2023届天津市五所重点校高三一模数学试题含解析

2023届天津市五所重点校高三一模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】列举法表示集合，再求.

【详解】，，∴.

故选：D

2．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.

3．下列命题错误的是（    ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于

B．设，且，则

C．线性回归直线一定经过样本点的中心

D．随机变量，若，则

【答案】B

【分析】利用相关关系判断A；由正态分布的性质判断B；由线性回归直线的性质判断C；由随机变量条件建立方程组解出即可判断D.

【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强，

相关系数的绝对值越接近于，

故A正确；

由，知，

即概率密度函数的图像关于直线对称，

所以，

则，

故B错误；

根据线性回归直线的性质可知，

线性回归直线一定经过样本点的中心，

故C正确；

随机变量，若，

则，

故D正确；

故选：B.

4．函数y=sin2x的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

5．已知，则a、b、c的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别和0,1比较大小，得到，，的大小关系.

【详解】，

， ，

.

故选B

【点睛】本题考查指对数比较大小，一般可以判断函数类型，根据单调性比较大小，或是和中间值0或1比较大小.

6．对于函数,下列命题

①函数图象关于直线对称; ②函数图象关于点(,0)对称;

③函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到;

④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍

 (纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ )

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】【解析】正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：综合题．

分析：①把x=-代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；

②把x= ，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；

③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个 单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；

④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．

解答：解：①把x=-代入函数f（x）=sin（2x+）=0，所以，①不正确；

②把x=，代入函数f（x）=sin（2x+）=0，函数值为0，所以②正确；

③函数图象可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）=sin（2x+），所以不正确；

④函数图象可看作是把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数f（x）=sin（2x+），正确；

故选C．

点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．

7．在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中的多面体为“刍甍”书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是刍甍的高，即点到平面的距离若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，如图，计算点到平面的距离，并代入公式求解即可.

【详解】如图所示，

设点在底面的射影为，分别为的中点，

连接，

则即为刍甍的高，

由，平面，平面，

所以平面，

又平面，且平面平面，

所以，

在“刍甍”中，和是等腰三角形，

所以一定在上，

由题意底面是边长为的正方形，，

可知，

在是等腰直角三角形，且，

所以，

所以，

所以.

故选：B.

8．已知，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，满足，连接交轴于点，若，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得垂直于轴，，为的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．

【详解】解：由题意可得垂直于轴，，

因为为的中点，则为的中点，

可得，

由可得，

即有，

在直角三角形中，

可得，

即有，

可得，

即，

由可得，，

解得舍去），

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力．

9．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由偶函数性质可以画出函数的图像，关于的方程有6个不同的实数根，根据数形结合和韦达定理即可求得结果.

【详解】由题意可知，函数的图像如下图所示：

根据函数图像，函数在上单调递增，在上单调递减；

且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线.

令，则关于的方程即可写成

此时关于的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意），

设为方程的两个实数根，

显然，有以下两种情况符合题意：

①当时，此时，则

②当时，此时，则

综上可知，实数的取值范围是.

故选：C.

二、填空题

10．已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第_____象限.

【答案】一

【解析】化简得到，得到复数对应象限.

【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1），

故复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故答案为：一.

【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.

11．若的展开式中常数项为，则展开式中的系数为__________.

【答案】

【分析】首先求出的展开式的通项公式，通过计算常数项求出a的值，再利用通项公式求的系数.

【详解】展开式的通项公式为，当时，常数项为，所以．当时，，展开式中的系数为．

【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查二项式定理求特定项的系数，解题的关键是求出二项式的通项，属于基础题.

12．若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为______.

【答案】24

【分析】把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解.

【详解】把圆：化为标准方程有：，

所以圆心，半径，又直线：，

所以圆心到直线的距离为，

因为直线：被圆：截得线段的长为6，

根据勾股定理有：，解得，

所以，解得.

故答案为：24.

三、双空题

13．口袋中有个黑球、个白球，个红球，从中任取个球，每取到一个黑球记分，每取到一个白球记分，每取到一个红球记分，用表示得分数，则________，________.

【答案】         

【分析】“”表示取出的球为“黑红”或“白”，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值；写出随机变量的分布列，可求得的值.

【详解】解：“”表示取出的球为“黑红”或“白”，所以，；

由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，

则，，，

，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，.

故答案为：.

四、填空题

14．已知ab＝，a，b∈（0，1），则的最小值为________,

【答案】

【解析】由已知条件可得，然后利用基本不等式可得答案

【详解】∵ab＝，a，b∈（0，1），

∴，

∴1﹣a＞0，1﹣b＝1﹣＞0，

∴2a﹣1＞0，

∴，

，

，

，

，

，

，

＝2（3+2）+4＝10+4，

当且仅当时，即时取等号，

故的最小值为，

故答案为：

【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查数学转化能力和计算能力，属于中档题

五、双空题

15．在中，已知是斜边上一动点，点满足，若，若点在边所在的直线上，则的值为__________；的最大值为__________.

【答案】     1     ##

【分析】根据共线定理推论即得；建立直角坐标系，写出直线BC的方程，根据方程设点P坐标，结合条件可得Q的轨迹方程，进而设出点Q坐标，根据已知表示出然后利用三角函数的性质即得.

【详解】因为，若点在边所在的直线上，

则；

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，得直线BC的方程为，

则可设，其中，

由，得点Q在以点P为圆心，2为半径的圆上，

可设，

由，，，

因为，

所以，

所以，即，

则（其中），

所以，

即，故的最大值为.

故答案为：；.

六、解答题

16．的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知且.

(1)求角A的大小；

(2)若的周长为，求的面积；

(3)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由余弦定理角化边化简后可得；

（2）余弦定理与已知联立可得bc的值，然后可得；

（3）先由正弦定理可得的值，然后根据二倍角公式与和差公式可解.

【详解】（1）因为，所以，

整理可得：，

由余弦定理可得：，

所以，，

所以可得；

（2）由三角形的周长为，a=，

所以，

由（1）可得，而，

所以可得，可得，

所以，

所以△ABC的面积为；

（3）因为b=，a=，A=π，

由正弦定理可得：=，

b＜a，所以B为锐角，所以，

所以，，

所以，即，

所以．

17．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，,由线线垂直证明线面垂直，即得证

（2）由（1）为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；

（3）由（1）为平面的一个法向量，利用点面距离的向量公式即得解

【详解】（1）证明：以为原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，如图

则，，，，，

∵，，，

∴，，

即，，∵，∴平面；

（2）由（1）可知为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，而，，

则，令，可得，

设二面角的平面角为，经观察为锐角，

∴，即二面角的余弦值为；

（3），平面的法向量为，

设点到平面的距离为，

∴，即点到平面的距离为.

18．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点、，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点是椭圆上除长轴端点外的任一点，、为左、右焦点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可得，则椭圆的方程可化为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及可求出的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）由角平分线的性质可得出，可求得，求出的取值范围，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】（1）解：因为，且，则，

所以，椭圆的方程可化为，

联立，消去可得，

，可得，

设点、，则，，

所以，

解得：，从而，故所求椭圆的方程为：．

（2）解：在椭圆中，，，，则点、，

因为的角平分线交椭圆的长轴于点，

在点到直线、的距离相等，则，

由椭圆的定义可得，

所以，，解得，

设点，其中，且，

所以，

，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

19．已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求的取值范围；

（3）若，从数列中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.

【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，，.

【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.

（2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和.利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.

（3）先判断出数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有项.由此求得所有满足条件的等差数列.

【详解】（1）当时，由，得，得，

由，得，两式相减，得

，即，即

因为数列各项均为正数，所以，所以

所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

因此，，即数列的通项公式为.

（2）由（1）知，所以

所以

所以

令，则

所以是单调递增数列，数列递增，

所以，又，所以的取值范围为.

（3）

设奇数项取了项，偶数项取了项，其中，，，.

因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数.

假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.

设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，

则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以.

又为奇数，而，，则与均为偶数，矛盾．

又因为，所以，即偶数只有两项，

则奇数最多有项，即的最大值为.

设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且.

由，得，，此数列为，，，，.

同理，若从大到小排列，此数列为，，，，.

综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为，，，，和，，，，.

【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.

20．已知函数，．，e为自然对数的底数．

（1）如果函数在(0，)上单调递增，求m的取值范围；

（2）若直线是函数图象的一条切线，求实数k的值；

（3）设，，且，求证：．

【答案】（1）（2）1（3）见解析．

【分析】（1）依题意h′（x）=ex﹣2mx≥0（0，+∞）上恒成立．即在（0，+∞）上恒成立．即求函数的最小值即可;（2）设切点，则切线方程为则进而得到，令对函数求导得到函数的单调性和零点即可得到k值（3）：要证，只要证，两边同时除以令x2﹣x1=t，t＞0，即证（t﹣2）et+t+2＞0，利用=（t﹣2）et+t+2，（t＞0）单调性即可证明

【详解】：（1），

要使在上单调递增，则在上恒成立.

∴，∴，令，

当时，，单调递减，当时，，单调递增

∴当x=1时，有最小值为，∴

（2）∵，∴，设切点为，则

∴，令，

∴时，，单调递减，当k＞1时，，单调递增

∴k＝1时，，∴时，k＝1.∴实数k的值为1.

（3）要证

只要证，两边同时除以得：

，令得：

所以只要证：，令

∴，，∴

即，∴原不等式成立.

【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.