2023届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题含解析

2023届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解不等式，再求交集即可.

【详解】由，可得，

由，可得，

所以.

故选：B

2．若命题: “，”是真命题， 则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由不等式恒成立转化为求的最小值，从而得参数范围．

【详解】因为命题“，”是真命题，所以，

因为 ，

所以， 所以，

所以实数 的取值范围是.

故选：A．

3．若，则一定有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据余弦函数、指数函数、反比例函数和幂函数单调性依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，在上单调递增，当时，，A错误；

对于B，在上单调递增，，即，B错误；

对于C，在上单调递减，，C错误；

对于D，在上单调递增，，D正确.

故选：D.

4．设 ， 则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由换底公式化简后，对数式改写为指数式即可．

【详解】因为，∴．

故选：A．

5．已知是等差数列的前项和， 若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用等差数列前项和的公式展开，结合等差数列的性质，整体代入即可得到..

【详解】因为数列为等差数列，，解得.

故选：B

6．在中，点为边上一点，，若，则（    ）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.

【详解】由得，

所以，

所以，即，

故选：C.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性排除A,再根据函数在处函数值的正负排除B和C,得出结果.

【详解】,

为偶函数,排除A.

,排除B和C.

故选:D.

8．已知曲线在点处的切线方程为, 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.

【详解】根据导数的运算公式

,

当时,,

,即.

满足方程,

即,

.

故选:A.

9．若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可.

【详解】由于函数的图象的一个对称中心为，所以，所以，

由于，则，

因为，所以可得：，

故选：C

10．某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的（，且为常数）倍，那么第（）年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（    ）年．（参考数据：）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据题意得关系式，进而根据指数与对数式的互化即可求解.

【详解】设第年开采完后剩余储量为，则 ，当时， ，

所以，，故，

进而 ，

设第年时，，故，

故,

故选：B

11．已知 ， 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用三角诱导公式化简表示出，然后运用正切的半角公式可求.

【详解】因为 ，

所以 ，

又 ，

所以 .

故选：D.

12．若函数 的定义域为， 且为偶函数，关于点成中心对称， 则下列 说法正确的是（    ）

A．的一个周期为 B．

C．的一条对称轴为 D．

【答案】D

【分析】令，则得是偶函数，的图象关于点对称，然后得出的图象关于直线对称，又关于点对称，再根据周期性、对称性、奇偶性推理可得．

【详解】令，则是偶函数，关于点中心对称，

为偶函数，则的图象关于直线对称，，

关于点成中心对称，则的图象关于点对称，，

，

是奇函数，是周期函数，周期是4，2显然不是函数的周期，也不是的周期，A错；

，，∴，不是函数图象的对称轴，也不是图象的对称轴，C错；

，因此，D正确，

，，，

，∴，B错．

故选：D．

【点睛】结论点睛：

（1）函数的图象关于直线对称，又关于点对称，则是周期函数，是其一个周期；

（2）函数的图象既关于直线对称，又关于直线对称，则是周期函数，是其一个周期；

（3）函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则是周期函数，是其一个周期．

二、填空题

13．在正方形 中，， 则正方形的边长为___________.

【答案】5

【分析】利用向量的数量积的定义直接求得.

【详解】在正方形 中，.

设，则，解得：.

所以正方形的边长为5.

故答案为：5.

14．若等比数列 的各项均为正数， 且， 则___________.

【答案】31

【分析】设出公比，根据等比数列通项公式基本量计算得到公比和首项，代入前项和公式即可.

【详解】设等比数列 的公比为，

因为

所以，

因为，解得：，

又因为，

解得，则.

故答案为：31.

15．函数 ，则满足不等式的的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据函数的解析可判断函数的单调性，从而可得关于的不等式，故可求其取值范围.

【详解】当时，，故在上为增函数，

当时，，故在上为增函数，

而，

故为上的增函数，故，解得或，

答案为：.

16．某游乐场中的摩天轮做匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．

【答案】10.5

【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.

【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，

建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，

根据三角函数的定义有，

地面与坐标系交线方程为 ，

则第10分钟时他距离地面的高度大约为米.

故答案为：

三、解答题

17．已知函数 .

(1)求函数 的单调递减区间;

(2)求在上的解.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）现根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数得性质结合整体思想即可得出答案；

（2）由，得，再求出得范围，从而可得出答案.

【详解】（1）解：，

令，

解得，

函数的单调递减区间为；

（2）解：由，得，

，

，解得.

18．已知等差数列满足：

(1)求数列的通项公式;

(2)记，求数列的前项和 .

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用“基本量”法，即可求解.

（2）利用裂项相消,即可求和.

【详解】（1）解：由题意得：

，解得：，

所以，

（2）解：，

所以数列的前项和

.

19．在锐角中，角所对的边为，且.

(1)证明:

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由正弦定理化简可得，即可证明.

（2）因为△ABC为锐角三角形，可求出的范围，即可求出的范围，由正弦定理化简，可求出的取值范围.

【详解】（1）∵，

由正弦定理，得，

即，

∴，

∴或（舍），即，

（2）由锐角△ABC，可得，，．

即， ∴．

由正弦定理可得：，

所以.

所以的取值范围为：.

20．已知函数 .

(1)当 时， 求函数的极值;

(2)若函数 在上恰有两个零点， 求实数的取值范围.

【答案】(1)极大值0，极小值

(2)

【分析】(1)求导，根据导函数与零的大小关系判断函数的单调性即可求解；

(2)根据导函数的零点得出函数 在上恰有两个零点，则满足，再根据零点存在性定理，列出不等式组，解之即可求解.

【详解】（1）由题意得 .

当 时， 由， 得或.

由 ， 得.

函数在上单调递减， 在和上单调递增.

当时，函数取极大值，函数的极大值为，

当时，函数取极小值，函数的极小值为.

（2）由（1）可知：

当 或时， 函数在上为单调函数， 最多只有一个零点.

当 时， 函数在上单调递增， 在上单调递减.

要使函数 在上有两个零点， 则需满足:

且

解得：.

21．已知函数.

(1)讨论函数在区间上的单调性;

(2)当时，，求.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由导数与单调性的关系求解，

（2）构造函数证明不等式后转化求解，

【详解】（1），则

①当时， ，

故在上单调递增，

②当时，由得，解得，

当或时，，

当时，，

故在和上单调递增，在上单调递减，

（2），则

令，，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，，

即，当且仅当时等号成立，

当时，不等式恒成立，

当时，，不等式即恒成立，得

当时，，不等式即恒成立，得

综上得，下面进行检验，

当时，由得或，

由（1）得在上单调递增，在上单调递减，

，故时满足题意．

22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

(1)判断直线和圆的位置关系，并说明理由；

(2)设是圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的值．

【答案】(1)直线和圆C相离；理由见解析

(2)

【分析】（1）把直线方程和圆的方程都化为普通方程，利用圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系.

（2）用参数方程表示点坐标，利用点到直线距离求值，再计算向量坐标和向量数量积.

【详解】（1）圆的参数方程为（为参数），消参得圆C的普通方程为，圆心坐标为，半径为3．

直线的参数方程为（为参数），消参得直线的普通方程为．

∵圆心C到直线的距离，

∴直线和圆C相离．

（2）设，

由点到直线的距离：，

∴，则．

∴，则，  

∴，   ，

∴．

23．已知函数．

(1)求的最小值；

(2)若，，均为正数，且，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求解；

（2）由题意得，再由基本不等式及不等式的性质可证明.

【详解】（1）

≥=

≥．(当且仅当时，取等号)

∴函数f(x)的最小值为．

（2）因为，，均为正数，

所以，

∴．

由

≥9，

得．

∵，

∴．

∴，

∴．