述，的取值范围为.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

（4）利用导数证明不等式或求解零点问题．

22．在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)若与交于两点，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用消参法即可得到的普通方程为，根据即可得到的直角坐标方程.

（2）首先设出的参数方程为（为参数），代入的普通方程得，再根据直线的参数方程的几何性质求解即可.

【详解】（1）消去参数，得到的普通方程为.

由，得.

因为所以的直角坐标方程为.

（2）由题可知，点在上，故的参数方程为（为参数），

代入的普通方程得，

则，，

设对应的参数分别为，

故.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用绝对值的几何意义将表示成分段函数形式，即可解不等式；

(2)利用绝对值不等式得，进而可求的取值范围.

【详解】（1）因为，所以.

当时，,不等式转化为，解得.

当时，,不等式转化为，无解.

当时，,不等式,

转化为，解得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）因为，所以.

又，所以，

解得或.

故的取值范围为.