2023届江苏省南通市基地大联考高三下学期3月重点热点诊断测试数学试题含解析

这是一份2023届江苏省南通市基地大联考高三下学期3月重点热点诊断测试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省南通市基地大联考高三下学期3月重点热点诊断测试数学试题 一、单选题1．设集合，则满足的集合B的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】先求出集合A的元素，再根据 推导出集合B.【详解】对于集合A， ，即，又 ， B可取，共4个；故选：C．2．在等差数列中，若，，则（    ）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解.【详解】因为是等差数列，设其公差为，所以，解得，所以.故选：B．3．命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“充分不必要条件”的定义推导.【详解】“充分不必要条件”的定义是由结论可以推导出条件，但由条件不能推导出结论，其中“，”为真命题是结论，可以推出 ， ，其中 是条件，由 不能推出“，”为真命题，对于A，B选项，可以推出“，”为真命题，是充分条件；对于C选项，是既不充分也不必有的条件；故选：D.4．任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（    ）A．1 B． C． D．i【答案】B【分析】现将复数 表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解.【详解】， ；故选：B．5．已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②；③为偶函数；④，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意得函数为周期函数，周期为，再结合，求得，，再根据周期性计算即可.【详解】解：解法一：由①知，的定义域为，由③为偶函数，则，即由④知函数满足， 所以，，即所以，即函数为周期函数，周期为，因为，所以，令得，令得，即，所以.故选：A 解法二：由③知，图象关于对称，由④知，关于对称，故选取三角函数，由于①定义域为；②，故令，满足①②③④，所以，故选：A6．在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.【详解】解：由余弦定理得，即，即，所以，∴，当且仅当b=c时等号成立.因为，所以，，∴，故选：C．7．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．【详解】如图所示，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得：，解得，由于，得或（舍）又，化为：，解得或（舍）.故选：C.8．已知，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对求导，得出的单调性，可知，可求出的大小，对两边取对数，则，可得，最后比较与大小，即可得出答案.【详解】，，，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，则，，，，∴，排除D．，则，，，∴，排除B．比较与大小，先比较与大小，,，因为，所以所以在上单调递增，，所以，所以，∴，综上.故选：A．【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数，运用函数的单调性可求出的大小，即可判断的大小，的大小，最后构造函数，比较与的大小即可得出答案. 二、多选题9．在正方体中，点P满足，则（    ）A．若，则AP与BD所成角为 B．若，则C．平面 D．【答案】BCD【分析】与BD所成角为与所成角，为，A错误，建系得到，B正确，故面面，C正确，，D正确，得到答案.【详解】对选项A：时P与重合，与BD所成角为与所成角，为等边三角形，则AP与BD所成角为，错误；对选项B：如图建立空间直角坐标系，令，，，，，，，正确；对选项C：，平面， 平面，故平面，同理可得平面，，故面面，平面，平面，正确；对选项D：，，，正确．故选：BCD10．下列命题中，正确的命题是（    ）A．若事件，满足，，则B．设随机变量服从正态分布，若，则C．若事件，满足，，，则与独立D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5【答案】AC【分析】根据条件概率公式判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据方差公式判断D.【详解】对于A：因为，∴，故A正确．对于B：因为，，则，，故B错误．对于C：若，则与独立，则与独立，故C正确．对于D：男生成绩设为，∴，，∴．女生成绩设为，∴，，∴．所以，则，故D错误．故选：AC11．已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（    ）A．C的方程为 B．C．的周长为 D．的内切圆半径为【答案】ABD【分析】根据点A的坐标和离心率求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析.【详解】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组：，解得，∴双曲线，A正确；对B，，，，，∴，B正确；对C， ， ，，周长，C错误；对D，令 ，则 ，  ，在 中， ，∴，设 的周长为l，内切圆半径为r，则 ，由三角形面积公式知： ，   ，D正确；故选：ABD．12．已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（    ）A． B．C．的最大值为0 D．当时，【答案】AB【分析】先利用导数几何意义求出切线方程，利用切线斜率和截距相等建立方程，然后利用指对互化判断A、B，由数量积坐标运算化简，判断函数值符号即可判断C，构造函数，利用导数法研究函数的单调性，判断D【详解】因为，所以，又，所以，切线：，即，因为，所以，又，所以，切线：，即，由题意切线重合，所以，所以，即，A正确；当时，两切线不重合，不合题意，所以，，，所以，，B正确；，当时，，，则，当时，，，则，，所以，C错误；设，则，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以，∴，记，则，所以函数在上单调递增，则，所以，D错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数或对数，朝目标化简. 三、填空题13．已知函数则当时，的展开式中的系数为_________．【答案】270【分析】由分段函数解析式可得，应用二项式定理求出的系数即可.【详解】时，，，展开式第项，故时，，∴的系数270．故答案为：27014．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为，，侧棱长为，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________．【答案】【分析】先求出四棱台的高，再根据四棱台的体积公式计算.【详解】上下底面对角线的长度分别为： ， 高h ，上底面的面积 ，下底面的面积 ，四棱台的体积 ；故答案为： .15．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是_________．【答案】【分析】先正弦函数的周期性求出 的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出 的具体范围.【详解】在 是增函数，∴ ，∴ ，，又 ，∴ ，令 ，则 在 的函数图像如下：所以欲使得 是增函数，则必须 或者 ，对于 ，即 ，对于函数，在 时 的值域是 ， ，对于 ，即 ，对于函数 在 时的值域是 ，即 ， 与 矛盾，无解；故答案为： .16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．【答案】【分析】设，OP中点，求出P点的轨迹方程，因P又在圆上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以或，求解即可得出答案.【详解】设，OP中点，D也是AB中点，，因为D也是AB中点，所以，，因为在圆内，所以，∴，又因为，，所以，∴，∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，∴两圆有且仅有一个公共点，∴或，或或0或2，所以a的取值集合．故答案为：. 四、解答题17．设数列的前n项和为，已知．(1)证明：数列是等比数列；(2)若数列满足，，求数列的前14项的和．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据已知得出，结合前项和与通项的关系将已知与得出的式子两式做减，再化简即可得出，即可证明；（2）根据（1）得出，结合已知即可得出当为偶数时，即，将数列的前14项从第2项开始两两分组，再结合等比数列求和公式即可得出答案.【详解】（1），则，，得，即，，即令中，得，解得，则是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，则，，且，当为偶数时，，即，，，．18．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)记 与 的面积分别记为和，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出BD，再运用余弦定理求出 ，再利用两角和公式求解；（2）先运用余弦定理求出 与 的关系，再根据三角形面积公式求解.【详解】（1）∵，∴，，，，，∴  ；（2）设，，∴，∴，∴，① ， 当且仅当，时取最大值 ；综上， ， 的最大值是 .19．2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩统计数据显示，中国队主力队员能够胜任小前锋（SF）大前锋（PF）和得分后卫（SG）三个位置，且出任三个位置的概率分别为，同时，当队员出任这三个位置时，球队赢球的概率分别为，（队员参加所有比赛均分出胜负）(1)当队员参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；(2)在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积分，负一场积分．本轮比赛球队一共进行场比赛，且至少获胜场才可晋级第二轮，已知队员每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮比赛最终积分为，求的数学期望．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，结合相互独立事件和互斥事件的概率计算公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量的所有可能取值，结合独立重复事件的概率计算公式和条件概率的计算公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的计算公式，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，队员参加比赛时，比赛获胜的概率为.（2）解：根据题意，可得赢3场，负两场积分7；A赢4场负一场积分10；赢5场，积分15分，所以随机变量的所有可能取值为7，11，15，记表示第一轮比赛最终积分为，表示“所在的球队顺利晋级第二轮”，可得，，，则，所以，，，所以随机变量的分布列如下表：71115  期望为．20．如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，．(1)求证：平面平面ACD；(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求平面CDE与平面ABED所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用中位线定理证明线线平行，得到平行四边形，进而根据线面垂直的判定即可证明；（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）取AC中点M，连接BM，∵，∴，又∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，取CD中点F，连接MF，EF，∴且，又∵且，∴且，∴四边形BMFE为平行四边形，∴．∴平面ACD，又∵平面CDE，∴平面平面ACD．（2）过点作，则．设，∴，．由（1）可知两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，如图，∴，．设平面CDE与平面ABED的一个法向量分别为，∴，，设平面与平面所成角为θ，∴，即平面与平面所成角的余弦值为.21．已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N．(1)若A为线段DM的中点，求点A的坐标；(2)设，的面积分别为，若，求线段OA的长．【答案】(1)(2) 【分析】(1)由于A是M，D的中点，设 ，由此推出M的坐标，再根据A，M都在椭圆上，代入椭圆方程即可求解；(2)设直线DA的方程，再根据A，B的对称性设DB的方程，与椭圆方程联立，求出M，N点的坐标与A，B点坐标的关系，将面积之比问题转化为坐标之比问题.【详解】（1）设，∴由A，M均在椭圆C上，∴ ，解得 ，，∴；（2）设DA方程为，，， ，得 ，，∴，∴．同理∴，∴ ，∴；而 ，∴【点睛】本题的难点在于要将面积之比转化为坐标之比，这个思路是在解题的开始时就应该产生的，后面的步骤只是这个思路的具体执行.22．已知函数．(1)当时，证明：在区间上单调递增；(2)若函数存在两个不同的极值点，求实数m的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）求导，再令，利用导数法判断的正负即可；（2）求导，由存在两个不同的极值点，得到存在两个不同的变号零点，再令，用导数法研究其零点即可；【详解】（1）解：，令，则，当时，，递减；当时，，递增，∴，∴在上单调递增．（2）因为，所以，∵存在两个不同的极值点，∴存在两个不同的变号零点，令，则，，令，，则在上递减，注意到，∴当时，，则，递减；当时，，则，递增，∴．要使有两个不同的变号零点，则，解得．且当时，，当时，，∴．综上：，即m的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第二问在研究的零点时，不仅要其最小值小于0，也要研究和时的情况.